带电粒子在电场中的运动综合专题.docx
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带电粒子在电场中的运动综合专题
带电粒子在电场中的运动综合专题
知识要点梳理
1、带电粒子在电场中的加速运动
要点诠释：
（1）带电粒子在任何静电场中的加速问题，都可以运用动能定理解决，即带电粒子在电场中通过电势差为UAB的两点时动能的变化是
，则
（2）带电粒子在静电场和重力场的复合场中的加速，同样可以运用动能定理解决，即
（W为重力和电场力以外的其它力的功）
（3）带电粒子在恒定场中运动的计算方法
带电粒子在恒力场中受到恒力的作用，除了可以用动能定理解决外还可以由牛顿第二定律以及匀变速直线运动的公式进行计算。
2、带电粒子在偏转电场中的运动问题
（定量计算通常是在匀强电场中，并且大多数情况是初速度方向与电场线方向垂直）
要点诠释：
（1）运动性质：
受到恒力的作用，初速度与电场力垂直，做类平抛运动。
（2）常用的关系：
（U为偏转电压，d为两平行金属板间的距离或沿着电场线方向运动的距离，L为偏转电场的宽度（或者是平行板的长度），v0为经加速电场后粒子进入偏转电场时的初速度。
）
带电粒子离开电场时：
沿电场线方向的速度是
；
垂直电场线方向的速度
合速度大小是：
方向是：
离开电场时沿电场线方向发生的位移
3、带电微粒或者带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
要点诠释：
（1）带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即
（2）带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
规律方法指导
1、理解物体做直线运动的条件和曲线运动的条件
（1）物体做直线运动的条件：
物体受到合外力为零或者合外力与速度共线；
（2）物体做曲线运动的条件：
物体受到的合外力与速度不共线。
当合外力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时做减速曲线运动。
2、带电粒子或者带电物体在恒定的场中时，除了匀变速直线运动外，就是做类抛体运动，灵活地将运动分解是顺利解题的关键所在。
3、分析带电物体在恒力场中如何运动时，将几个恒力归并为一个恒力可以使得问题简化
4、带电粒子在周期性变化的场中运动情况的分析，一般遵循着：
将电压的变化规律转化为场强的变化规律，再将场强的变化规律转化为电场力的变化规律，进而转化为加速度用来分析具体的运动情况。
典型例题透析
类型一：
带电粒子在匀强电场中的偏转
1、如图所示，三个
粒子由同一点水平射入平行电容器两极板间的
匀强电场，分别打在极板的A、B、C三点上，则（）
A.到达极板时，三个
粒子的速度大小比较为
B.三个
粒子到达极板前的飞行时间相同
C.三个
粒子到达极板时，它们的动能增量相等
D.打在A点的
粒子在电场中运动的时间最长
思路点拨：
观察图形，明确粒子在偏转电场中的加速度相同，经历的偏转电压相等，发生的偏转位移相等，运用类平抛运动的知识方法加以解决。
解析：
平行板之间的场强和粒子在电场中的加速度可以由下列两式计算
，
沿电场线方向发生的位移：
，
由此两个式子解得：
粒子的初速度
，
粒子在电场中运动的时间
由图中轨迹可见，三个粒子的偏转位移y相等，所以三个粒子到达极板之前运动的时间相等，选项B正确；
垂直于电场线方向的位移x不相等，而三个粒子的q、m相同，所以三个粒子的初速度与x成正比，选项A正确；
由动能定理知粒子到达极板上时的动能是
，粒子的电量相等，由图知道，粒子经过的电势差相等，所以粒子的动能增量相等，选项C正确；答案：
ABC
类型二：
带电物体在恒力场中的运动情况分析
2、质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于O点，并处于水平向左的大小为E的匀强电场中，小球静止时丝线与铅垂线间的夹角为
，如图所示，求：
（1）小球带何种电荷？
电荷量是多少？
（2）若将丝线烧断，则小球将做什么运动？
（设电场区域足够大）
解析：
（1）小球受到的电场力一定是水平向右，与场强的方向相反，所以小球带负电。
小球受力如图所示：
由共点力平衡条件得，
带电小球所带的电荷量
（2）小球受到重力和电场力的合力F合与小球静止时线的拉力大小相等方向相反，是一个恒力。
当烧断丝线时，小球在恒力作用下由静止开始运动，做初速度为零的匀加速直线运动。
答案：
（1）负，
；
（2）初速度为零的匀加速直线运动
总结升华：
带电物体在匀强电场和重力场中运动时，将两个恒力归并成为一个恒力，对分析运动情况特别方便，要注意运用这个方法。
举一反三
【变式】图中虚线所示为某电场中一簇相互平行，方向竖直的等势面，相邻等势面间距1cm，各等势面电势如图所示，质量为30g的带电小球从A点以
的速度沿与竖直方向成
角射入电场并做直线运动。
（1）带电小球带什么电？
电量是多少？
（2）通过A点后沿速度方向前进的最大距离是多少（
，g=10
）
思路点拨：
这是一个力学与电学综合的问题，解题的关键是弄清电场的分布情况，进而弄清带电小球的受力情况和运动情况，然后选择适当的解题规律求解。
解析：
（1）分析电场分布和电场力
由于等势面的情况已知，则可判断其电场线一定与等势面垂直且指向电势降低处，故电场情况已知，如图所示，场强
（2）分析带电小球的受力情况和运动情况
受电场力、重力、若带负电，则电场力水平向右，由小球初速度与所受合外力可知，小球不可能在如图所示的直线上运动，必做曲线运动。
因此可判断小球带正电。
所受电场力方向水平向左，与重力合成后，合力方向恰好与小球运动方向相反，小球做匀减速直线运动，受力图如图所示：
（3）列方程求解
解得
答案：
正、
、3cm
总结升华：
（1）从解题方法上看，对小球的受力分析及运动过程的分析是至关重要的。
（2）在分析运动过程时，力求弄清物体做直线运动的条件和做曲线运动的条件。
类型三：
在重力场和静电场中的能量转化和守恒
3、如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且相邻两等势面的电势差相等，一个正电荷在等势面U3上时具有动能
，它运动到等势面U1时，速度为零，令U2=0，那么该点电荷的电势能为
J时，其动能大小是多少？
（设整个运动过程中只有电场力做功）
思路点拨：
在静电场中运动的电荷它的机械能和电势能之和保持不变，即能量守恒，由此出发分析问题时比较方便。
解析：
电荷在U3等势面时具有动能
J，而在U1等势面时v=0，所以动能为零，由动能定理得
即
设电荷在电场中P点时具有的电势能为
J，在电荷由等势面U3运动到P点的过程中应用能量守恒定律得
所以电荷在P点的动能为：
举一反三
【变式】如图所示，一个绝缘光滑半圆轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为
E，在其上端，一个质量为m，带电量为
的小球由静止下滑，则（）
A.小球运动过程中机械能守恒
B.小球经过最低点时速度最大
C.小球在最低点对球的压力为
D.小球在最低点对球的压力为
解析：
小球在重力场和静电场构成的复合场中运动时，重力势能、动能和电势能之和守恒，小球由静止下滑的过程中，电场力做功，电势能发生变化，因此球的机械能不守恒，选项A错误；
带正电的小球在最低点处电势能和重力势能都最小，由能量守恒知，其动能必定最大，速度最大，选项B正确；
对小球运用动能定理
；
在最低点运用牛顿第二定律
，
解得小球在最低点受到的压力是
答案：
BD
类型四：
带电小球在电场和重力场中的圆周运动
4、如图所示，两块很大的竖立的平行金属板中间，一长为L=5cm的绝缘细线悬挂一个质量为
的带电小球，带电量
，静止在竖直方向。
现将开关S接通，小球摆动到悬线与竖直方向成
角时的速度为零，然后来回摆动。
问：
（1）小球带什么电性？
板间场强多大？
（2）小球摆动过程中的最大动能是多少？
（
）
思路点拨：
开关S接通，小球运动做往复运动，分析小球在什么情况下出现最大动能，从功能关系入手去解决。
解析：
（1）
带正电。
小球从静止开始到摆线与竖直方向成
角的过程中，电场力做正功，重力做负功，动能变化为零。
由动能定理
（2）小球摆动时，最高点是摆线与竖直方向成
角，最低位置是摆线竖直时，由于摆动的对称性，摆球的平衡位置是摆线与竖直方向成
角的位置，这个方向是重力和电场力合力的方向，是小球在这个复合场中摆动的等效最低点，它与只在重力场中的竖直方向的最低点是等效的，在这个位置时小球的速度最大，动能也最大。
根据动能定理有：
总结升华：
重视将两个恒力归并成为一个恒力，使问题的讨论变的简化；重视类比和等效这些重要物理思想的运用。
类型五：
带电粒子在周期性变化的场中运动情况分析
5、如图所示，AB两平行金属板，A板接地，B板的电势做如图的周期性变化，在两板间形成交变电场。
一电子以
分别在下列各不同时刻从A板的缺口处进入场区，试分析电子的运动情况。
（1）当
时，电子进入场区。
（2）当
时，电子进入场区。
思路点拨：
这类问题是带电粒子在变化电场中运动的问题，解题关键在于要将电压变化规律转化为场强的变化规律，由场强变化情况可知粒子的受力变化规律，再根据带电粒子的初速度和加速度判断粒子做什么运动，找出运动速度变化规律，进而分析粒子位移情况。
我们可以利用图象完成上述转化。
由于电压随时间的变化规律与场强、电场力变化规律相同，因此只需根据运动和力的关系，由粒子的受力变化情况画出粒子速度随时间变化图象，可由图线与时间轴所围的面积分析出粒子的位移随时间的变化情况。
解析：
（1）当
时，可画出粒子速度随时间变化的关系图象：
图线与时间轴所围的面积总在速度轴的正值一侧，说明粒子的位移方向总沿同一方向，即一直朝B板运动，先加速，再减速，当速度减为零后又开始加速，再减速……。
（2）当
时，电子进入场区，可画出粒子运动速度随时间变化的图象：
由图象可知粒子向正方向（B板）和负方向（A板）都将发生位移，得负方向的位移大于正方向的位移。
粒子在电压变化的第一个周期内被推出场区，而无法到达B板。
误区警示：
分析带电粒子在方向发生变化的场中运动时，必须充分注意到粒子进入到场中的时刻，注意到一些运动的对称性。
举一反三
【变式】如图
中，A、B表示在真空中相距为
的两平行金属板，加上电压后，它们之间的电场可视为匀强电场，图
表示一周期性的交变电压的波形，横坐标代表时间t，纵坐标代表电压U，从
开始，电压为一给定值
，经过半个周期，突变为－
，再过半个周期，又突变为
，……如此周期性交替变化。
在
时，将上述电压加在A、B两板上，使开始时A板电势比B板电势高，这时在紧靠B板处有一初速为零的电子（质量的为m、电量为e），在电场作用下开始运动，要使这电子到达A板时有最大动能，则所加交变电压频率最大不能超过多少？
解析：
在电场力作用下，电子加速度
为：
，设t为电子从B一直加速到A所需时间，
则
设T表示交变电压的周期，
表示频率，要使这电子到达A板时有最大动能，则应满足以下要求：
即
由此可得
即交变电压的频率不能超过
。
误区警示：
电子只有从B板一直加速到A时获得得动能才最大，因为此种运动情况电子经历的加速电势差最大。
类型六：
运用力的独立作用原理解决带电物体在复合场中的运动问题
6、如图所示，一个带正电的微粒，电荷量为q，质量为m，以竖直向上的初速度
在平行板电容器两板正中间的A点进入场强为E的匀强电场中，正好垂直打到B点，且AC＝BC，则（）
A.粒子在B点的速度等于
B.粒子在B点的速度等于
C.两极板间的电势差
D.两极板间的电势差
解析：
带电微粒在竖直方向和水平方向上皆做匀变速直线运动，设微粒达到B点经历的时间是t，AC＝BC=h，则:
在水平方向上
；在竖直方向上：
，比较可见：
；
又在水平方向上
，在竖直方向上：
，比较得到水平方向上电场力产生的加速度
，即
，选项AC正确；
又
将h代入得到
，所以选项D正确。
答案：
ACD
总结升华：
根据物体的受力情况，将其所做的运动分解为两个或几个熟悉的、简单的运动求解，是解决问题的技术和技巧。
类型七：
静电场场力做功与路径无关
7、一个质量为m、带电量为－q的物体，可以在水平轨道Ox上运动，轨道O端有一与轨道垂直的固定墙。
轨道处于匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿Ox轴正方向。
当物体m以初速度
从
点沿x轴正方向运动时，受到轨道大小不变的摩擦力
的作用，且
，设物体与墙面碰撞时机械能无损失，且电量不变，求：
（1）小物体m从
位置运动至与墙面碰撞时电场力做了多少功？
（2）物体m停止运动前，它所通过的总路程为多少？
运动过程分析：
小物体受到的电场力
，大小不变，方向指向墙壁；摩擦力的方向总是与小物体运动的方向相反。
不管开始时小物体是沿x轴的正方向还是负方向运动，因为
，经多次碰撞后，如果小球处在Ox轴的某点，总会向O点加速运动的，所以小物体最终会静止在O点。
在这一过程中，摩擦力所做负功使物体的机械能
和电势能
变为零。
据此可求得总路程s。
解析：
（1）滑块从
到O点电场力做功为
（2）滑块运动过程中摩擦力总与其运动方向相反，对m做负功，而电场力在滑块停在O点时做功仅为
。
设滑块通过的总路程为x，则根据动能定理得：
总结升华：
（1）本题是电势能与机械功能结合的综合题，属难题，疑难点有二：
其一，小物体最后停在何处；其二，小物体碰多少次无法确定。
用动力学、运动学求解好像无从下手。
（2）要认识物体的运动过程必须进行受力分析：
如小物体运动时所受合力为
，而方向总是指向O点来确定，不论碰墙次数多少，最后总是停于O点。
（3）用动能定理来列方程求路程s特别方便，其关键是理解并能灵活运用静电场力功和滑动摩擦力功的特点。
类型八：
静电场中的极值问题
8、如图所示，一平行板电容器水平放置，板间距离为d，
，上极板开有一小孔。
100个质量均为m，带电量均为
的带电小球，其间均用长为L的绝缘轻杆相连，处于竖直状态。
今使下端小球恰好位于小孔中，且由静止释放，让小球竖直下落，当下端小球到达下极板时，速度刚好为零，试求：
（1）两极板间的电压；
（2）小球运动中的最大速度。
解析：
对100个小球，从静止下落到它的底端小球到达下极板的过程，运用动能定理，
解得两板之间的电压是
对一串带电小球下落距离h的过程运用动能定理，此过程重力做的功是：
，
电场力做的功是：
，
于是
将
以及
代入上式，整理得到关于v和h的一元二次方程，求极值可得
答案：
（1）
（2）
类型九：
带电粒子在交变场中的运动
9、如图所示，在真空中速度为
m/s的电子束连续地射入两平行极板之间，极板长度为
m，间距
m。
两极板不带电时，电子束将沿两极板之间的中线通过。
在两极板上加50Hz的交变电压
，如果所加电压的最大值
超过某一值
时，将开始出现以下现象：
电子束有时能通过两极板；有时间段不能通过。
（1）求
的大小。
（2）
为何值才能使通过的时间
跟间断的时间
之比为
∶
=2∶1。
思路点拨：
（1）电子通过两平行板的时间，根据运动独立性原理为
（s）
而交变电压的周期
因此单个电子通过平行板时，极板间的电压u和场强E可看作是恒定不变的。
电子进入平行板中间的匀强电场，x方向以v的速度做匀速直线运动；y方向在电场力F的作用下做匀加速运动。
两板间的电压U大，场强强，电场力F大，电子束偏转强（y向加速大），达一定限度
，电子在t的时间内也正好到达极板，而不能通过。
u＞
电子更不能通过，而u＜
电子碰不上极板而能通过，当偏转电压u=
时，电子在t时间内同时通过水平l和竖直
（由中线偏转或向上或向下）。
（2）求
=2
的U0多大？
=2
的实质是
的时间
，
由三角函数的知识可以解得电子通过的时间对应的角度为：
，
所以有
。
解答：
（1）电子通过极板的时间
（1）
同一时间电子偏转的y向位移
（2）
根据牛顿第二定律电子所受电场力
电场力功与电势能变化的关系为
（3）
解以上三式有
（4）
（2）
=2
，所以
总结升华：
（1）本题是交变电压偏转，求截止的临界电压和一定通断时间之比下的最大电压的题，是难题。
其疑难点有二：
其一，如何处理单电子通过交变电场的问题；其二，电子束通断时间比
=2
条件下，如何建立
的方程。
（2）解决第一个疑难点，采用了近似性方法，由于
，而把单电子通过交变电场近似处理为恒定电场，使问题大为简化。
近似方法是物理学中常用的方法。
（3）解决第二个难疑点，关键是建立电子通过极板时的通断图境，确定
后，将通断时间之比转化为
的角度关系，进行求解。
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