初三数学第十二讲实际问题与二次函数学案.docx

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初三数学第十二讲实际问题与二次函数学案

第12讲实际问题与二次函数

适用学科

初中数学

适用年级

初中三年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

120分钟

知识点

二次函数应用题

学习目标

1.掌握二次函数的性质

2.能够应用二次函数的性质解决求最值,利润问题,方案等实际问题

学习重点

确定二次函数的表达式，能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题

学习难点

1.应用题的分析

2.性质的应用

学习过程

1、复习预习

前面三节课我们学习了二次函数图像和性质，大家都学习的非常认真，今天这节课是二次函数的知识的最后一节课，也是非常重要的一节课，我们将利用二次函数的性质，解决与实际有关的应用问题。

大家先来看下面的例子：

二、知识讲解

引例：

在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图

（1），正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？

要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？

答案如图，水平面所在的直线为

轴，向右为正方向，以甲学生身体所在的垂线为

轴，向上为正方向，建立直角坐标系。

甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，

距地面均为1米

点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（4,1）

学生丙距甲拿绳的手水平距离1米处，丙的身高是1.5米

点C的坐标为（1,1.5）。

设抛物线为

，

把B（4,1）和C（1,1.5）代入上式的，

，

解得：

，

，所以抛物线为

；

又

学生丁站在距甲拿绳的手水平距离2.5米处，

当

时，

学生丁的身高为1.625米。

总结：

1、要解决这个实际问题，关键是如何建立恰当的直角坐标系；

2、如何将实际问题中给的数据抽象成二次函数图象上的点的坐标；

3、根据总结出来的点的特殊性，设二次函数关系式；

4、用“待定系数法”，解方程组，求出二次函数关系式。

二次函数的应用----常考题型

1.求二次函数的解析式

2.利用二次函数的顶点式求最值

二次函数

，当x＝

时，

.

3.根据二次函数图像和性质解决销售利润问题

4.根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题

考点/易错点1

二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。

考点/易错点2

二次函数常用来解决最优化问题

考点/易错点3

（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。

（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。

考点/易错点4

根据题意写出x的取值范围

考点/易错点5

二次函数的最值求解运算错误，忘记考虑x的取值范围

三、例题精析

【例题1】

【题干】某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种　　棵橘子树，橘子总个数最多．

【答案】解：

假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，

∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，

∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，

则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子．

∵果园橙子的总产量为y，

∴则y=（x+100）（600﹣5x）

=﹣5x2+100x+60000，

∴当x=﹣

=﹣

=10（棵）时，橘子总个数最多．

故答案为：

10．

【解析】根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而求出x=﹣

时，y最大．

【例题2】

【题干】某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？

每月的最大利润是多少？

【答案】

解：

（1）由题意，可设y=kx+b，

把（5，30000），（6，20000）代入得：

，

解得：

，

所以y与x之间的关系式为：

y=﹣10000x+80000；

（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）

=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）

=﹣10000（x2﹣12x+32）

=﹣10000[（x﹣6）2﹣4]

=﹣10000（x﹣6）2+40000

所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．

答：

当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．

【解析】

（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；

（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．

【变式练习】

【题干】为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：

由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：

y=﹣10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

【答案】

解：

（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，

300×（12﹣10）=300×2=600，

即政府这个月为他承担的总差价为600元．

（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）

=﹣10x2+600x﹣5000

=﹣10（x﹣30）2+4000

∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

（3）由题意得：

﹣10

+600x﹣5000=3000，

解得：

x1=20，x2=40．

∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：

当20≤x≤40时，w≥3000．

又∵x≤25，

∴当20≤x≤25时，w≥3000．

设政府每个月为他承担的总差价为p元，

∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）

=﹣20x+1000．

∵k=﹣20＜0．

∴p随x的增大而减小，

∴当x=25时，p有最小值500．

即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．

【解析】

（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；

（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；

（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．

【例题3】

【题干】某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:

销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

O

【答案】

（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）.由所给函数图象得

解得

∴函数关系式为y＝－x＋180.

（2）W＝（x－100）y＝（x－100）（－x＋180）

＝－x2＋280x－18000

＝－（x－140）2＋1600

当售价定为140元,W最大＝1600.

∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元

【例题4】

【题干】某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？

最大为多少？

（材质及其厚度等暂忽略不计）．

【答案】

解：

已知抽屉底面宽为xcm，则底面长为180÷2﹣x=（90﹣x）cm．

由题意得：

y=x（90﹣x）×20

=﹣20（x2﹣90x）

=﹣20（x﹣45）2+40500

当x=45时，y有最大值，最大值为40500．

答：

当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．

【解析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值．

【例题5】

【题干】某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：

当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润

（元）与销售单价

（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案

方案A：

该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：

每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由

【答案】选择方案A

【解析】

（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000

（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250

所以，当x＝35时，w有最大

值2250，

即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大

（3）方案A：

由题可得20＜x≤30，

因为a＝－10＜0，对称轴为x＝35，

抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，

所以，当x＝30时，w取最大值为2000元，

方案B：

由题意得

，解得：

，

在对称轴右侧，w随x的增大而减小，

所以，当x＝45时，w取最大值为1250元，

因为2000元＞1250元，

所以选择方案A。

【例题6】

【题干】某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

y1=

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为

（1）用x的代数式表示t为：

t=　　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：

y2=　　；当　　＜x＜　　时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？

最大值为多少？

【答案】

解：

（1）由题意，得x+t=6，

∴t=6﹣x；

∵

∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，

此时y2与x的函数关系为：

y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；

当4≤x＜6时，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，

此时y2=100．

故答案为6﹣x；5x+80；4，6；

（2）分三种情况：

①当0＜x≤2时，

②当2＜x≤4时，

③当4＜x＜6时，

综上可知，

（3）当0＜x≤2时，

，此时x=2时，w最大=600；

当2＜x≤4时，

，此时x=4时，w最大=640；

当4＜x＜6时，

，4＜x＜6时，w＜640；

∴x=4时，w最大=640．

故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．

【解析】

（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x；

根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系

及t=6﹣x即可求出y2与x的函数关系：

当0＜x≤4时，y2=5x+80；当4≤x＜6时，y2=100；

（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：

①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；

（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．

【例题7】

【题干】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：

在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．

（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：

销售单价（元）

x

销售量y（件）

销售玩具获得利润w（元）

（2）在

（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．

（3）在

（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

【答案】

解：

（1）

销售单价（元）

x

销售量y（件）

1000﹣10x

销售玩具获得利润w（元）

﹣10x2+1300x﹣30000

（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000

解之得：

x1=50，x2=80

答：

玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，

（3）根据题意得

解之得：

44≤x≤46

w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250

∵a=﹣10＜0，对称轴x=65

∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．

∴当x=46时，W最大值=8640（元）

答：

商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．

【解析】

（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；

（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；

（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．

【例题8】

【题干】某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：

一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．

次数n

2

1

速度x

40

60

指数Q

420

100

（1）用含x和n的式子表示Q；

（2）当x=70，Q=450时，求n的值；

（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；

（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）

同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

参考公式：

抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（－，）

【答案】

（1）设

，∴

由表中数据，得

，解得

∴

（2）由题意，得

∴n=2

（3）当n=3时，

由

可知，要使Q最大，

（4）由题意，得

即

，解得

，或

（舍去）

∴m=50

【解析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题目中所给的信息，读懂题意列出函数关系式，要求同学们掌握求二次函数最值的方法，此题较麻烦，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．

四、课堂运用

【基础】

1.在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元/件）满足一个以x为自变量的一次函数．

（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？

2.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

销售单价x（元/件）

…

55

60

70

75

…

一周的销售量y（件）

…

450

400

300

250

…

（1）直接写出y与x的函数关系式：

（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

3.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：

温度

/℃

……

－4

－2

0

2

4

4.5

……

植物每天高度增长量

/mm

……

41

49

49

41

25

19.75

……

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量

是温度

的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．

（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；

（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？

（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度

应该在哪个范围内选择？

请直接写出结果．

4.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．

（1）运动第t秒时，△PBQ的面积y（cm²）是多少？

（2）此时五边形APQCD的面积是S（cm²），写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．

（3）t为何值时s最小，最小值时多少？

5.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？

【巩固】

1.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

2.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图

（1）所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图

（2）所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．

（1）判断图

（2）中四边形EFGH是何形状，并说明理由；

（2）E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？

3.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：

单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）将

（1）中所求出的二次函数配方成

的形式，写出顶点坐标，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

4..某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

X（十万元）

0

1

2

…

y

1

1．5

1．8

…

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

【拔高】

1.某幢建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面

m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）

A．2mB．3mC．4mD．5m

2.在等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，

，动点P从点C出发沿C求D方向向终点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。

（1）求AD的长；

（2）设CP=

，问当

为何值时，

的面积达到最大？

求出最大值。

3.如图，足球场上守门员在

处开出一高球，球从离地面1米的

处飞出（

在

轴上），运动员乙在距

点6米的

处发现球在自己头的正上方达到最高点

，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点

距守门员多少米？

（取

）

（3）运动员乙要抢到第二个落点

，

他应再向前跑多少米？

（取

）

课程小结

利用二次函数的性质解决应用题的一般步骤：

1.设定实际问题中的变量

2.建立变量与变量之间的函数关系式

3.确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义

课后作业

【基础】

1.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x（m），花园的面积为y（m²）．

（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；

（2）根据

（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？

2.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米．

（