正多边形和圆弧长和扇形面积.docx

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正多边形和圆弧长和扇形面积

正多边形与圆、弧长与扇形面积

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法就是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数!

学习目标:

●了解正多边形与圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系,会应用正多边形与圆的有关知识画正多边形.

●通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长

与扇形面积

的计算公式,并应用这些公式解决问题、

●了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式,理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题、

重点难点:

●重点:

正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系;n°的圆心角所对的弧长

扇形面积

及它们的应用;圆锥侧面积与全面积的计算公式.

●难点:

正多边形半径与边长、边心距、中心角之间的关系;弧长与扇形面积公式的应用;由圆的周长与面积迁移到弧长与扇形面积公式的过程;圆锥侧面积与全面积的计算公式.

学习策略:

●要结合图形真正理解掌握相关概念,注意多观察实物模型、多动手、

二、学习与应用

（一）多边形的内角与公式为　　　　　　,多边形的外角与为　　　　、

（二）正ｎ边形有　个内角,每一个内角都　,每一个内角的度数为　　、

（三）正n边形有　　个外角,每一个外角都　　　,每一个外角度数为　　、

（四）正ｎ边形有　　条对角线.

（五）圆的半径为r,则其周长为　　　　,面积为　　、

知识点一:

正多边形的概念

各边　　,各角也　　　的多边形就是正多边形、

要点诠释:

判断一个多边形就是否就是正多边形,必须满足两个条件:

（1）各边　　　　;

（2）各角　　;缺一不可、如菱形的各边都相等,矩形的各角都相等,但它们都不就是正多边形（正方形）、

知识点二:

正多边形的重要元素

（一）正多边形的外接圆与圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系十分密切,只要把一个圆分成　的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就就是这个正多边形的外接圆.

（二）正多边形的有关概念

（1）一个正多边形的　　圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

（２）正多边形　　圆的半径叫做正多边形的半径.

（３）正多边形每一边所对的　角叫做正多边形的中心角、

（4）正多边形的　　到正多边形的一边的　　　叫做正多边形的边心距、

（三）正多边形的有关计算

（1）正n边形每一个内角的度数就是　　　　　　;

（2）正n边形每个中心角的度数就是　　　　;

（3）正n边形每个外角的度数就是　　　　、

知识点三:

正多边形的性质

（一）正多边形都只有　　　　个外接圆,圆有　个内接正多边形、

（二）正ｎ边形的半径与边心距把正n边形分成　个全等的直角三角形、

（三）正多边形都就是　　　　图形,对称轴的条数与它的　　数相同,每条对称轴都通过正n边形的　;当边数就是偶数时,它也就是　　　　　对称图形,它的　　　　　　就就是对称中心、

知识点四:

正多边形的画法

（一）用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以等分圆、

（二）用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形,可以用圆规与直尺作图、

知识点五:

弧长公式

半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长（圆的周长）公式:

　　n°的圆心角所对的圆的弧

长公式:

　　　（弧就是圆的一部分）

要点诠释:

（1）对于弧长公式,关键就是要理解1°的圆心角所对的弧长就是圆周长的　　　,即

;

（２）公式中的n表示1°圆心角的倍数,故n与１8０都不带单位,R为弧所在圆的半径;

（3）弧长公式所涉及的三个量:

、　　　　　度数、弧所在圆的　　　,知道其中的两个量就可以求出第三个量、

知识点六:

扇形面积公式

（一）扇形定义:

由组成圆心角的两条　　　与圆心角所对的　　所围成的图形叫做扇形、

（二）扇形面积公式:

半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积（圆面积）公式:

　n°的圆心角所对的扇形面积公式:

要点诠释:

（1）对于扇形面积公式,关键要理解圆心角就是1°的扇形面积就是圆面积的　　,即

;

（２）在扇形面积公式中,涉及三个量:

扇形　　　　、扇形　　　、扇形的　　　　　,知道其中的两个量就可以求出第三个量.

（３）扇形面积公式

可根据题目条件灵活选择使用,它与三角形面积公式

有点类似,可类比记忆;

（4）扇形两个面积公式之间的联系:

、

知识点七:

圆锥的侧面积与全面积

连接圆锥　与底面圆上任意一点的　　　叫做圆锥的母线、

圆锥的母线长为

底面半径为r,侧面展开图中的扇形面积圆心角为ｎ°,则圆锥的侧面积　　　　　　　　,全面积　　、

要点诠释:

扇形的半径就就是圆锥的　　　　　　,扇形的弧长就就是圆锥底面圆的　　　　　.因此,要求圆锥的侧面积就就是求展开图　　　　形面积,全面积就是由　　　　　与　　　　　　　　　组成的、

类型一:

正多边形的概念

例1、

（1）（２０１1江苏南通）比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点.

例如ﻩ它们的一个相同点:

正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等、

　它们的一个不同点:

正五边形不就是中心对称图形,正六边形就是

中心对称图形、请您再写出它们的两个相同点与不同点、

ﻩ相同点:

（1）　　

ﻩ（２）　　　　

ﻩ不同点:

（1）　　

ﻩ　

（2）　　　

（２）如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于Ｏ点,若分别以A、B、C、D为圆心,以OA长为半径作弧,分别与各边交于E、F、G、H、K、L、M、N点.

求证:

八边形EFGHＫLMN就是正八边形、

例２、已知:

如图,△ABC就是⊙Ｏ的内接等腰三角形,顶角∠A=36°,弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB、求证:

五边形ＡEＢＣＤ就是正五边形

类型二:

正多边形的有关计算

例3、

（1）（20１1广东中山）正八边形的每个内角为（　）

A.120°B、1３5°Ｃ.1４0°ﻩD.14４°

（2）已知正六边形ＡＢCDEＦ,如图所示,其外接圆的半径就是a,求正六边形的周长与面积、

举一反三:

【变式1】已知,如图,正八边形ABCDEＦGH内接于半径为R的⊙O,求这个八边形的面积.

探究思考:

这个八边形的边长a=?

提示:

如图所示,当ＯＡ=Ｒ时,

a=

　＝

=

=

类型三:

考查弧长与扇形的计算

例4.

（1）（2011广东广州）如图4,ＡB切⊙O于点B,OA=２,ＡB=3,弦BC∥OA,则劣弧

的弧长为（　）.

Ａ.

π　ﻩB.

πﻩC.πﻩＤ、π

　图4

（2）制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即

的长（结果精确到0、１mm）

例５、如图,已知扇形ＡOＢ的半径为１０,∠ＡＯB=60°,求

的长（结果精确到0、1）与扇形ＡOB的面积（结果精确到０.1）.

举一反三:

【变式1】如图,

为

的直径,

于点

交

于点

于点

、

（1）请写出三条与

有关的正确结论;

（2）当

时,求圆中阴影部分的面积、

类型四:

圆锥面积的计算

例6.（１）（201１山东泰安）一圆锥的侧面展开图就是半径为2的半圆,则该圆锥的全面积就是（　）

A、5π　　　Ｂ、4π　　　　C.３π　　　D.2π

（2）圣诞节将近,某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽,已知纸帽的底面周长为5８ｃm,高为20cｍ,要制作２0顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?

（结果精确到0、1cm２）

举一反三:

【变式１】如图,圆锥形的烟囱帽的底面直径就是

母线长

、计算这个烟囱帽侧面展开图的面积及圆心角、

【变式2】如图,已知Ｒt△ABC的斜边ＡＢ=13ｃm,一条直角边AＣ＝5cm,以直线ＡB为轴旋转一周得一个几何体.求这个几何体的表面积.

三、总结与测评

要想学习成绩好,总结测评少不了！

课后复习就是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力、

（一）首先要结合图形真正理解掌握正多边形及其相关的一些概念;

（二）在进行正多边形的有关计算时,要利用由正多边形的半径、边心距及弦的一半组成的直角三角形结合勾股定理进行计算;

（三）注意掌握用尺规等分圆的方法画一些特殊的正多边形;

（四）注意弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n与180都不带单位,若圆心角的单位不统一,应先统一单位,化为度;

（五）扇形面积公式

与三角形面积公式类似、把弧长瞧作底,R瞧做高就比较容易记忆了;

（六）对组合图形面积的计算问题,应认真全面观察与分析图形,避免拿起题目就盲目乱做、

经典例题透析

类型一、正多边形的概念

1.

（1）（201１江苏南通）比较正五边形与正六边形,可以发现它们的相同点与不同点、

　　例如它们的一个相同点:

正五边形的各边相等,正六边形的各边也相等、

　　它们的一个不同点:

正五边形不就是中心对称图形,正六边形就是中心对称图形、ﻫ　　请您再写出它们的两个相同点与不同点.ﻫ相同点:

（1）____＿____＿___＿

（2）＿__＿__＿＿_____＿ﻫ　　不同点:

（1）＿＿_＿___＿＿___＿＿ﻫ　　

（2）_____＿_____＿__

　答案:

相同点

（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等…）;（２）都就是轴对称图形（或都有外接圆与内切圆…）;、不同点（１）正五边形的每个内角就是１08°,正六边形的每个内角就是1２0°（或…）;

（2）正五边形的对称轴就是５条,正六边形的对称轴就是６条（或…）、ﻫ

　（２）如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于Ｏ点,若分别以A、B、Ｃ、D为圆心,以OA长为半径作弧,分别与各边交于E、F、G、H、Ｋ、L、Ｍ、Ｎ点、ﻫ　　　求证:

八边形EFGHKLＭN就是正八边形、ﻫ　　　　　　　　

　思路点拨:

欲证八边形EFGＨKＬMＮ就是正八边形,依据定义,只要证它的各角相等（都为13５°）,各边也相等、

　证明:

设正方形ＡBCD的边长为a,则

ﻫ　　

ﻫ　　　

ﻫ　　同理可证

ﻫ　　　　　　

ﻫ　　　　　

　　　　同理可证

　　∴八边形EFGＨKLMＮ的各边相等

　　　而△BＦＧ、△CＨK、△ＤML、△ＡＥＮ都就是等腰直角三角形,

　　由三角形的外角性质可得此八边形的每个内角都为90°+45°=135°

　　　　∴八边形EＦGHKLＭN就是正八边形、

ﻫ　

2.已知:

如图,△AＢＣ就是⊙Ｏ的内接等腰三角形,顶角∠A=36°,弦ＢD、CE分别平

分∠ABC、∠ＡCB、求证:

五边形ＡEBCD就是正五边形ﻫ解:

∵△ABC就是等腰三角形,顶角∠Ａ＝36°,ﻫ　　∴∠AＢＣ=72°,∠AＣB＝72°,

　　又弦BＤ、CE分别平分∠AＢC、∠ACBﻫ　　　∴∠ABＤ=∠DBC=∠AＣE＝∠BCＥ=∠BAＣ＝３6°

　∴五边形ＡEBＣD就是正五边形.ﻫﻫ类型二、正多边形的有关计算

ﻫ　

3、

（1）（