高中数学第一章常用逻辑用语14全称量词与存在量词141142全称量词存在量词学案新人教A版选修11.docx

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高中数学第一章常用逻辑用语14全称量词与存在量词141142全称量词存在量词学案新人教A版选修11

§1.4　全称量词与存在量词

1.4.1　全称量词

1.4.2　存在量词

学习目标

　1.理解全称量词、全称命题的定义.2.理解存在量词、特称命题的定义.3.会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假．

知识点一　全称量词与全称命题

思考　观察下列命题：

（1）所有偶函数的图象都关于y轴对称；

（2）每一个四边形都有外接圆；

（3）任意实数x，x2≥0.

以上三个命题有什么共同特征？

答案　都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．

梳理　

全称量词

所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号

∀

全称命题

含有全称量词的命题

形式

“对M中任意一个x，有p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）”

知识点二　存在量词与特称命题

思考　观察下列命题：

（1）有些矩形是正方形；

（2）存在实数x，使x>5；

（3）至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.

以上三个命题有什么共同特征？

答案　都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．

梳理　

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示

∃

特称命题

含有存在量词的命题

形式

“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p（x0）”

1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．（　×　）

2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（　√　）

3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．（　×　）

类型一　全称命题与特称命题的辨析

例1　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．

（1）凸多边形的外角和等于360°；

（2）有的向量方向不定；

（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

（4）矩形的对角线不相等；

（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　识别全称命题

解　

（1）可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

（2）含有存在量词“有的”，故是特称命题．

（3）含有全称量词“任意”，故是全称命题．

（4）可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．

（5）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

反思与感悟　判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

跟踪训练1　将下列命题用“∀”或“∃”表示．

（1）实数的平方是非负数；

（2）方程ax2＋2x＋1＝0（a<0）至少存在一个负根；

（3）若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　全称命题的符号表示

解　

（1）∀x∈R，x2≥0.

（2）∃x0<0，ax

＋2x0＋1＝0（a<0）．

（3）若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.

类型二　全称命题与特称命题的真假判断

例2　判断下列命题的真假．

（1）∃α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ；

（2）存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

（3）每一条线段的长度都能用正有理数表示；

（4）存在一个实数x0，使等式x

＋x0＋8＝0成立．

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　特称命题真假的判断

解　

（1）真命题，例如α＝

，β＝

，符合题意．

（2）真命题，函数f（x）＝0既是偶函数又是奇函数．

（3）假命题，如：

边长为1的正方形的对角线长为

，它的长度就不是有理数．

（4）假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．

反思与感悟　要判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p（x）都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p（x0）不成立，那么这个全称命题就是假命题．

要判定特称命题“∃x0∈M，p（x0）”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p（x0）成立即可；如果在集合M中，使p（x）成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．

跟踪训练2　判断下列命题的真假：

（1）有一些奇函数的图象过原点；

（2）∃x0∈R,2x

＋x0＋1<0；

（3）∀x∈R，sinx＋cosx≤

.

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　特称命题真假的判断

解　

（1）该命题中含有“有一些”，是特称命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．

（2）该命题是特称命题．

∵2x

＋x0＋1＝2

2＋

≥

>0，

∴不存在x0∈R，使2x

＋x0＋1<0.

故该命题是假命题．

（3）该命题是全称命题．

∵sinx＋cosx＝

sin

≤

恒成立，

∴对任意实数x，sinx＋cosx≤

都成立，故该命题是真命题．

类型三　由含量词的命题求参数

例3　对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求实数m的取值范围．

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　恒成立求参数的范围

解　令y＝sinx＋cosx，x∈R，

则y＝sinx＋cosx＝

sin

∈[－

，

]，

因为∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，

所以只要m<－

即可．

所以所求m的取值范围是（－∞，－

）．

引申探究　

若本例条件变为：

“存在实数x0，使不等式sinx0＋cosx0>m有解”，求实数m的取值范围．

解　令y＝sinx＋cosx，x∈R，

因为y＝sinx＋cosx＝

sin

∈[－

，

]．

又因为∃x0∈R，sinx0＋cosx0>m有解，

所以只要m<

即可，

所以所求m的取值范围是（－∞，

）．

反思与感悟　求解含有量词的命题中参数的范围的策略

（1）对于全称命题“∀x∈M，a>f（x）（或af（x）max（或a

（2）对于特称命题“∃x0∈M，a>f（x0）（或af（x）min（或a

跟踪训练3　已知函数f（x）＝x2－2x＋5.

（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

（2）若至少存在一个实数x0，使不等式m－f（x0）>0成立，求实数m的取值范围．

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　存在性问题求参数的范围

解　方法一　

（1）不等式m＋f（x）>0可化为

m>－f（x），

即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，

只需m>－4即可．

故存在实数m使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.

（2）不等式m－f（x0）>0，可化为m>f（x0），

若至少存在一个实数x0使不等式m>f（x0）成立，只需m>f（x）min.

又f（x）＝（x－1）2＋4，所以f（x）min＝4，所以m>4.

所以所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．

方法二　

（1）要使不等式m＋f（x）>0对∀x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0对∀x∈R恒成立，

所以Δ＝（－2）2－4（5＋m）<0，解得m>－4，

所以当m>－4时，m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立．

（2）若至少存在一个实数x0，使m－f（x0）>0成立，

即x

－2x0＋5－m<0成立．

只需Δ＝（－2）2－4（5－m）>0即可，

解得m>4.

所以实数m的取值范围是（4，＋∞）.

1．下列命题中，是正确的全称命题的是（　　）

A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0

B．菱形的两条对角线相等

C．∃x0，

＝x0

D．对数函数在定义域上是单调函数

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　识别全称命题

答案　D

2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是（　　）

A．存在一个α，使tan（90°－α）＝tanα

B．存在实数x0，使sinx0＝

C．对一切α，sin（180°－α）＝sinα

D．对任意α，β，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　特称命题真假的判断

答案　A

3．下列命题正确的是（　　）

A．∀x∈Z，x4≥1

B．∃x0∈Q，x

＝3

C．∀x∈R，x2－

x－1>0

D．∃x0∈N，|x0|≤0

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　特称命题真假的判断

答案　D

解析　对于A，如x＝0，不合题意；

对于B，x＝±

，错误；

对于C，如x＝0时，－1<0，错误．故选D.

4．命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）>0”用“∃”或“∀”可表述为_____________．

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　特称命题的符号表示

答案　∃x0<0，（1＋x0）（1－9x0）>0

5．命题：

3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　恒成立求参数的范围

解　“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．

当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；

当m>0，且Δ＝m2－12m<0，

即00恒成立，

所以0

综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.

1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．

3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.

一、选择题

1．给出下列命题：

①存在实数x0>1，使x

>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．

其中特称命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　识别特称命题

答案　C

解析　由存在量词及特称命题的定义知①③④为特称命题．

2．下列全称命题中真命题的个数为（　　）

①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f（x）＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．1B．2C．3D．4

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　全称命题真假的判断

答案　C

解析　①②③为真命题．

3．给出以下命题：

①∀x∈R，有x4>x2；

②∃α∈R，使得sin3α＝3sinα；

③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.

其中真命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　特称命题真假的判断

答案　B

解析　①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ（k∈Z）时，sin3α＝3sinα成立，故为真命题；③中，由于函数f（x）＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题．故选B.

4．有下列四个命题：

①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，x

≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数，其中真命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

考点　全称命题与特称命题的真假判断

题点　全称命题与特称命题的真假判断

答案　C

解析　①中，2x2－3x＋4＝2

2＋

>0，

故①正确；

②中，当x＝－1时，2x＋1<0，故②不正确；

③中，当x0＝0或1时，x

≤x0，故③正确；

④中，∃29∈N*,29为29的约数，④正确．

∴真命题的个数为3.

5．已知命题p：

∃x0∈R，x

＋1<2x0；命题q：

不等式x2－2x－1>0恒成立，那么（　　）

A．“綈p”是假命题B．q是真命题

C．“p∨q”是假命题D．“p∧q”是真命题

考点　“p∨q”形式的命题

题点　判断“p∨q”形式命题的真假

答案　C

解析　根据基本不等式，x2＋1≥2x，所以命题p是假命题．

因为当x＝0时，x2－2x－1＝－1<0，所以命题q是假命题．

所以綈p是真命题，“p∨q”是假命题，“p∧q”是假命题，所以C正确．

6．已知a>0，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是（　　）

A．∃x0∈R，f（x0）≤f（x1）

B．∃x0∈R，f（x0）≥f（x1）

C．∀x∈R，f（x）≤f（x1）

D．∀x∈R，f（x）≥f（x1）

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　全称命题真假的判断

答案　C

解析　∵x1是方程2ax＋b＝0的解，

∴x1＝－

，

又∵a>0，

∴f（x1）是y＝f（x）的最小值，

∴f（x）≥f（x1）恒成立．

7．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A．a≥4B．a≤4

C．a≤5D．a≥5

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　恒成立求参数的范围

答案　D

解析　当该命题是真命题时，只需a≥（x2）max，x∈[1,2]．

又y＝x2在[1,2]上的最大值是4，所以a≥4.

因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选D.

8．在R上定义运算⊗：

x⊗y＝x（1－y），若不等式（x－a）⊗（x＋a）<1对任意x成立，则（　　）

A．－1

C．－

D．－

考点　全称量词及全称命题的应用

题点　求参数的范围

答案　C

解析　应用新定义运算可得（x－a）⊗（x＋a）＝（x－a）·[1－（x＋a）]

＝－x2＋x－a＋a2<1恒成立，

即x2－x＋a－a2＋1>0恒成立，

a2－a

而x2－x＋1＝

2＋

≥

，

∴a2－a<

，即－

.

二、填空题

9．命题“末位是0的整数可以被5整除”________全称命题．（填“是”或“不是”）

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　识别全称命题

答案　是

解析　原命题可写为“所有末位为0的整数都可以被5整除”．

10．下列命题：

①存在x0<0，x

－2x0－3＝0；

②对于一切实数x<0，都有|x|>x；

③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm.

其中，所有真命题的序号为________．

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　全称命题真假的判断

答案　①②

解析　因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，

所以存在x0＝－1<0，使x

－2x0－3＝0，故①为真命题；

②显然为真命题；

③当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题．

11．若“∀∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　恒成立求参数的范围

答案　1

解析　∵∀x∈

，∴tanx≤1，∴m≥1，故实数m的最小值为1.

三、解答题

12．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

（1）存在一条直线，其斜率不存在；

（2）对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

（3）存在实数x0，使得

＝2.

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　全称命题真假的判断

解　

（1）是特称命题，用符号表示为“∃直线l0，l0的斜率不存在”，是真命题．

（2）是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．

（3）是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，

＝2”，是假命题．

13．已知命题p：

“∃x0∈R，sinx0

“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．

考点　全称量词及全称命题的应用

题点　求参数的范围

解　由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．

因为“∃x0∈R，sinx0

所以m>－1.

又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，

所以Δ＝m2－4<0，解得－2

综上所述，实数m的取值范围是（－1,2）．

四、探究与拓展

14．不等式组

的解集记为D.有下面四个命题：

p1：

∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2；

p2：

∃（x0，y0）∈D，x0＋2y0≥2；

p3：

∀（x，y）∈D，x＋2y≤3；

p4：

∃（x0，y0）∈D，x0＋2y0≤－1.

其中真命题是（　　）

A．p2，p3B．p1，p4

C．p1，p2D．p1，p3

考点　全称量词及全称命题的真假判断

题点　全称命题真假的判断

答案　C

解析　画出可行域如图中阴影部分所示，

由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A（2，－1）时取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.

15．若命题“∃a∈[1,3]，使ax2＋（a－2）x－2>0”是真命题，则实数x的取值范围是________．

考点　存在量词与特称命题的真假判断

题点　存在性问题求参数的范围

答案　（－∞，－1）∪

解析　令f（a）＝ax2＋（a－2）x－2＝（x2＋x）a－2x－2，是关于a的一次函数，

由题意，得（x2＋x）－2x－2>0或（x2＋x）·3－2x－2>0，

即x2－x－2>0或3x2＋x－2>0，

解得x<－1或x>

.