最新初中数学证明一二三知识点汇总及练习题优秀名师资料.docx
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最新初中数学证明一二三知识点汇总及练习题优秀名师资料
证明（一、二、三）
证明（一、二）
一、命题，判断一件事情的句子，叫做命题。
1.每个命题都有___________和___________两部分组成。
___________是已知的事项，___________是由已知事项推断出的事项。
一般地，命题都可以写成“___________”的形式，其中“如果”引出的部分是___________，“那么”引出的部分是___________。
2.正确的命题称为___________，不正确的命题称为___________。
3.具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子成为反例。
二、公理：
1.平行判定：
___________相等，两直线平行。
___________相等，两直线平行。
___________互补，两直线平行。
2.平行性质：
两直线平行，____________________________________________。
3.与三角形的有关公理
（1）___________对应相等的两个三角形全等（SSS）
（2）___________对应相等的两个三角形全等（SAS）
（3）___________对应相等的两个三角形全等（ASA）
（4）全等三角形的___________相等
三、与三角形有关的定理
1.三角形内角和___________
2.三角形的一个外角等于___________
3.三角形的一个外角大于______________________
4.根据上面的公理和已证明的定理，可以证明下面的推论和定理：
（1）______________________对应相等的两个三角形全等（AAS）
（2）等腰三角形_________________________________互相重合。
（简称“三线合一”）
（3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于___________。
（4）有一个角等于60°的___________是等边三角形。
（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于___________。
（6）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。
（7）三个角都相等的三角形是___________三角形。
（8）等腰三角形的___________相等（简称为“等边对等角”）
（9）有___________相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）
（10）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的___________。
（11）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是___________
（12）______________________对应相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）
（13）线段垂直平分线上的点到___________的距离相等。
（14）到一条线段___________距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（15）三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到___________的距离相等。
（这个交点也叫三角形的___________。
不同的三角形，___________的位置不同：
______________________）
（16）角平分线上的点到这个角的___________的距离相等。
（17）一个角的内部，且到角的两边___________相等的点，在这个角的平分线上。
（18）三角形三条角平分线相交于一点，交且这一点到___________的距离相等。
（这个点也叫三角形的___________，都在三角形的___________）
5.反证法：
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为___________。
6.互逆命题、互逆定理：
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为___________，其中一个命题称为另一个命题的___________。
如果一个定理的逆命题经过证明是___________，那么它也是一个定理，这两个定理称为另一个定理的___________。
证明（三）本章所证明的定理和推论：
（1）平行四边形的对边___________
（2）平行四边形的对角___________，邻角___________
（3）平行四边形的对角线___________
（4）___________的两个角相等的梯形是等腰梯形
（5）两组对边分别___________的四边形是平行四边形
（6）两组对边分别___________的四边形是平行四边形
（7）一组对边___________的四边形是平行四边形
（8）对角线___________的四边形是平行四边形
（9）三角形的中位线___________第三边，且等于第三边___________
（10）一个角是___________的平行四边形是矩形
（11）矩形的四个角都是___________
（12）矩形的对角线___________
（13）有___________个角是直角的四边形是矩形
（14）对角线___________的平行四边形是矩形
（15）一组邻边___________的平行四边形是菱形
（16）菱形的四边都___________
（17）菱形的对角线___________，并且每条对角线___________
A）___________条边相等的四边形是菱形
B）对角线___________的平行四边形是菱形
（18）本章证明的其他可以在推论过程中使用的内容：
A）夹在两边平行线间的平行线段___________
B）对角线___________的四边形是平行四边形
C）两组对角___________的四边形是平行四边形
D）正方形的两条对角线___________并且互相___________每条对角线平分一组对角
E）一个角是直角的___________是正方形
F）对角线相等的___________是正方形
G）对角线___________的矩形是正方形
I）直角三角形斜边中线等于___________
H）如果三角形的一边中线等于这一边的一半，那么这个三角形是___________
答案：
一、命题：
1.条件 结论 条件 结论 如果……那么…… 条件 结论
2.真命题 假命题
二、公理：
1.同位角 内错角 同旁内角
2.同位角相等，内错角相等，同旁内角互补
3.
（1）三边
（2）两边及其夹角
（3）两角及其夹边 （4）对应边、对应角
三、与三角形有关的定理
1.等于180°
2.和它相邻的两个内角之和
3.任何一个和它不相邻的内角
4.
（1）两角及其中一角的对边
（2）顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高
（3）60° （4）等腰三角形 （5）斜边的一半
（6）30° （7）等边 （8）两个底角
（9）两个角 （10）平方 （11）直角三角形
（12）斜边和一条直角边
（13）这条线段两个端点
（14）两个端点
（15）三个顶点 外心 外心 锐角三角形外心在内部，钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点上
（16）两边 （17）距离 （18）三条边 内心 内部
5.反证法
6.互逆命题 逆命题
真命题 互逆定理 其中一个定理称为 逆定理
证明（三）
（1）平行且相等
（2）相等 互补 （3）互相平分
（4）同底上 （5）相等 （6）平行
（7）平行且相等 （8）互相平分 （9）平行于 一半
（10）直角 （11）直角 （12）相等
（13）三 （14）相等 （15）相等
（16）相等
（17）互相垂直 平分一组对角
A）四 B）互相垂直
（18）
A）相等 B）互相平分 C）相等
D）平分、相等 垂直 E）菱形 F）菱形
G）互相垂直 J）斜边的
H）直角三角形
【典型例题】
1.如图：
当
（1）、
（2）中的直线MA∥NB时，请分别找出∠APB与∠MAP和∠NBP的大小关系，并证明。
分析：
此类题目属于探索性题目，是现在比较流行的题目，在解这类题目时，应首先搞清已知和求证。
对于图形的变形，要力求找到新图形与旧图形之间的关系，以便推出所得结论。
解：
（1）延长AP交NB于Q点
∵MA∥NB
∴∠1=∠2，
∵∠APB=∠2+∠B
∴∠APB=∠1+∠B=∠MAP+∠NBP
（2）∵MA∥NB
∴∠MAP=∠AOB
∵∠AOB=∠APB+∠NBP
∴∠MAP=∠APB+∠NBP
∴∠APB=∠MAP－∠NBP
2.已知：
P是线段CD的垂直平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，求证：
①OC=OD；②OP平分∠AOB
分析：
此题已知中“P是线段CD的垂直平分线上一点”，容易让人错误地认为OP就是CD的垂直平分线了，这是不对的，希望同学们能认真审题，把握好方向，以便顺利地解出题来。
解：
①P是线段CD的垂直平分线上一点
∴PC=PD
∵PC⊥OA，PO⊥OB
OP=OP
∴Rt△COP≌Rt△DOP（HL）
∴OC=OD
②∴∠COP=∠DOP
即OP平分∠AOB
3.已知：
DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，点E、G在BC上，BC=10cm，求△AEG的周长。
分析：
根据垂直平分线定理，可得
AE=BE，AG=GC
AE、AG又是△AEG的两条边，EG是它的第三条边，
△AEG的周长就是BC的长。
解：
∵DE是AB的垂直平分线
∴BE=AE
∵GF是AC的垂直平分线
∴GC=AG
△AEG的周长=AE+EG+GA=BE+EG+GC=BC=10cm，
4.正方形ABCD中，M是BC上一点，N是CD中点，且AM=DC+CM，求证：
AN平分∠DAM。
分析：
已知AM=DC+CM，于是可以把MC延长并与AN的延长线交于E，利用正方形边相等和三角形全等证明AM=ME，从而证明△AME为等腰三角形，得到两底角相等，进而证明AN平分∠DAM。
证明：
延长MC交AN延长线于E
∵N是DC中点，∴DN=CN
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠D=∠NCE=90°
∵AD∥CB，∴∠1=∠2
∴在△ADN和△ECN中
∴△ADN≌△ECN（AAS）
∴CE=AD=CD
又∵AM=CM+CD ∴AM=CM+CE=ME
∴△AME为等腰△
∴∠E=∠EAM
又∵∠E=∠DAN
∴∠DAN=∠NAM
即AN平分∠DAM。
【模拟试题】
1.已知，△ABC中，∠DAC=∠B，求证：
∠ADC=∠BAC。
2.如图：
求证：
①∠BDC>∠A
②∠BDC=∠B+∠C+∠A
③若点D在线段BC的另一侧，结论会怎样。
3.证明：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A沿侧面到点C'处吃食物，它怎样走路径最短？
并求出其长？
5.已知：
沿折痕AC折叠长方形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F，若AB=8，且S△ABF=24，求EC。
6.已知：
DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，点E、G在BC上，BC=10cm，求△AEG的周长。
7.△ABC中，AB=AC=9cm，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于F，求DF
【试题答案】
1.证明：
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠B+∠BAD
∵∠BAC=∠DAC+∠BAD
∵∠B=∠DAC
∴∠ADC=∠BAC
2.证明：
①延长BD交AC于E
∵∠BDC是△CDE的外角
∴∠BDC>∠DEC
∵∠DEC是△ABE的外角
∴∠DEC>∠A
∴∠BDC>∠A
②同理，∠BDC=∠C+∠DEC
∵∠DEC=∠A+∠B
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C
③∠BDC=360°－（∠A+∠B+∠C）
3.延长CD到E，使CD=DE，连结AE、BE
∵AD=BD，CD=DE
∴ACBE是平行四边形
∵∠ACB=90°
∴ACBE是矩形
定义：
在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;
4、根据学生的知识缺漏，有目的、有计划地进行补缺补漏。
∴AB=CE
在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有∴
4、初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受数学在日常生活中的作用,感受加减法与日常生活的密切联系,同时获得一些初步的数学活动经验，发展解决问题和运用数学进行思考的能力。
本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。
旨在综合运用所学的知识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。
同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!
4.
43.19—3.25观察物体2生活中的数1P22-23
9切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.5.3
6.10
①垂直于切线;②过切点;③过圆心.
7.
①圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。
年级
初三
学科
数学
版本
北师大版
期数
030
内容标题
中考复习证明（1，2，3）
分类索引号
G.623.3
分类索引描述
学习资料
主题词
中考复习证明（1，2，3）
栏目名称
同步课堂
编稿老师
李斗斗
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