整式找规律专题含答案.docx
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整式找规律专题含答案
2019-2020整式找规律专题（含答案）
一、解答题
1．你会求的值吗?
这个问题看上去很复杂，我们可以
先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：
（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，
得到
=________
利用上面的结论，求
（2）
的值；
（3）求
的值.
2．下列是用火柴棒拼出的一列图形．
仔细观察，找出规律，解答下列各题：
⑴第4
个图中共有_________根火柴，第
6个图中共有_________根火柴；
⑵第n个图形中共有_________根火柴（用含n的式子表示）
⑶若f（n）=2n-1
（如f（-2）=2
×（-2）-1，f（3）=2×3-1），求f
（1）+f
（2）++f（2017）
的值．
2017
⑷请判断上组图形中前
2017
个图形火柴总数是
2017
的倍数吗，并说明理由?
3．观察下列算式：
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
;
2
3
2
3
;
3
4
3
;⋯⋯
6
12
4
（1
）通过观察，你得到什么结论？
用含
n（n
为正整数）的等式表示：
________．
（2）利用你得出的结论，计算：
1
1
1
1
（a1）（a2）
（a2）（a3）
（a3）（a4）
（a4）（a5）
4．观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
1
0
1
0
1
2
1
1，
2
1
1
1
1
2
3
2
1，
3
第3个等式：
第4个等式：
第5个等式：
1
2
1
2
3
4
3
1，
4
1
3
1
3
4
5
4
1，
5
1
4
1
4
5
6
5
1，
6
⋯⋯
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：
；
（2）写出你猜想的第n个等式：
（用含n的等式表示），并证明.
5．先观察：
1﹣=×，1﹣=×，1﹣=×，⋯
（1）探究规律填空：
1﹣=×；
（2）计算：
（1﹣）?
（1﹣）?
（1﹣）⋯（1﹣）
6．我们知道，，，
⋯⋯
（1）猜想：
13+23+33+⋯+（n－1）3+n3=×（）2×（）2．
（2）计算：
①13+23+33+⋯+993+1003；
②23+43+63+⋯+983+1003．
7．有规律排列的一列数：
2,4,6,8,10,12，⋯，它的每一项可用式子2n（n是正整数）来表示；则有规律
排列的一列数：
1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，⋯
（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？
（2）它的第100个数是多少？
（3）2017是不是这列数中的数？
如果是，是第几个数？
，x
，x
，⋯x
都是不等于
0的有理数，若y
1=
x1
，求y的值．
8．已知x1
2
3
2016
x1
1
当x1＞0时，y1=
x1
x1
=1
；当x1＜0
x1
x1
=﹣1，所以y1=±1
x1
=
时，y1==
x1
x1
x1
（1）若y2=
x1
+
x2
，求y2的值
x1
x2
（2）若y3=
x1
+
x2
+
x3
，则y3的值为
；
x1
x2
x3
（3）由以上探究猜想，y2016=
x1
+
x2
+
x3
+⋯+x2016
共有
个不同的值，在
y2016这些不同
x1
x2
x3
x2016
的值中，最大的值和最小的值的差等于．
9．
（1）填空：
（
）
______
；
（
）
______；
（
）
______；
（
2）猜想：
（
a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+⋯+abn-2+bn-1）=______（其中n为正整数，且
n≥2）；
（
3
）利用
（2）猜想的结论计算：
①
2
9
8
7
+⋯
2
+2+2
+2+2+1
②210-29+28-⋯-23+22-2．
10
．仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题：
例：
求1
2
22
23
24
22017的值.
解：
令S＝1
222
23
24
22017，
则2S＝2
22
23
24
25
22018，
所以2S﹣S＝22018
1，即S=220181，
所以1
2
22
23
24
22017＝22018
1
仿照以上推理过程，计算下列式子的值：
①
1
5
52
53
54
5100
②1
332
33
34
35
32016
11．如图所示，用棋子摆成的
“上”字：
第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（1）第四、第五个“上”字分别需用和
枚棋子．
（2）第
n个“上”字需用
枚棋子．
（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？
12．观察下列三行数：
0，3，8，15，24,⋯
2，5，10，17，26，⋯
0，6，16，30，48，⋯
（1）第行数按什么规律排列的，请写出来？
（2）第、行数与第行数分别对比有什么关系？
）
（3）取每行的第个数，求这三个数的和
13．观察下列各式：
⋯⋯
由上面的规律：
（1）求
的值；
（2）求
⋯+2+1的个位数字．
（3）你能用其它方法求出
的值吗？
14．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；
第二个数是；
第三个数是；
⋯
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．
（1）经过探究，我们发现：
设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），
并且证明你的猜想满足
“第n个数与第（n+1）个数的和等于
”；
（3）设M表示
，
，
，⋯，
，这2016个数的和，即
，
求证：
．
15
．观察下列等式：
1
个等式：
a1
1
1
1
第
1
3
（1
）
2
3
第2
个等式：
a2
3
1
1（1
1）
5
2
3
5
第
3
等式：
a3
1
1（1
1）
5
7
2
5
7
第4
个等式：
a4
7
1
1（1
1）
9
2
7
9
请解答下列问题：
（1）按以上规律写出第
5个等式：
a5＝
＝
．
（2）用含n的式子表示第
n个等式：
an＝
＝
（n为正整数）．
（3）求a1+a2+a3+a4+⋯+a2018的值．
16．这是一个很著名的故事：
阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？
阿基
米德对国王说：
“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒⋯⋯
按这个方法放满整个棋盘就行。
”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了,结果国王输了．
（1）我们知道,国际象棋共有64个格子,则在第64格中应放多少米？
（用幂表示）
（2）请探究第
（1）中的数的末位数字是多少?
（简要写出探究过程．）
（3）你知道国王输给了阿基米德多少粒米吗?
为解决这个问题,我们先来看下面的解题过程：
用分数表示无限循环小数：
．
解：
设①．等式两边同时乘以10,得②．
将②①得：
9x
2,则x
2
．
，∴
9
请参照以上解法求出国王输给阿基米德的米粒数（用幂的形式表示）．
17．观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
第四个等式：
按上述规律，回答下列问题：
请写出第六个等式：
______
______；
用含n的代数式表示第
n个等式：
____________；
______得出最简结果
；
计算：
．
18
．我国古籍《周髀算经》中早有记载
“
”
.
勾三股四弦五
，下面我们来探究两类特殊的勾股数
通过
观察完成下面两个表格中的空格（以下
a、b、c为Rt△ABC
的三边，且a＜b＜c）：
表一
表二
a
b
c
a
b
c
3
4
5
6
8
10
5
12
13
8
15
17
7
24
25
10
24
26
9
41
12
37
（1）仔细观察，表一中
a为大于1
的奇数，此时
b、c的数量关系是_____________，
a、b、c之间的数量关系是
_________________________；
（2）仔细观察，表二中
a为大于4
的偶数，此时
b、c的数量关系是_____________，
a、b、c之间的数量关系是
_________________________；
（3）我们还发现，表一中的三边长
“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，
12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系
⋯⋯请直接利用这一规律计算：
在Rt△ABC
中，当a
3
4
，b
时，斜边c的值.
5
5
19．观察以下一系列等式：
①21﹣20=2﹣1=20；②22﹣21=4﹣2=21；
③23﹣22=8﹣4=22；④_____：
⋯
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第
④个等式：
_____；
（2）根据你上面所发现的规律，用含字母
n的式子表示第n个等式：
_____；
（
3）请利用上述规律计算：
20+2
1+22+23+⋯+2100．
20
．观察下列有规律的数：
1，
1，1，1，1
，
1
⋯根据规律可知
2612203042
1第7个数是________，第n个数是________（n为正整数）；
21是第________个数；
132
3
1
1
1
1
1
1
1
．
计算
6
12
20
30
...
2016
2017
2
42
21．观察下列算式，你发现了什么规律？
12=123；12+22=23
5；12+22+32=34
7；12+22+32+42=459；⋯
6
6
6
6
（1）
根据你发现的规律，计算下面算式的值；
12
22
32
82
________；
（2）
请用一个含n的算式表示这个规律：
12
22
32
n2
_________
22．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式：
①1＝12；②1＋3＝22；③1＋3＋5＝32；④_____________；⑤_____________；⋯.
（2）通过猜想写出与第n个点阵图相对应的等式．
23．把2100个连续的正整数1、2、3、⋯⋯、2100，按如图方式排列成一个数表，如图用一个正方
形框在表中任意框住
4个数，设左上角的数为
x．
（1）另外三个数用含
x的式子表示出来，从小到大排列是
___________
（2）被框住4个数的和为416时，x值为多少？
（3）能否框住四个数和为324？
若能，求出x值；若不能，说明理由
（4）从左到右，第1至第7列各数之和分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，请直接写出7个数中最
大的数与最小的数之差．
2
5
，b
8
11
，b
14
24．观察下面的一组分式：
b
，
b
2
3
，
b
4
5⋯
a
a
a
a
a
（1）求第10个分式是多少？
（2）列出第n个分式．
25．一张长方形的桌子有6个座位，小刚和小丽分别用长方形桌子设计了一种摆放方式：
（1）小刚按方式一将桌子拼在一起如左图.3张桌子在一起共有______个座位，n张桌子拼在一起共
有______个座位。
（2）小丽按方式二将桌子拼在一起如右图.3张桌子在一起共有______个座位，m张桌子拼在一起共有______个座位。
（3）某食堂有A、B两个餐厅，现有300张这样的长方形桌子，计划把这些桌子全放在两个餐厅，
每个餐厅都要放有桌子。
将a张桌子放在A餐厅，按方式一每6张桌子拼成一张大桌子；将其余桌
子都放在B餐厅，按照方式二每4张桌子拼成一张大桌子。
若两个餐厅一共有1185个座位，A、B
两个餐厅各有多少个座位？
26．生活与数学
（1）吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么第一个数
是；
（2）玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则它们分别
是；
（3）莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是；
（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是
（5）若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数的关系是
号；
；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是；
③托马斯也画了一个斜框，斜框内
9个数的和为
252，则斜框的中间一个数是
．
27．我们常用的数是十进制数，
如46574103
6102
5101
7
100，数要用
10
个数码（又
叫数字）：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：
0和1，
如二进制中110
1
22
121
020等于十进制的数6，110101
1
25
124
0
23
122
021
120等于十进制的数53.那么二进制中的数
101011
等于十进制中的哪个数？
28．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，
那么称这个正整数为
“奇特数”，如：
832
12，
1652
32,24
72
52，⋯⋯因此8、16、24
这三个数都是奇特数
.
（1）56是奇特数吗？
为什么？
（2）设两个连续奇数为2n1和2n1（其中n取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍
数吗？
为什么？
29．如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答．
（
1
）表示第
9
行的最后一个数是
．
（
2
）用含n
的代数式表示：
第
n行的第一个数是
，第n行共有
个数；第n行各数之
和是
．
30．高斯函数
x，也称为取整函数，即
x
表示不超过x的最大整数
.例如：
2.92，
1.52
.试探索：
（1）
（2）
5
_____,
_____；
2.7
2.3
_____；
（3）20173
20174
20175
20176
20177
20178
_____.
11
11
11
11
11
11
参考答案
1．
（1）；
（2）；（3）
【解析】分析：
（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案；
（2）先变形，再根据规律得出答案即可；
（3）先变形，再根据算式得出即可．
详解：
（1）（a﹣
1）（a2018+a2017+a2016+⋯+a2+a+1
=a2019﹣1．
）
故答案为：
a2019﹣1；
（2）22018+22017+22016+⋯+22+2+1
=（2﹣1）×（22018+22017+22016+⋯+22+2+1）
=22019﹣1
故答案为：
22019﹣1；
（3）∵（
）（
）
∴
∴
．
点睛：
本题考查了整式的混合运算的应用，能根据题目中的算式得出规律是解答此题的关键，
难度适中．
2．1725（4n+1）
【解析】试题分析：
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通
过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
试题解析：
（1）第4个图案中火柴有4×4+1=17；
第6个图案中火柴有
4×6+1=25；
（2）当
n=1
时，火柴的根数是
4×1+1=5；
当n=2时，火柴的根数是4×2+1=9；
当n=3时，火柴的根数是4×3+1=13；
所以第n个图形中火柴有4n+1．
（3）f
（1）=2×1-1=1，
f
（2）=2×2-1=3，
f（3）=2×3-1=5，
f1f
2
f2017
（
21
）（
）
+
（
2?
2017-1）
1+
2?
2-1+
2017
2017
2（1
2+
+2017）-2017
2017
（12017）-2017
=2017.
=
2017
=
2017
（4）4×1+1+4×2+1++4×2017+1
=4×（1+2++2017）+1×2017
1
=4××（1+2017）×2017+2017
2
=2×（1+2017）×2017+2017
=4037×2017.
∴是2017倍数.
1
1
1
4
3．
（1）
n
n1
（2）
n（n1）
（a1）（a5）
【解析】
【分析
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