初二数学期末.docx
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初二数学期末
【本讲教育信息】
一.教学内容：
1.平移与旋转．
2.函数和一次函数．
3.四边形．
4.分式方程．
5.命题与证明．
6.数据的代表值与离散程度．
二.知识要点：
1.平移、旋转、轴对称和中心对称的比较
概念
性质
图例
联系
平移
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离
对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连线段平行且相等；对应角分别相等，且两边分别平行且方向一致．
①都是在平面内进行的图形变换；②在变换前后都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；③变换前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等．
旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度．
对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等．
中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°
连结对称点的线段都经过对称中心并且被对称中心平分．
轴对称
在平面内，将一个图形沿某条直线折叠．
对应线段或延长线相交，交点在对称轴上；对应点的连线被对称轴垂直平分．
2.函数
（1）函数的三种表示方法：
表达式法、列表法、图像法．
（2）函数图像的画法：
列表、描点、连线．
3.一次函数的图像与性质
（1）一次函数的图像是一条直线，类型如下：
（2）性质：
k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小．
（3）直线y＝kx＋b由y＝kx向上（b>0）或向下（b<0）平移︱b︱个单位得到．
4.一次函数与方程（组）、不等式之间的关系
（1）一元一次方程kx＋b＝y0（y0是已知数）的解就是直线y＝kx＋b上y＝y0时该点的横坐标．
（2）一元一次不等式kx＋b≤y0（或kx＋b≥y0）（y0是已知数）的解集就是直线y＝kx＋b上满足y≤y0（或y≥y0）的那条射线所对应的自变量的取值范围．
（3）利用二元一次方程组确定一次函数y＝kx＋b中k、b的值；两条直线y1＝k1x＋b1、y2＝k2x＋b2的交点坐标是方程组
的解．
5.几种特殊四边形的区别
（1）平行四边形
从边看——
从角看——两组对角分别相等
从对角线看——对角线互相平分
（2）矩形
从角看——
从对角线看——
（3）菱形
从边看——
从对角线看——
（4）正方形
从边看——有一组邻边相等的矩形
从角看——有一个角是直角的菱形
6.分式方程
解分式方程的基本思想是通过去分母把分式方程转化为整式方程，并不是每个分式方程都有解，必须验根．
7.命题与证明
8.数据的代表值与离散程度
三.重点难点：
本册重点内容有三个：
一是几种四边形的性质的判定方法；二是几何命题及证明；三是一次函数的图像和性质．难点内容主要是运用函数知识解决实际问题和几何命题的证明方法．
四.考点分析：
平移和旋转、数据的代表值与离散程度一般会以选择题或填空题的形式出现，所占比重不大，大概1~2题．有关四边形、分式方程、函数的内容一般以解答题形式出现，分值较高．
【典型例题】
例1.下列图形中哪些是中心对称图形而不是轴对称图形（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
分析：
平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
解：
A
评析：
正确把握中心对称图形和轴对称图形的概念及识别方法是解决此类问题的关键．
例2.
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC＝12，BD＝9．此梯形的上、下底之和是__________．
（2）如果方程
＋3＝
有增根，那么a＝__________．
分析：
（1）四边形问题在不能得到直接解决时可以转换为三角形问题解决，作DE∥AC交BC的延长线于点E，则DE＝AC＝12，因为AC⊥BD，所以∠BDE＝90°．在Rt△BDE中，BD＝9，DE＝12，所以BE＝15．又AD＝CE，所以BC＋AD＝BC＋CE＝BE＝15．
（2）去分母并整理得a＝5－2x．因为此方程有增根，即x－2＝0，所以x＝2，a＝5－2x＝1．
解：
（1）15，
（2）1
评析：
（1）若题中没有可以利用的三角形、平行四边形，可以通过作辅助线构造三角形来解决．
（2）x＝2虽不是原分式方程的根，但是它是a＝5－2x的根．
例3.如图所示，已知AB∥CD，求证：
∠AEC＝∠1＋∠2．
分析：
本题已知平行线，关键是如何使要证的角与平行线发生联系，需作出辅助线，沟通已知和结论．
证法一：
如图所示，过点E作EF∥AB，
∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵∠AEC＝∠3＋∠4，
∴∠AEC＝∠1＋∠2（等量代换）．
证法二：
如图所示，连结AC，
∵AB∥CD（已知），
∴∠BAC＋∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠1＋∠3＋∠4＋∠2＝180°，
∴∠1＋∠2＝180°－∠3－∠4（等式性质）．
在△ACE中，∠3＋∠4＋∠E＝180°（三角形三个内角的和等于180°），
∴∠E＝180°－∠3－∠4（等式性质），
即∠AEC＝∠1＋∠2．
评析：
添加辅助线时，需要根据个人对问题的分析思路来确定．
例4.我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追击．如图所示，l1、l2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．
根据图像回答下列问题：
（1）哪条线段表示B离海岸的距离与追赶时间的关系？
（2）A、B哪个速度快？
（3）15分钟内B能否追上A？
（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？
（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？
分析：
注重实际问题向数学问题的转化，本题依据图像语言体现数据，注重了数形结合思想．
解：
由图像得：
（1）当t＝0时，B距海岸0海里，即s＝0，故l1表示B离海岸的距离与追赶时间之间的关系．
（2）t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5，即10分钟内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快．
（3）延长l1、l2（如图所示），可以看出，当t＝15时，两直线未相交，故15分钟内B不能追上A．
（4）如图所示，l1、l2相交于点P．因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A．
（5）图中，l1和l2交点P的纵坐标小于12，这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A．
评析：
你能用其他方法解决上述问题吗？
体会数形结合的作用，利用图像很直观地获得解决，感悟数形结合的优点．此外，如果轮船不是匀速航行，只要航行时间一定，最后结果也一样，只是所画的图像不是直线而已．
例5.在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下：
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两组的人平均分都是80分，请根据你学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中哪一组的成绩好些，哪一组稍差，并说明理由．
分析：
本题要求我们用所学过的统计知识，对数据进行进一步分析，是多角度的，不要仅仅局限于用方差．
解：
①甲组成绩的众数为90分，而乙组成绩的众数是70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．②通过计算，得
＝172，
＝256，
＜
，所以甲组成绩的波动小．③甲、乙两组成绩的中位数都是80分，甲组成绩在中位数及以上有33人，而乙组成绩在中位数及以上有26人，从这一角度看甲组成绩总体较好．④从成绩统计表看，甲组成绩等于或高于90分的有20人，乙组成绩等于或高于90分的有24人，乙组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组满分人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看乙组的成绩较好．
评析：
对于一组数据来说，我们要衡量这组数据的集中趋势，可以通过平均数、众数和中位数这三个统计量来分析．如果要衡量这组数据中的离散趋势，也就是要研究它的波动情况，就需要利用方差或标准差这两个统计量来衡量，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小，越稳定．
【方法总结】
1.辅助线在几何证明题中的应用
证明时，若问题的条件不够，则需要添加辅助线，构成新的图形，从而搭建起由已知到未知互相沟通的桥梁．常用的辅助线有：
过一点作已知直线的平行线或垂线；连结两点，构成三角形；连结线段垂直平分线上的点和线段的端点；过角平分线上的点向两边作垂线，延长三角形的一边形成外角等．
2.几种数学思想
学习本册内容最重要的思想方法有两个：
一个是转化思想，解分式方程时要将其转化成整式方程来解，四边形的问题往往转化成平行四边形或三角形来解决．另一个是数学建模思想，主要针对一些实际问题，要构建方程或函数模型来解决．
【模拟试题】（答题时间：
90分钟）
一.选择题（每小题3分，共30分）
1.在以下现象中，①电风扇的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上，瓶装饮料的移动，属于平移的是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
2.在方程①
＝8＋
②
＝x③
＝
④x－
＝0中，分式方程有（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
3.小薇同学借了一本书共280页，要在两周借期内读完，当她读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．她读前一半时，平均每天读多少页？
如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（）
A．
＋
＝14B．
＋
＝14
C．
＋
＝14D．
＋
＝1
4.如图所示，下列推理正确的是（）
A．∵∠1＝∠3，∴AB∥CFB．∵∠2＝∠3，∴BE∥CF
C．∵∠2＝∠4，∴BE∥CDD．∵∠1＝∠4，∴AB∥CD
5.两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（）
A．60°B．120°C．60°或120°D．无法确定
6.若一次函数y＝kx＋b的图像经过第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（）
A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＜0D．k＜0，b＞0
7.既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．等腰梯形D．菱形
8.一个菱形两条对角线之比为1∶2，一条较短的对角线长为4cm，那么菱形的边长为（）
A．2cmB．4cmC．（2＋2
）cmD．2
cm
9.平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为（）
A．锐角B．直角C．钝角D．不确定
*10.某校八年级
（2）班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中，捐款情况如下（单位：
元）：
108121510121191013．则这组数据的（）
A．众数是10.5B．中位数是10C．平均数是11D．方差是3.9
二.填空题（每小题3分，共30分）
1.若分式
与分式
的值相等，则x＝__________．
2.当m＝__________时，关于x的方程
＝2＋
有增根．
3.如图所示，已知AB∥CD∥EF，∠B＝100°，∠C＝125°，则∠BFC＝__________度．
4.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB的中点，且DE⊥AB，∠1∶∠2＝1∶2，则∠B＝__________．
5.一个正方形的边长为10厘米，它的边长减少x厘米后，得到的新正方形的周长为y厘米，则y和x之间的函数关系式为__________．
6.已知一次函数y＝ax＋b（a、b是常数），x与y的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
y
6
4
2
0
－2
－4
那么方程ax＋b＝0的解是__________，不等式ax＋b＞0的解集是__________．
7.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2．
8.某居民院内月底统计用电情况，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均每户用电__________度．
9.某农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种甜玉米各用10块试验田进行试验，得到这两个品种甜玉米每公顷产量的两组数据（如图所示）．根据图中的信息，可知在试验田中，__________种甜玉米的产量比较稳定．
**10.如图，直线y＝kx＋b经过A（－3，0）和B（－2，－1）两点，则不等式组
x＜kx＋b＜0的解集为__________．
三.解答题（本大题共60分）
1.如图所示，已知AB∥CD，EF截AB、CD于M、N且MG∥NH，请说明∠1＝∠2的理由．
2.A、B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．
3.已知直线l1：
y＝－4x＋5和直线l2：
y＝
x－4，求两条直线l1和l2的交点坐标，并判断该交点落在平面直角坐标系的哪一个象限上．
4.如图所示，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a，求：
（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．
*5.东海体育用品商场为了推销某一运动服，先作了市场调查，得到数据如下表：
卖出价格x（元/件）
50
51
52
53
…
销售量p（件）
500
490
480
470
…
（1）以x作为横坐标，p作为纵坐标，把表中的数据，在图中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入价为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价x（元/件）的函数关系式（销售利润＝销售收入－买入支出）．
**6.某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
每人销售
的件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
（1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数和众数．
（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理？
为什么？
如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由．
【试题答案】
一.选择题
1.D2.C3.C4.B5.C6.D7.D8.D9.B10.C
二.填空题
1.
2.33.454.365.y＝40－4x6.x＝1x＜17.88.45.59.乙10.－3＜x＜－2
三.解答题
1.∵AB∥CD（已知），∴∠EMB＝∠MND（两直线平行，同位角相等）．∵MG∥NH（已知），∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等）．∠EMB－∠3＝∠MND－∠4（等式的性质），即∠1＝∠2．
2.设小汽车的速度为5x，则大汽车的速度为2x．根据题意有
－
＝5－
，解得x＝9，所以2x＝18，5x＝45．即大车的速度为18千米∕时，小车的速度为45千米∕时．
3.（2，－3），在第四象限．
4.连结BD、AC相交于点O，
（1）由于E是AB的中点，且DE⊥BA，所以DE是线段AB的垂直平分线，然后再判断出△ADB是等边三角形，所以∠ABC＝180°－∠A＝120°．
（2）在Rt△ABO中，AB＝a，BO＝
BD＝
AB＝
a，所以AO＝
a，所以AC＝
a．（3）S菱形＝
AC·BD＝
·
a·a＝
a2．
5.
（1）所求的函数关系式为p＝－10x＋1000
（2）y＝－10x2＋1400x－40000
6.
（1）平均数为320件，中位数为210件，众数为210件
（2）不合理，∵15人中有13人的销售额达不到320件（320虽是所给数据的平均数，它却不能反映营销人员的一般水平），销售额定为210件合适一些，∵210既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额．
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