特殊平行四边形专题训练.docx
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特殊平行四边形专题训练
专训一:
矩形的性质与判定灵活运用
名师点金:
1.矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质,同时还具有一些独特的性质,可归结为三个方面:
(1)从边看:
矩形的对边平行且相等;
(2)从角看:
矩形的四个角都是直角;(3)从对角线看:
矩形的对角线互相平分且相等.
2.判定一个四边形是矩形可从两个角度进行:
一是判定它有三个角为直角;二是先判定它为平行四边形,再判定它有一个角为直角或两条对角线相等.
利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)
1.如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,点A,点B落在点M处,点C,点D落在点N处,恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,求AD的长.
(第1题)
利用矩形的性质与判定证明线段相等
2.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连结OE.
求证:
OE=BC.
(第2题)
利用矩形的性质与判定判断图形形状
3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E,P分别在AD,BC上,且DE=BP=1,连结AP,EC,分别交BE,PD于H,F.
(1)判断△BEC的形状,并说明理由.
(2)判断四边形EFPH是什么特殊的四边形?
并证明你的判断.
(第3题)
利用矩形的性质与判定求面积
4.如图,已知E是▱ABCD中BC边上的中点,连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.
(1)连结AC,BF,若∠AEC=2∠ABC,求证:
四边形ABFC为矩形.
(2)在
(1)的条件下,若△AFD是等边三角形,且边长为4,求四边形ABFC的面积.
(第4题)
专训二:
菱形的性质与判定灵活运用
名师点金:
1.菱形具有一般平行四边形的所有性质,同时又具有一些特性,可以归纳为三个方面:
(1)从边看:
对边平行,四边相等;
(2)从角看:
对角相等,邻角互补;(3)从对角线看:
对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
2.判定一个四边形是菱形,可先判定这个四边形是平行四边形,再判定一组邻边相等或对角线互相垂直,也可直接判定四边相等.
利用菱形的性质与判定证明角的关系
1.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于点F,连结DF.
(1)证明:
∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;
(2)若AB∥CD,试证明:
四边形ABCD是菱形;
(3)在
(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.
(第1题)
利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系
2.(中考·兰州)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求证:
AD=BC;
(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,求证:
线段EF与线段GH互相垂直平分.
(第2题)
利用菱形的性质与判定解决周长问题
3.(中考·贵阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连结DE,将△ADE绕点E旋转180°,得到△CFE,连结AF.
(1)求证:
四边形ADCF是菱形;
(2)若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.
(第3题)
利用菱形的性质与判定解决面积问题
4.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于点D,在线段AD上任取一点P(点A除外),过点P作EF∥AB,分别交AC,BC于点E,F,作PM∥AC,交AB于点M,连结ME.
(1)求证:
四边形AEPM为菱形.
(2)当点P在何处时,菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半?
请说明理由.
(第4题)
专训三:
正方形的性质与判定灵活运用
名师点金:
正方形既是矩形,又是菱形,它具有矩形、菱形的所有性质,判定一个四边形是正方形,只需保证它既是矩形又是菱形即可.
利用正方形的性质证明线段位置关系
1.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF,连结DF,AE,AE的延长线交DF于点M.
求证:
AM⊥DF.
(第1题)
利用正方形的性质解决线段和差倍分问题
2.已知:
在正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.
(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,易证:
BM+DN=MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图②,请问图①中的结论是否还成立?
如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎样的等量关系?
请写出你的猜想,并证明.
(第2题)
正方形性质与判定的综合运用
3.如图,P,Q,R,S四个小球分别从正方形的四个顶点A,B,C,D同时出发,以同样的速度分别沿AB,BC,CD,DA的方向滚动,其终点分别是B,C,D,A.
(1)不管滚动时间多长,求证:
连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形.
(2)四边形PQRS在什么时候面积最大?
(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半?
并说明理由.
(第3题)
正方形中的探究性问题
4.如图①,在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B、C、G在同一条直线上,M是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连结FM,易证:
DM=FM,DM⊥FM(无需写证明过程);
(1)如图②,当点B、C、F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究线段DM与FM有怎样的关系?
请写出猜想,并给予证明;
(2)如图③,当点E、B、C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不变,探究线段DM与FM有怎样的关系?
请直接写出猜想.
(第4题)
专训四:
利用矩形的性质巧解折叠问题
名师点金:
折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系,从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系,即折叠前后的图形全等,且关于折痕或所在直线成轴对称;在计算时,常常通过设未知数列方程求解.
利用矩形的性质巧求折叠中的角
1.当身边没有量角器时,怎样得到一些特定度数的角呢?
动手操作有时可以解“燃眉之急”.如图,已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长),我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角:
(1)以点A所在直线为折痕,折叠纸片,使点B落在边AD上,折痕与BC交于点E;
(2)将纸片平展后,再一次折叠纸片,以点E所在直线为折痕,使点A落在BC上,折痕EF交AD于F.求∠AFE的度数.
(第1题)
利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长
2.如图,有矩形纸片ABCD,长AD为4cm,宽AB为3cm,把矩形折叠,使相对两顶点A,C重合,然后展开.求折痕EF的长.
(第2题)
利用矩形的性质巧证线段的位置关系
3.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于F,连结AE.
证明:
(1)BF=DF;
(2)AE∥BD.
(第3题)
利用矩形的性质巧求线段的比(面积法)
4.如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
(1)求证:
CM=CN;
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,求
的值.
(第4题)
专训五:
用特殊四边形的性质巧解动点问题
名师点金:
利用特殊四边形的性质解动点问题,一般将动点看作特殊点解决问题,再运用从特殊到一般的思想,将特殊点转化为一般点(动点)为条件解答.
平行四边形中的动点问题
1.如图,在▱ABCD中,E,F两点在对角线BD上运动,且保持BE=DF,连结AE,CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系,并对你的猜想加以证明.
(第1题)
矩形中的动点问题
2.在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图①,连结AF、CE,求证:
四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图②,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
(第2题)
菱形中的动点问题
3.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上.
(1)如图①,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:
BE=DF;
(2)如图②,若∠EAF=60°,求证:
△AEF是等边三角形.
(第3题)
正方形中的动点问题
4.如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:
四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由.
(第4题)
专训六:
特殊四边形中的最值问题
名师点金:
求特殊四边形中的最值问题,一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题.
矩形中的最值问题
1.如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,求点D到点O的最大距离.
(第1题)
菱形中的最值问题
2.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点,求PK+QK的最小值.
(第2题)
正方形中的最值问题
(第3题)
3.(中考·宿迁)如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PE+PC的最小值是________.
4.如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连结EN,AM,CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB.
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由.
(第4题)
专训七:
思想方法荟萃
名师点金:
本章中,由于涉及内容是各种特殊四边形,解决这类问题时,常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究.而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法.
数形结合思想
(第1题)
1.如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形,则每块长方形地砖的面积为( )
A.200cm2B.300cm2
C.600cm2D.2400cm2
方程思想
2.已知平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.
(1)若AE=3cm,AF=4cm,AD=8cm,求CD的长;
(2)若平行四边形ABCD的周长为36cm,AE=4cm,AF=5cm,求平行四边形ABCD的面积.
转化思想
3.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于O点,点P是线段AD上一动点(不与点D重合),PO的延长线交BC于Q点.连结BP,DQ.
(1)求证:
四边形PBQD为平行四边形.
(2)若AB=3cm,AD=4cm,P从点A出发,以1cm/s的速度向点D匀速运动.设点P运动的时间为ts,问四边形PBQD能够成为菱形吗?
如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.
(第3题)
4.如图,已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°,且CD=2cm,BC=8cm,AB=8cm,AF=5cm.试求此六边形的周长.
(第4题)
分类讨论思想
①图形的位置不确定
5.四边形ABCD是正方形,△ADE是等边三角形,求∠BEC的度数.
②等腰三角形的腰与底边不确定
6.已知,如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC边上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.
(第6题)
答案
解码专训一
1.解:
∵∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=
×180°=90°,同理可得:
∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴四边形EFGH为矩形,∴HG∥EF,HG=EF,∴∠GHN=∠EFM.又∵∠HNG=∠FME=90°,∴△HNG≌△FME,∴HN=MF.又∵HN=HD,∴HD=MF,∴AD=AH+HD=HM+MF=HF.又∵HF=
=
=5(cm),∴AD=5cm.
点拨:
此题利用折叠提供的角相等,可证明四边形EFGH为矩形,然后利用三角形全等来证明HN=MF,进而证明HD=MF,从而将AD转化为直角三角形的斜边HF,进而得解,体现了转化思想.
2.证明:
∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠COD=90°.
∴四边形OCED是矩形.∴OE=CD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD.∴OE=BC.
点拨:
线段CD既是菱形ABCD的边,又是四边形OCED的对角线,可以用等量代换推出OE=BC.
3.解:
(1)△BEC是直角三角形.理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=∠ABP=90°,AD=BC=5,CD=AB=2.
∵DE=BP=1,∴AE=PC=4.由勾股定理得CE=
,BE=2
,∴CE2+BE2=5+20=25.∵BC2=52=25,∴BE2+CE2=BC2.∴∠BEC=90°.∴△BEC是直角三角形.
(2)四边形EFPH为矩形,证明:
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC.∵DE=BP,∴四边形DEBP是平行四边形.
∴BE∥DP.∵AD∥BC,AE=PC,∴四边形AECP是平行四边形.∴AP∥CE.∴四边形EFPH是平行四边形.∵∠BEC=90°,∴平行四边形EFPH是矩形.
4.
(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥DC,∴∠ABE=∠ECF.
又∵E为BC的中点,∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,∵
∴△ABE≌△FCE.∴AB=CF.
又AB∥CF,∴四边形ABFC为平行四边形,
∴BE=EC,AE=EF,
∵∠AEC为△ABE的外角,
∴∠AEC=∠ABC+∠EAB.又∵∠AEC=2∠ABC,
∴∠ABC=∠EAB,
∴AE=BE,∴AE+EF=BE+EC,
即AF=BC,∴四边形ABFC为矩形.
(2)解:
∵四边形ABFC是矩形,∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形,∴CF=CD=
=2,∴AC=
=2
,∴S矩形ABFC=2
×2=4
.
解码专训二
1.
(1)证明:
∵在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC.
∵在△ABF和△ADF中,
∴△ABF≌△ADF,∴∠AFB=∠AFD.
∵∠AFB=∠CFE,∴∠AFD=∠CFE.
(2)证明:
∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
又∵∠BAC=∠DAC,∴∠CAD=∠ACD,
∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
(3)解:
当EB⊥CD时,∠EFD=∠BCD.
理由:
∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF,
在△BCF和△DCF中,
∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,
∴∠EFD=∠BCD.
(第2题)
2.证明:
(1)如图,过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M,
∵AB∥CD,∴四边形ABMC为平行四边形.
∴AC=BM=BD,∴∠BDC=∠M=∠ACD.
在△ACD和△BDC中
,∴△ACD≌△BDC,∴AD=BC.
(2)如图,连结EH,HF,FG,GE,
∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,
∴HE∥AD,且HE=
AD,FG∥AD,且FG=
AD,
∴四边形HFGE为平行四边形.
由
(1)知AD=BC,∴HE=EG,
∴▱HFGE为菱形,∴EF与GH互相垂直平分.
3.
(1)证明:
∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,∴AE=CE,DE=FE,∴四边形ADCF是平行四边形.∵D,E分别为AB,AC边上的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC.
∵∠ACB=90°,∴∠AED=90°,
∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形.
(2)解:
在Rt△ABC中,BC=8,AC=6,∴AB=10.
∵D是AB边上的中点,∴AD=5.
∵四边形ADCF是菱形,∴AF=FC=AD=5,
∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28.
4.
(1)证明:
∵EF∥AB,PM∥AC,
∴四边形AEPM为平行四边形.
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD.
∵EP∥AB,∴∠BAD=∠EPA,
∴∠CAD=∠EPA,∴EA=EP,∴四边形AEPM为菱形.
(第4题)
(2)解:
当点P为EF的中点时,S菱形AEPM=
S四边形EFBM.理由如下:
∵四边形AEPM为菱形,∴AP⊥EM.∵AB=AC,∠CAD=∠BAD,∴AD⊥BC,∴EM∥BC.又∵EF∥AB,∴四边形EFBM为平行四边形.过点E作EN⊥AB于点N,如图,则S菱形AEPM=AM·EN=EP·EN=
EF·EN=
S四边形EFBM.
解码专训三
1.证明:
∵AC,BD是正方形ABCD的两条对角线,∴AC⊥BD,OA=OD=OC=OB.
∵DE=CF,∴OE=OF.在Rt△AOE与Rt△DOF中,
∴Rt△AOE≌Rt△DOF,
∴∠OAE=∠ODF.
∵∠DOF=90°,∴∠DFO+∠FDO=90°,
∴∠DFO+∠FAE=90°.
∴∠AMF=90°,即AM⊥DF.
2.解:
(1)仍有BM+DN=MN成立.证明如下:
过点A作AE⊥AN,交CB的延长线于点E,
易证△ABE≌△ADN,∴DN=BE,AE=AN.
又∵∠EAM=∠NAM=45°,AM=AM,
∴△EAM≌△NAM.∴ME=MN.
∵ME=BE+BM=DN+BM,∴BM+DN=MN.
(第2题)
(2)有DN-BM=MN.证明如下:
如图,在DN上截取DE=BM,连结AE.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABM=∠D=90°,AB=AD.
又∵DE=BM,∴△ABM≌△ADE.∴AM=AE,∠BAM=∠DAE.∵∠DAB=90°.∴∠MAE=90°.
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=45°=∠MAN.又∵AM=AE,AN=AN,∴△AMN≌△AEN.∴MN=EN.
∴DN=DE+EN=BM+MN,∴DN-BM=MN.
3.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.
又∵在任何运动时刻,AP=BQ=CR=DS,
∴PB=QC=RD=SA,∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS,
∴PS=QP=RQ=SR,∠ASP=∠BPQ,∴在任何运动时刻,四边形PQRS是菱形.
又∵∠APS+∠ASP=90°,∴∠APS+∠BPQ=90°,
∴∠QPS=180°-(∠APS+∠BPQ)=180°-90°=90°.
∴在任何运动时刻,四边形PQRS总是正方形.
(2)解:
当P,Q,R,S在出发时或在到达终点时面积最大,此时的面积就等于原正方形ABCD的面积.
(3)解:
当P,Q,R,S四点运动到正方形四边中点时,四边形PQRS的面积是原正方形ABCD面积的一半.
理由:
设原正方形ABCD的边长为a.
当PS2=
a2时,在Rt△APS中,AS=a-SD=a-AP.
由勾股定理,得AS2+AP2=PS2,即(a-AP)2+AP2=
a2,
解得AP=
a.同理可得BQ=CR=SD=
a.
∴当P,Q,R,S四点运动到正方形ABCD各边中点时,四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半.
(第4题)
4.解:
(1)DM=FM,DM⊥FM.
证明:
如图,连结DF、NF.
∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形,
∴AD∥BC,BC∥GE,∴AD∥GE,∴∠DAM=∠NEM.
∵M是AE的中点,∴AM=EM.
∵∠AMD=∠EMN,∴△MAD≌△MEN,
∴DM=MN,AD=NE.
∵AD=CD,∴CD=NE.
∵CF=EF,∠FCD=∠FEN=90°,
∴△DCF≌△NEF,∴DF=FN,∠CFD=∠EFN.
∵∠EFN+∠CFN=90°,
∴∠CFD+∠CFN=90°,即∠DFN=90°,
∴DM=FM,DM⊥FM.
(2)DM=FM,DM⊥FM.
解码专训四
(第1题)
1.解:
如图,由折叠性质得∠AEF=∠A′EF,∠BEA=∠AEB′,BE=B′E,AE=EA′,
∵∠BAB′=∠BEB′=∠ABE=∠AB′E=90°,
∴AE为∠BAB′的平分线,
∴∠BEA=∠BAE=45°,
又∠BEA+∠AEF+∠FEA′=180°,
∴∠FEA′=67.5°,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠AFE=∠FEA′=67.5°.
2.解:
易得EF为AC的垂直平分线.∴AE=EC,AF=FC.
∵AE∥FC,∴∠AEO=∠CFO.
又∵OA=OC,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO,
∴AE=FC.∴四边形AECF是菱形.
设BF为xcm,则AF=FC=(4-x)cm.由勾股定理,得32+x2=(4-x)2,
∴x=
,∴FC=
cm.
∵AB=3cm,BC=4cm,∴AC=
=5(cm).
∴OC=
cm.
在Rt△FOC中,OF=
=
=
(cm).
∴EF=2OF=
cm.
即折痕EF的长为
cm.
3.证明:
(1)由折叠可知,∠FBD=∠CBD,因为AD∥BC,所以∠FDB=∠CBD,所以∠FBD=∠FDB,所以BF=DF.
(2)因为四边形ABCD是矩形,
所以AB=DC,AD=BC,由折叠可知DC=ED=AB,BC=BE=AD,又因为AE=AE,所以△AEB≌△EAD,所以∠AEB=∠EAD,所以∠AEB=
(180°-∠AFE),而∠DBE=
(180°-∠BFD),∠AFE=∠BFD,所以∠AEB=∠DBE,所以AE∥BD.
4.
(1)证明:
由折叠的性质可得:
∠ENM=∠DNM,即∠ENM=∠ENA+∠ANM,∠DNM=∠DNC+∠CNM,∵∠ENA=∠DNC,∴∠ANM=∠CNM,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠ANM=∠CMN,∴∠CMN=∠CNM,∴CM=CN.
(2)解:
过点N作NH⊥BC于点H,则四边形NHCD是矩形,∴HC=DN,NH=DC,
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,
∴
=
=
=3,
∴MC=3ND=3HC,∴MH=2HC