人教A版数学必修22 第1章 151 曲边梯形的面积152 汽车行驶的路程.docx
《人教A版数学必修22 第1章 151 曲边梯形的面积152 汽车行驶的路程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版数学必修22 第1章 151 曲边梯形的面积152 汽车行驶的路程.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
人教A版数学必修22第1章151曲边梯形的面积152汽车行驶的路程
1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
1．了解求曲边梯形的面积、汽车行驶的路程的方法．（重点）
2．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．（难点、易混点）
[基础·初探]
教材整理1 曲边梯形的面积
阅读教材P38～P42“练习”以上部分，完成下列问题．
1．连续函数
如果函数y＝f（x）在某个区间I上的图象是一条____________的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．
2．曲边梯形的面积
（1）曲边梯形
由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）____________称为曲边梯形（如图1 5 1①）．
（2）求曲边梯形面积的方法与步骤
①分割：
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些________（如图1 5 1②）；
②近似代替：
对每个小曲边梯形“____________”，即用________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的______；
③求和：
把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值______；
④取极限：
当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．
① ②
图1 5 1
【答案】 1.连续不断 2.
（1）所围成的图形
（2）小曲边梯形 以直代曲 矩形 近似值 求和 定值
1．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个区间，则第i区间为________.
【解析】 将区间[1,2]等分成n个小区间，则每个小区间的长度为
，
则分点为x0＝1，x1＝1＋
，
x2＝1＋
，…，xi－1＝1＋
，
xi＝1＋
，
xi＋1＝1＋
，
则第i个小区间为[xi－1，xi]，即
.
【答案】
2．函数f（x）＝
（x∈[1,5]）________连续函数．（填“是”或“不是”）
【解析】 根据函数的图象及连续函数的定义知，函数f（x）是连续函数．
【答案】 是
3．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________．
【解析】 将区间[1,3]进行10等分，需插入9个分点，每个小区间的长度为0.2，则分点为x0＝1，x1＝1＋0.2＝1.2，x2＝1.4，x3＝1.6，……，从而第三个区间是[1.4,1.6]．
【答案】 9 [1.4,1.6]
教材整理2 汽车行驶的路程
阅读教材P42～P44，完成下列内容．如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v（t），那么它在时间t所在的区间[a，b]内的路程（或位移）也可以运用①______；②________；③______；④________的方法求得．
【答案】 分割 近似代替 求和 取极限
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．（ ）
（2）当n很大时，函数f（x）在区间
上的值，可以用f
代替．（ ）
（3）mi＝i2，
i＝30.（ ）
【答案】
（1）×
（2）√ （3）√
[小组合作型]
求曲边梯形的面积
求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x（x－1）围成的图形面积．
【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．
【自主解答】
（1）分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点
，
，…，
把区间[0,1]等分成n个小区间：
，
，…，
，…，
，
简写作
（i＝1,2，…，n）．
每个小区间的长度为Δx＝
－
＝
.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
（2）近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间
上任取一点ξi（i＝1,2，…，n），为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f（ξi）的相反数－f（ξi）＝－
为其一边长，以小区间长度Δx＝
为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f（ξi）Δx＝－
·
（i＝1,2，…，n）．
（3）求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即
S＝
Si≈－
（ξi）Δx
＝
·
＝－
[02＋12＋22＋…＋（n－1）2]＋
[0＋1＋2＋…＋（n－1）]
＝－
·
n（n－1）（2n－1）＋
·
＝－
＝－
.
（4）取极限
当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，
此时－
趋向于S.从而有
S＝
＝
.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x（x－1）围成的图形面积为
.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤
第一步：
分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi]（i＝1,2，…，n），小区间的长度Δxi＝xi－xi－1.
第二步：
近似代替．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．
第三步：
求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
第四步：
取极限．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．
[再练一题]
1．求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝
围成的图形的面积S.
【解】
（1）分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：
，
，…，
，
记第i个区间为
（i＝1,2，…，n），其长度为Δx＝
－
＝
.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形（如图），它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝
Si，
（2）近似代替
记f（x）＝
.当n很大，即Δx很小时，在区间
上，可以认为f（x）＝
的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f
.
从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间
上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝f
Δx
＝
·
＝
（i＝1,2，…，n）．
（3）求和
小曲边梯形的面积和Sn＝
Si≈
Si′＝
＝
＋
＋…＋
＝n
＝n
＝
.
从而得到S的近似值S≈Sn＝
.
（4）取极限
分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝
Sn＝
.
所以由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝
围成的图形的面积S为
.
求变速运动的路程
汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度v（t）＝－t2＋5（单位：
km/h），问它在0≤t≤2（单位：
h）这段时间内的路程s（单位：
km）是多少？
【精彩点拨】 把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．
【自主解答】
（1）分割
在区间[0,2]上等间隔地插入n－1个点，将区间等分成n个小区间：
，
，…，
.
记第i个区间为
（i＝1,2，…，n），
其长度为Δt＝
－
＝
.
把汽车在上述时间段内行驶的路程分别记作：
Δs1，Δs2，…，Δsn，显然，s＝
si.
（2）近似代替
当n很大，即Δt很小时，在区间
上，函数v（t）＝－t2＋5的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值v
＝－
＋5.在每一个小时间段内“以匀速代变速”，则有Δsi≈Δs′i＝v
·Δt
＝
·
＝－
·
＋
（i＝1,2，…，n）． （*）
（3）求和
由（*）得，sn＝
s′i＝
·Δt
＝
＝－
2＋10
＝－
·
＋10
＝－
＋10.
从而得到路程s的近似值s≈sn＝－
＋10.
（4）取极限
可以看到，当n趋向于无穷大，即Δt趋向于0时，
sn＝－
＋10趋向于S，从而有
s＝
sn＝
·
＝
＝－
＋10＝
.
求变速直线运动路程的方法
求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：
分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．
[再练一题]
2．用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
【解】
（1）分割：
将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间
（i＝1,2，…，n），
每个小区间表示的时间段Δt＝
－
t＝
，在各小区间物体下落的距离记作Δsi（i＝1,2，…，n）．
（2）近似代替：
在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在
上任取一时刻ξi（i＝1,2，…，n），可取ξi使v（ξi）＝g
t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝
内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·
t·
（i＝1,2，…，n）．
（3）求和：
sn＝
si
＝
·
·t·
＝
[0＋1＋2＋…＋（n－1）]
＝
gt2
.
（4）取极限：
S＝
gt2
＝
gt2.
[探究共研型]
曲面梯形的面积与汽车行驶的路程的共性
探究1 求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？
怎样才能减小误差？
【提示】 不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大，为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到面积的误差越小．
探究2 求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程有哪些共同点？
【提示】
（1）求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
（2）求解的方法步骤相同
①分割：
将区间[a，b]n等分；
②近似代替：
取点ξi∈[xi－1，xi]；
③求和：
（ξi）Δx；
④取极限：
S＝
（ξi）Δx＝
f（ξi）．
求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t（t>0），y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 每个小区间长度为
，故第i－1个区间的左端点为0＋（i－2）×
＝
，右端点为
＋
＝
.
【答案】 D
[再练一题]
3．求由抛物线f（x）＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图1 5 2所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为__________.
【导学号：
62952041】
图1 5 2
【解析】 由题意得
S＝（0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92）×0.2＝0.33.
【答案】 0.33
1．在“近似代替”中，函数f（x）在区间[xi，xi＋1]上的近似值（ ）
A．只能是左端点的函数值f（xi）
B．只能是右端点的函数值f（xi＋1）
C．可以是该区间内任一
升级会员 