第1讲运动学.docx

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第1讲运动学

第一讲运动学

【知识梳理】

一、匀变速直线运动

1、基本概念

研究物体的运动时，被选来作为参照的物体称为参照物。

原则上，参照物的选择是任意的。

为了把物体在各个时刻相对于参照系的位置定量的表示出来，还需要在参照系上选择适当的坐标系。

坐标系是为定量描述物体运动的需要而引入的，又称参照坐标系。

利用匀变速直线运动规律求解运动学问题，在熟悉题意的基础上，首先要分清物体的运动过程及各过程的运动性质，要注意每一个过程加速度必须恒定。

找出各过程的共同点及两过程转折点的速度，再根据已知量和待求量选择合适的规律、公式求解。

2、运动学图像

运动学图像，主要有位移-时间图像两种，用图像来描述物体的运动规律、表示物理过程，可以使抽象的物理问题形象、直观。

应用图像要注意的几点：

（1）理解图像的物理意义；

（2）明确图像纵轴、横轴分别表示的是什么物理量；（3）了解图像的斜率、截距和面积的物理意义。

有时为了处理问题的方便，也需要画一些特殊的图像。

通过与熟悉的图像进行类比可以较好的理解这类图像。

3、运动问题中的小量分析

空间、时间都是连续性的量，连续量的处理常常需涉及对小量的处理，因此对运动问题的讨论离不开小量运算，例如（瞬时）速度、加速度表示为：

涉及的均是小量的除法。

利用初等数学并结合简单的小量极限概念来实现对相关问题的分析。

4、直线运动中的追及问题

分析追及问题通常采用如下方法。

通过对物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图，列出两物体位移方程，找出两物体位移间的关系。

追及问题的主要条件，速度小的物体加速追赶速度大的物体，速度相等时，两者间有最大距离；速度大的物体减速追赶速度小的物体，在速度相等时两者间有最小距离。

解决追及问题的方法，由根据追及的主要条件和临界条件联立方程求解外，还可以利用二次函数求极值、二次方程的判别式等数学方法以及应用图像法和相对运动的知识求解。

二、相对运动和相关速度

1、相对运动

研究物体的机械运动，首先要选择一个参照物（或坐标系），物体的运动都是相对于这个参照物（或坐标系）的位置发生变化的。

由于选择的参照物不同，对同一物体的运动描述可以不同。

我们通常把物体相对于基本参照系的运动称为“绝对运动”。

把相对于基本参照系运动着的参照系称为运动参照系，运动参照系相对于基本参照系的运动称为“牵连运动”。

物体相对于运动参照系的运动称为“相对运动”。

运动的合成包括位移、速度和加速度的合成。

其基本原则遵循平行四边形法则，如

等，这种关系是经典力学中的变换式，称为伽利略变换。

2、物系相关速度

所谓物系相关速度是指不同物体之间或同一物体的不同部分之间的速度有一定的联系，善于找到这类联系，可为顺利解题奠定基础。

一般会碰到以下两类问题：

（1）求由杆或绳约束物系的各点速度

杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：

在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速度。

因此解题时可以先确定所研究各点的实际速度，再将该速度沿杆、绳方向和垂直杆、绳方向进行分解。

（2）求接触物系接触点的速度

由刚体（不能压缩和发生形变）的力学性质及“接触”的约束性可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，违反接触或刚体的限制。

至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度。

因此，接触物系接触点速度的相关特征是：

沿接触面法向的分速度必定相同，浩接触

面切向的分速度在无相对滑动时也相同。

三、抛体运动

物体在地面附近不大的范围内仅在重力作用下的运动叫抛体运动，若物体初速度水平，则为平抛运动，若初速度斜向上（或斜向下），和水平方向有一夹角，则为斜抛运动。

由于物体在恒定的外力作用下运动，故物体做匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g。

抛体运动的求解必须将运动进行分解，一般情况下是分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动，则有水平方向：

vx=v0cosθ，x=v0cosθ·t，竖直方向：

vy=v0sinθ-gt，y=v0sinθ·t－

gt2消去时间t得轨迹方程y＝xtanθ－

，轨迹是抛物线。

上式中，当θ=0°时，物体的运动为平抛运动。

射高和射程：

在斜抛运动中，轨迹最高点的高度叫做射高Y，物体被抛出的地点到落地点的水平距离叫做射程X，做斜抛运动的物体从被抛出到落地所用的时间T，叫做飞行时间。

设斜抛物体的初速度为v0，抛射角为θ，T＝

，Y＝

，X＝

。

可以看出当θ＝45º时，射程达到最大值，以后抛射角再增大，射程减小。

如果两个抛射角θ1和θ2互余，即θ1+θ2＝90º，两者射程相同。

求解抛体运动，还可以采用其他的分解方法，比如将斜抛运动分解为初速度方向上的匀速运动和竖直方向上的自由落体运动。

而处理斜面上的斜抛运动问题时，一般可建立沿斜面和垂直斜面方向的x、y轴，将初速度和加速度分别沿斜面和垂直斜面方向进行分解。

抛体运动是一般匀变速曲线运动的一个特例，其求解方法也是求解一般匀变速曲线运动的基本方法，尽管物体速度方向是在不断变化的，但其速度变化的方向只能在合力即重力的方向上，因此其速度变化的方向总是竖直向下的。

抛体运动的共同特点是加速度相同，因此，当研究多个抛体的运动规律时，以自由落体为叁照物，则各物体的运动均为匀速直线运动，这种选择参照物的方法，能大大简化各物体运动学量之间的联系，使许多看似复杂的问题变得简单、直观。

二、质点的圆周运动

运动轨迹是一个圆的运动称为圆周运动，做圆周运动的质点每时每刻的位置、速度矢量和加速度矢量都在同一平面内。

其运动的快慢即速度的大小可用弧长对时间的变化率来表示，而速度的方向总是沿切线方向。

设时刻t质点位于点A，其速度大小为v；经时间Δt到达点B，速度的大小为v+Δv，速度的变化量为Δv，如图所示。

通常将Δv分解为两部分，一部分是速率大小的改变量Δv2，另一部分可以表示出速度的方向改变Δv1，则有Δv＝Δv1+Δv2，当时间Δt足够小，Δt→0时，加速度为

。

式中的第一部分反映了速度方向变化的快慢，叫法向加速度（也叫向心加速度），其大小为an＝

；第二部分反映了速度大小变化的快慢，叫切向加速度，其大小为

。

但对于匀速圆周运动而言，aτ＝0，其加速度就是向心加速度。

【例题解析】

例1、一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度v与它离地面的高度h之间满足的关系是v=lv0/（l+h），其中常数l=20cm，v0=2cm/s。

求它上爬20cm所用的时间。

解析：

因蜗牛运动的时间是由每一小段时间

累加而成，即

，故可作出

图像。

利用图像面积可得时间t。

由

，得

，故

图象为一条直线，如图所示。

图中阴影部分面积即为所求的时间，即

。

代入数据得t=15s。

例2、（2011华约）如图所示，纸面内两根足够长的细杆ab、cd都穿过小环M，杆ab两端固定，杆cd可以在纸面内绕过d点并与纸面垂直的定轴转动，若杆cd从图示位置开始，按照图中箭头所示的方向，以匀角速度度转动，则小环M的加速度（）

A、逐渐增大B、逐渐减小

C、先增加后减小D、先减小后增加

解析：

设d点距离ab杆为h，经时间t时∠aMd＝θ，杆cd上M点的速度v＝ω·

，小环速度也即两杆交叉点的速度vM（必沿ab方向）沿垂直杆ab方向的分速度即为v，vM＝

＝

，故小环的加速度

，显然t增大时θ减小，相应环的加速度会不断变大，选A。

注：

本题因为是选择题，也可以取t改变相同小量情况下看vM改变量的大小；或者从定性角度来看，M越在外面，M的移动幅度会越来越大，应该需要更大的加速度才行。

例3、（2011卓越）甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v-t图像如图所示。

下列说判断正确的是（）

A.乙车启动时，甲车在其前方50m处

B.运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75m

C.乙车启动10s后正好追上甲车

D.乙车超过甲车后，两车不会再相遇

解析：

（1）乙车在t=10s启动，甲车已运动10s，运动距离算得为50m，因此乙车启动时，甲车在乙车前面50m处，A正确。

（2）乙车运动开始，甲车已经开始做匀速运动，则在乙车速度和贾策速度相同时，两车距离最大，图中显示，t=15s两车速度相等，距离最大，此时，s甲=100m，s乙=25m，两车相距75m，B正确。

（3）乙车启动10s后，t=20s，s乙=100m，s甲=150m，此时，乙车没追上甲车，C错。

（4）t=25s时，乙车追上甲车，此后两车均做匀速直线运动，v乙＞v甲，两车不会相遇，D正确。

例4、如图所示，长为l的杆一端固定球A，另一端可绕水平面上的D点转动，物块B边长为a，在杆与水平面夹β角时，球A和物B的速度vA/vB=?

解：

杆与正方体的接触点的瞬时速度为向右的vB，它可以分解为沿杆方向的v1和垂直于杆方向的v2，如图所示。

则可得v1＝vBcosα，v2＝vBsinα，此时杆与正方体的接触点与转轴的距离为

而杆转动的角速度为

，小球的运动速度为

，vA/vB=

。

例5、（2009交大全国）如图所示，某同学设计了一个测定平抛运动初速度的实验装置，O点是小球抛出点，在O点有一个频闪的点光源，闪光频率为30Hz，在抛出点的正前方，竖直放置一块毛玻璃，在小球抛出后的运动过程中当光源闪光时，在毛玻璃上有一个小球的投影点，在毛玻璃右边用照相机多次曝光的方法，拍摄小球在毛玻璃上的投影照片。

已知图中O点与毛玻璃水平距离L=1.2m，两个相邻的小球投影点之间的距离为Δh＝5cm，则小球在毛玻璃上的投影点做运动，小球平抛运动的初速度是m/s。

解析：

以抛出点为坐标原点且为t=0时刻，则时刻t，x=v0t，y=gt2/2。

设投影t时间竖直运动距离Y，由光线直线传播知识，据相似三角形相似比相等得

＝

，即Y=

t。

可知小球的投影点做匀速直线运动，且由Δh＝

Δt得v0＝4m/s。

例6、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D，BC段水平，当以恒定水平速度v拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求当跨过B的两段绳子的夹角为时，A的运动速度。

解法一：

应用微元法求解

设经过短暂时间Δt，则：

物体的位移Δs1=BE。

如图所示：

过E点作EF⊥BD，当Δt→0时，∠BDE极小，在△DEF中，可以认为DE=DF，在Δt时间内，人拉绳子移动的距离Δs2=BE+BF，即为在Δt时间内绳子端点的位移。

由图可知：

；由速度的定义知：

物体移动的速度为

 ；人拉绳子的速度，即绳子端点移动的速度

，联立解以上三式得：

解法二：

应用合运动与分运动的关系求解

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度是合速度，选物体（质点）为研究对象，物体也就是绳子端点水平向左的运动造成的效果，一是使BC和BD的绳子缩短，即使绳收缩；二是使θ变小，使绳绕滑轮顺时针转动。

也就是说物体一方面参与沿绳斜向左上的运动，一方面参与垂直于绳斜向左下的运动。

这样，物体水平向左运动速度v物可按如所示进行分解。

由于运动中绳子不发生伸缩及弯曲形变，故有：

v=v物+v物cosθ（使绳子收缩），v⊥=v物sinθ（使绳子绕定滑轮上的A点转动）。

解以上两式得：

解法三：

应用能量转化及守恒定律求解

设当绳子与水平方向成θ角时，人拉绳的力大小是F，由于定滑轮不改变力的大小，所以绳拉物体的力大小也是F。

则此时：

人对绳子的拉力F对绳子做功的功率为P1=Fv；绳子对物体的拉力F对物体做功的功率有两为P2=Fv物cosθ+Fv物。

由能量守恒定律可知：

P1=P2。

解以上三式得：

 。

例7、如图所示，质点p1以v1由A向B作匀速运动。

同时点p2以v2从B指向C作匀速运动，AB=l，∠ABC=且为锐角，试确定在何时刻t，p1、p2的间距d最短，为多少？

解：

设经过时间t相距为d，则此时质量点P1前进的距离为v1t，P2前进的距离为v2t，由余弦定理可得

即

，

对根号里面配方可得

，

例8、一只苍蝇在高H处，以速度v平行桌面飞行。

在某一时刻发觉就在它的正下面有一滴蜜，苍蝇借助翅膀可以向任何方向加速，但加速度大小不超过a。

试求苍蝇能够飞到蜂蜜所在处的最短时间?

（设想问题发生在宇宙空间，重力不存在）

解析：

由于忽略重力，可以以苍蝇同方向的匀速v运动物体为参照物，在这个惯性参照系里面，苍蝇相对静止，而蜜蜂做-v的匀速直线运动，这样就变成一个追及问题，苍蝇走直线距离最短，以加速度a，做匀加速直线运动的时间最短，它走的轨迹和蜜蜂所走的轨迹恰好构成直角三角形，苍蝇走的是直角三角形的斜边，蜜蜂走过的距离是vt，是一个直角边，另一个直角边是H，勾股定理可得：

例9、在倾角为φ的斜面上，斜向上抛出一个物体，它的初速度和斜面的夹角为α，如果最后恰好垂直落到斜面上，求证tanφ=（cotα）/2。

解：

取沿斜面向上为x轴正向，垂直斜面向上为y轴正向，则速度关系上满足：

，位移关系上满足：

，两式消去t合并化简后即可得：

。

例10、如图所示，射击目标高度为h，水平距离为a，要使子弹垂直射入目标物的铅垂表面，求枪口瞄准点C的高度H。

（C点在目标正上方）

解析：

子弹做斜抛运动，要使子弹垂直射入铅垂表面，即子弹的速度变为水平方向，恰在轨迹最高点，设斜抛物体的初速度为v0，抛射角为θ，h＝

，水平距离a＝

，所用时间t＝

，由此可求出H＝

＝2h

【方法归纳】

一、v-t图像会涉及v0、vt、a、s、t五个物理量，所以处理多过程问题和一些难解的物理问题时很管用。

另外也可以作其它图像后巧妙解题。

二、物系相关速度的寻找

1.利用小量分析法方法确定物体速度之间的关联。

2.刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳方向的分速度。

3.沿接触面法线方向，接触双方必须是具有相同的法向分速度。

如两者之间无相对滑动，接触双方切向分速度也相同。

参照系的变换：

参照系的适当变换可使很多运动学问题的求解变得很方便。

【模拟训练】

1、（2009同济）距河岸（看成直线）500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n=1r/min转动。

当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速率为（）

A．52.3m/sB．69.8m/s

C.3.14×l03mlsD.4.18×l03m/s

2、（2008清华）在地球赤道上的A点处静止放置一个小物体，现在设想地球对小物体的万有引力突然消失，则在数小时内，小物体相对于A点处的地面来说，将（）

A．水平向东飞去B．原地不动，物体对地面的压力消失

C．向上并渐偏向西方飞去D．向上并渐偏向东方飞去

E．一直垂直向上飞去

3、甲、乙两游泳运动员，甲在东西方向的河南岸，乙在北岸，彼此相距s，甲乙两处连线方向与河岸成角，如图所示，已知甲在静水中的最大游泳速度为v1，乙在静水中的最大游泳速度为v2，甲乙两人同时开始运动。

求他们从出发到相遇需要的最短时间。

4、半径为R的自行车轮在平地上滚动，轮心速度为vC，在轮缘A处有一质点M，在如图所示的位置处（A、C连线和水平线平行）M点脱离A点飞出，则M点飞越的水平距离L为多少？

5、如图所示，A、B两球从右端同一高度处同时释放后，不计摩擦，你认为（）

A、沿平直轨道上A球先到达另一端

B、沿凹槽轨道上B球先到达另一端

C、A、B两球同时到达另一端

D、无法判断

6、某人骑自行车以10m/s的速度在大风中向东行驶，他感到风正以车的速率从北方吹来，实际上风的速度是（）

A．14m/s，方向为南偏西45°B．14m/s，方向为东偏南45°

C．10m/s，方向为正北D．10m/s，方向为正南

7、一架飞机在高空中由西向东沿水平方向做匀加速飞行，飞机每隔相同时间空投一个物体，共连续空投了6个物体（不计空气阻力）。

下图是从地面某时刻观察到的6个空投物体的位置，其中正确的是（）

8、如图所示，人在河岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将（）

A、匀速运动B、匀加速运动C、变加速运动D、减速运动

9、一木板（木板厚度不计）竖直放置在一车的车顶上。

车以速度v1在雨中行驶，雨相对地面以v速度竖直落下。

假设雨点单位空间的密度处处相同。

单位时间内打在木板上的雨点与以下那些量有关？

（）

A、车的速度v1B、雨点下落的速度v

C、木板的面积SD、单位空间雨点的密度

10、从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离。

11、一个杯子直径是d，高为H，今有一小球在杯口沿直径方向向杯内抛出，到达杯底时的位置与抛出的位置在同一竖直线上．如图所示。

小球和杯壁的碰撞是完全弹性的，求初速度v0。

12、从底角为θ的斜面顶端，以初速度v0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图所示，则小球抛出后离开斜面的最大距离H是多少？

13、（2011北大保送生考试）如图所示，AC为光滑竖直杆，ABC为构成直角的光滑L形直轨道，B处有一小圆弧连接可使小球顺利转弯，并且A、B、C三点正好是圆上三点，而AC正好为该圆的直径，如果套在AC杆上的小球自A点静止释放，分别沿ABC轨道和AC直轨道运动，如果沿ABC轨道运动的时间是沿AC直轨道运动所用时间的1.5倍，求α的值。

14、（2012华约）小球从台阶上以一定初速度水平抛出，恰落到第一级台阶边缘，反弹后再次落下经0.3s恰落至第3级台阶边界，已知每级台阶宽度及高度均为18cm，取g=10m/s2。

且小球反弹时水平速度不变，竖直速度反向，但变为原速度的1/4。

（1）求小球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离。

（2）问小球是否会落到第5级台阶上？

说明理由。

模拟训练答案：

1、B

2、C

3、解：

以水为参照物，两人对着游满足要求。

故t=s/（v1+v2）

4、解：

质点M的运动包含随轮中心C的平动和绕C的转动，平动分速度大小为vc，转动分速度方向竖直向上，大小为ωR，且

。

脱离轮后，质点M作斜抛运动，设落地时间为t，水平位移为L，则

，L=vct，解得：

。

5、B

6、B

7、A

8、C

9、ACD

10、答案:

11、答案:

2nd

（n取1，2，3…）

12、答案：

13、α=53°

14、

（1）0.072m

（2）0.144m（3）不会