小学数学问答手册四数的整除性.docx
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小学数学问答手册四数的整除性
四、数的整除性
153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识？
“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。
说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习，带来严重的后遗症。
例如：
约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数……这些概念在教学中几乎同时出现，但又有相反的内涵，因此，这些概念必须牢固而又明确地建立起来。
还必须看到：
“数的整除性”是学习分数的前提和准备。
在分数的四则运算中，约分和通分是一定要掌握的基础知识，而构成这些基础知识，是离不开“数的整除性”这部分内容的。
例如：
不掌握求最大公约数的方法，就不可能进行正确、迅速的约分；不掌握求最小公倍数的方法，也无法进行正确、迅速的通分。
从这个意义上讲，学习“数的整除性”是进一步学习数学的需要。
除此之外，学生在过去的学习中，已经知道整数与整数的和、差、积都是整数，但整数除整数时，商不一定是整数，有时会是小数，到底在什么情况下，整数与整数相除，商仍然是整数呢？
这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。
在未学习“数的整除性”前，学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。
87459÷365246÷7
32846÷1196375÷25
74321÷979432÷8
由于数字较大，一时难于做出正确的判断，一旦掌握了“数的整除性”这部分知识，这些问题就不难解决了。
154.整除和除尽有什么不同？
整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念，也是两个易于混淆的概念。
可以通过下面两道题的计算过程，来加以说明。
这两道题相同的地方是都没有余数，都可以说成是“除尽”。
但这两道题又有不同的地方，
（1）题中的被除数、除数和商都是整数，这种情况称作“整除”。
按原题可以说成是896能被16整除。
（2）题中的被除数、除数虽然是整数，但商不是整数，而是小数。
这类情况就只能称作“除尽”，而不能称作“整除”。
按原题可以说成36能被8除尽，而不能说成36能被8整除。
又如：
3.5÷0.5=7824÷41.2=20
这两个式子虽然都能除尽，商又是整数，但被除数和除数中，至少有一个数不是整数，因此，这两个式子只能属于“除尽”情况，而不能称作“整除”。
由于在小学数学中，“数的整除性”所涉及的数一般都指的是自然数，不包括0，因此，其定义是：
“数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除。
”
“整除”与“除尽”是两个不同的概念。
“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。
“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。
“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。
“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。
“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。
“除尽”与“整除”的关系可用右边集合图来表示。
155.“数的整除性”有哪些性质？
“数的整除性”的性质很多，涉及到小学数学内容的有以下几个：
（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的和也能被c整除。
例如：
42÷7=656÷7=8
（42＋56）÷7=14
42能被7整除，56也能被7整除，那么42与56的和（98）也能被7整除。
反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，而其中一个数不能被c整除，那么a与b的和就一定不能被c整除。
例如：
36÷9=483÷9=9……2
（36+83）÷9=13……2
36能被9整除，83不能被9整除，那么36与83的和（119）不能被9整除。
（2）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被C整除。
例如：
88÷11=8，66÷11=6
（88-66）÷11=2
88能被11整除，66也能被11整除，那么88与66的差（22）也能被11整除。
反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，另一个数不能被c整除，那么a与b的差就一定不能被c整除。
例如：
91÷13=730÷13=2……4
（91-30）÷13=4……9
91能被13整除，30不能被13整除，那么91与30的差（61）不能被13整除。
（3）如果两个整数a、b都不能被c整除。
那么a与b的和（或差）能或不能被c整除。
这是一个不肯定的结论。
例如：
65÷7=9……233÷7=4……5
（65＋33）÷7＝14
（65-33）÷7=4……4
65不能被7整除，33也不能被7整除，由于两个余数的和（2＋5=7），正好等于除数，因此，65与33的和（98）能被7整除；而65与33的差则不能被7整除。
又如：
85÷11=7……838÷11=3……5
（85＋38）÷11＝11……2
（85-38）÷11=4……3
85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85与38的和（123）或差（47）都不能被11整除。
（4）如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除。
例如：
39÷13=3
（39×4）÷13=12
39能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。
（5）如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。
例如：
有84、21、7三个数
84÷24=421÷7=3
84÷7＝12
84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。
反之，如果a、b、c这三个数中，a与b或b与c之间只要出现一个不能整除的情况，a就一定不能被c整除。
例如：
有121、11、5三个数
121÷11=1111÷5=2……1
121÷5=24……1
121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。
156.“倍”与“倍数”有什么区别？
“倍”与“倍数”虽然只有一字之差，却是两个不同的数学概念，只有真正明确它们各自的内涵和使用范围，才不会在理解和应用上造成混淆。
“倍”指的是数量之间的关系，它建立在乘法概念的基础上，在实际教学中，是从“个”和“份”逐步抽象出来的数学概念。
例如：
白布8米，花布的长度有4个8米；或者说把白布8米看作1份，花布的长度是4份。
这里所说的“个”与“份”，换成数学语言就是花布的长度是8米的4“倍”，花布的米数是8×4=32（米）。
由此可见，“倍”的出现是从生活中的“个”与“份”逐步抽象出来的，是建立在乘法概念的基础上的。
“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在“数的整除性”这个大概念的基础上，是在明确“整除”的前提下，与“约数”同时建立的。
例如：
28是7的倍数，因为28能被7整除。
28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示这三个数的数量关系，则7×4=28，7的4倍是28。
由此可见，前者的“倍数”是严格限制在“整除”的范围内，而后者的“倍”只体现在乘法的概念当中，这是两者的明确区别。
在小学数学教材中，“倍数”的运用还有另一种情况，即在比例教学时，当阐述正、反比例关系所提到的“扩大或缩小相同的倍数”，这里所提到的“倍数”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范围内的概念。
比例中所出现的倍数，所表示的是两个最相比而得到的数，这个数不一定是整数，也可能是小数。
在研究“数的整除性”中的倍数，是不允许出现小数的。
157.约数可以等于因数吗？
在“数的整除性”中，约数和因数是两个重要的概念。
在小学数学“教”与“学”中，接触因数是在整数乘法时，被乘数与乘数对于积来说，都是因数。
约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。
按照教材中对约数所下的定义：
“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
”假设把商定为c，其算式为：
a÷b=c反之b×c=a
仅从算式来观察，似乎约数与因数已经等同了，实际上并非如此。
约数与因数是一个问题在不同范畴内的两种不同提法，两者之间既有联系，也有区别，从上面乘、除法关系的算式中可以看到它们之间的联系，但它们之间的区别则是主要的。
以6÷3＝2为例，6能够被3整除，也能被2整除，因此，对6来说，3和2都是它的约数。
如果换成乘法算式：
3×2=6，对于乘积（6）来说，3和2都是它的因数。
由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。
事实上，6除了能被3和2整除外，还能够被1和6整除，也就是说，6共有1、2、3、6四个约数。
至于3×2=6，3和2固然是6的因数；但1×6=6，1和6也是6的因数，这是两个不同的乘法算式，因此，绝不能说成6有1、2、3、6四个因数，否则，1×2×3×6=36，其乘积就不是6，而是36了。
约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。
约数的应用范围是有限的，它只存在于“数的整除性”这部分知识当中，为学习“公约数”和“最大公约数”做好基础知识上的准备。
因数的应用范围则比较广泛，无论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。
例如：
在小数中2.4×0.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数。
在负数中（-5）×7=35，-5和7都是-35的因数。
凡此种种，都充分说明：
约数与因数是两个不同的概念，是不能等同的。
158.质数一定是奇数吗？
偶数一定是合数吗？
质数与奇数，偶数与合数涉及到两组不同的数学概念。
质数与合数是相互依存的，奇数与偶数也是相互依存的。
因此，质数不一定是奇数，偶数也不一定是合数。
这是因为：
一个数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫做质数（也叫做素数）。
而不能被2整除的数叫做奇数。
这两个概念的内涵不同，一般来说，是质数的也都是奇数，如：
3、13、29、37……。
这些数既是质数，也都是奇数。
但有一个数是例外的，这就是“2”。
2的约数只有1和它本身，因此，它是质数；但2能被2整除，不符合奇数的定义，所以，2不是奇数。
按照数学的严密性语言来说：
“除2以外的质数都是奇数”，这样的判断才是正确的。
还必须看到，“除2以外的质数都是奇数”这个结论虽然正确无误，但反过来说“除2以外，奇数都是质数”则是错误的，如：
27、35、143……这些数，虽然都是奇数，但这些数除了1和它本身这两个约数外，还有其他约数，如：
27还有3和9，35还有5和7，143还有11和13，都不符合质数的定义，因此，这些数都不是质数。
偶数也不一定是合数，因为“能被2整除的数叫做偶数”，而合数的定义是：
“除了1和本身，还有别的约数的，这样的数叫做合数。
”这里“2”又是一个重要区分点，2是偶数，但不是合数，准确的说法是：
“除2以外的偶数都是合数。
”
与质数和奇数不能反叙述一样，如果说成“除2以外的合数都是偶数”也是错误的。
例如：
45、87、187……这些数都是合数，但都不是偶数。
159.最小的偶数是几？
偶数概念的出现是在“数的整除性”这部分知识里，在小学数学教材中“数的整除性”一般是限制在自然数范围之内的，由于0不是自然数，因此没有涉及到最小偶数是几的问题，但在“教”与“学”中，却常常遇到这个问题，并且说法不一。
按照“能被2整除的数叫做偶数”的定义，以及一个数个位上是0、2、4、6、8的数就一定能被2整除的规律，0能够被2整除，0也应该看作是偶数。
至于在“教”与“学”中所提出的“最小的偶数是几”的问题，必须限定一个范围，一般来讲，要区分三种情况：
（1）如果限定在自然数的范围内，由于已将0排除，最小的偶数是2；
（2）如果扩大自然数的范围，把0包括在内，最小的偶数是0。
（3）如果限定在整数范围内，这个“整数”概念包括负整数，由于没有最小的负整数，因此，在整数的范围内，也没有最小的偶数。
160.“12是倍数，4是约数”这种说法对不对？
研究“倍数”与“约数”的概念，都是在整除的前提下进行的，因此，它们当中的每一个概念都不是单独存在的，而是互相依存的。
可以说：
没有倍数就没有约数，没有约数也就没有倍数。
按照“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数”的定义，通过下面的例子，就可以回答上面提出的问题了。
例如：
15÷3=5
15能被3整除，15是3的倍数，3是15的约数。
24÷8=3
24能被8整除，24是8的倍数，8是24的约数。
由此可见，12÷4=3，12在能被4整除的情况下，只能说成12是4的倍数，4是12的约数。
表述倍数与约数时，必须完整地说明：
谁是谁的倍数，谁是谁的约数。
如果笼统地说：
“谁是倍数，谁是约数”则是孤立的肯定，而失去倍数与约数本身的意义。
所以“12是倍数，4是约数”这种说法是不对的。
161.为什么判断一个数能不能被2或5整除，只要看这个数的个位数？
判断一个数能不能被2或5整除，在“数的整除性”这个范畴内是一个重要基础知识。
教材中是通过自然数乘以2和乘以5的形式，对乘积个位上数的特征的观察，从而得出如下的结论：
“个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。
”和“个位上是0或者5的数，都能被5整除。
”
有关这个结论的算理，可以通过下面数例加以说明。
例如：
（1）364=300＋60＋4
（2）876=800＋70＋6
（3）4528=4000＋500＋20＋8
任何一个数都可以写成上面的形式，从中可看到：
一个数千位、百位、十位上的数字，都表示整千、整百、整十的数，而整千、整百、整十的数都能被2整除（或者说都是2的倍数），这是整除的性质所决定的，那么这个数能不能被2整除的关键，就看个位上的数了。
因此，只要个位上是0、2、4、6、8的数，这个数就一定能被2整除。
个位上是0的数，必然是10的倍数，10能够被2整除，10的倍数也一定能被2整除。
所以个位上是0的数，也一定能被2整除了。
又如：
（1）485=400＋80＋5
（2）3765=3000＋700＋60＋5
（3）5970=5000＋900十70＋0
同理，千位、百位、十位上的数字，所表示的是整千、整百、整十的数，这些数均能被5整除（或者说都是5的倍数），关键是个位上的数，如果个位上的数能被5整除，这个数必然能被5整除。
个位上是5的数，当然能被5整除，个位上是0的数，必然是10的倍数，10能被5整除，10的倍数也必然能被5整除。
因此，看一个数能不能被5整除，只要看这个数个位上是0或者5，就能正确、迅速地做出判断。
个位上是0的数，是10的倍数，10能被2整除，也能被5整除。
因此，个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除。
162.为什么看一个数能不能被3或9整除，就要看这个数各数位上数字的和能不能被3或9整除？
一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
这个规律可通过下面例子得到证明。
例如：
判断3576，2549能不能被3整除。
3576：
∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）
∴3576能被3整除。
2549：
∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）
∴2549不能被3整除。
检验：
2549÷3=849……2
又如：
判4212、5282能不能被9整除。
4212：
∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）
∴4212能被9整除。
5282：
∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）
∴5282不能被9整除。
这个规律主要依据是：
（1）凡各位数字是9的数，一定能被3和9整除。
如：
9÷3=39÷9=1
99÷3=3399÷9=11
999÷3=333999÷9=111
9999÷3=33339999÷9=1111
…………
（2）凡是10的倍数都可以用下列形式表示：
10=9+1
100=99+1
1000=999+1
10000=9999+1
……
80=8×10=8×（9+1）
700=7×100=7×（99+1）
5000=5×1000=5×（999+1）
40000=4×10000=4×（9999+1）
……根据以上两点，可以通过下面的等式来说明354能不能被3整除的道理：
第一个括号里是9的倍数加上9的倍数，它是能被3或9整除的。
因此，这个数能不能被3整除，只要看第二个括号的结果就可以了。
而第二个括号里恰恰是354各位数字的和。
所以，判断一个数能不能被3或9整除，只要看各位数字的和就可以了。
判断结果：
3+5+4=12，12能被3整除，因此，354能被3整除。
由于9本身能被3整除，所以能被9整除的数，一定能被3整除。
而能被3整除的数，却不一定能被9整除。
仍以354为例，3+5+4=12，12能被3整除，却不能被9整除，因此，354能被3整除，不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：
判断7485能不能被9整除。
7+4+8+5=24→2+4=6
各位数字继续相加
从结果看出：
把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。
最后得出的6，就是7485除以9的余数。
即：
7485÷9=831……6
又如：
判断3478能不能被3整除。
∵3+4+7+8=22
∴3478不能被3整除，余数是1。
因为22除以3商7后的余数是1，也就是3478除以3的余数1。
检验：
3478÷3=1159……1
163.怎样判断一个数能不能被6整除？
判断一个数能不能被6整除，主要看这个数能被2整除，又能被3整除，如果都能，那么这个数就能被6整除。
因为把6分解质因数是2×3，或者说2与3的乘积是6，所以能同时被2和3整除的数，就能被6整除。
在判断一个数能不能被6整除时，可按照下列步骤进行：
（1）首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。
这就符合了能被6整除的第一个条件。
如果这个数不是偶数，那就排除了能被6整除的可能。
（2）然后按照能被3整除的数的特征，即：
这个数各位数字的和是不是3的倍数，如果是3的倍数，这个数就能被6整除。
例如：
判断654能不能被6整除。
654是偶数，自然能被2整除；654各位数字的和是6+5+4=15，15是3的倍数，因此，654能被6整除。
又如：
判断274能不能被6整除。
274是偶数，但它各位数字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此，274不能被6整除。
如果用图来表示，下面两圆相交部分中的数就是既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
164.怎样判断一个数能不能被7整除？
判断一个数能不能被7整除，不象判断一个数能不能被2、5、3整除那佯，根据这个数的数字特征就能直接做出判断。
一般需要采用割减法。
割减法的过程是这样的：
把一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被7整除。
例1：
判断3164能不能被7整除。
因为14是7的倍数，所以3164能被7整除。
检验：
3164÷7=452.
对于数字不大的数，使用割减法判断能不能被7整除是比较方便的。
这个割减的过程，并不需要笔算，口算就可以完成。
关于割减法的算理，即：
为什么要先割去末位上的数字，然后再从留下的数字中减去割去数字的2倍？
这与能不能被7整除有什么关系？
讲清这个算理，先观察一下21的倍数有什么特点。
从表中可以看到，21的倍数恰好是前位数字是末尾数字的2倍。
那么，把一个数割去末位数字，再从前位减去末位数字的2倍，不正是减去21的倍数吗？
如例1中割去84，不就是割去末位数字4的21倍吗？
由于21=7×3，21包含3个7，所以减去21的倍数，也就是减去7的倍数。
由此可以看出：
判断一个数能不能被7整除所用的割减法，其依据就是利用了21的倍数的特点。
如果一个数连续减去7的倍数，而余下的数也是7的倍数，那么原来这个数也必然是7的倍数，因而也能被7整除。
这个过程不一定书写出来，也可以在口算中进行。
因为用割减法连续减去的是21的倍数，如果最后的结果还是21的倍数，那么这个数既能被7整除，还能被21整除，当然也能被3整除。
例2：
判断2583，5264能不能被7和21整除。
2583能被7整除；也能被21整除。
检验：
2583÷7=369
2583÷21=123
5264能被7整除，不能被21整除。
检验：
5264÷7=752
5264÷21=250……14
165.怎样判断一个数能不能被4或25整除？
判断一个数能不能被4或25整除是比较容易的，这就是：
如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就一定能被4或25整除。
例如：
4750=47×100+50
928=9×100+28
3800=38×100
因为25与4相乘的积是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的数（100的倍数）可以不考虑，只要这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
由此可以得出：
凡是一个数的末两位数都是0（必然是100的倍数），这个数就一定能被4或25整除。
4750的末两位数是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。
928的末两位数是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而不能被25整除。
3800的末两位数都是0，说明3800是100的倍数，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。
166.怎样判断一个数能不能被8或125整除？
一个数能不能被8或125整除，要看这个数的末三位，这个数的末三位是8或125的倍数，这个数就能被8或125整除。
由于1000=8×125，1000既是8的倍数，也是125的倍数，所以，凡是一个三位以上的多位数，只要末三位数都是0，这个数就一定能被8和125整除。
例如：
6048能被8整除，4375能被125整除，86000既能被8整除，又能被125整除，7594和7300这两个数，既不能被8整除，也不能被125整除。
这种根据一个数末三位数来进行判断的方法，其算理是：
任何一个三位以上的多位数，都是由1000的倍数和一个三位数组成的。
例如：
9864=9×1000+864
56750=56×1000+750
93000=93×1000
1000既能被8和125整除，1000的倍数也必然能被8和125整除，因此，一个数末三位左边的数可以不看，只要末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
看末三位数是不是8的倍数，还可以采用简便的方法：
（1）先看末位数是奇数还是偶数，倘若是奇数，可以肯定不是8的倍数，因为8的倍数永远是偶数。
（2）如果是偶数，用2去除末三位数，看所得的商是4的倍数，这个数就能被8整除。
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