届高三上学期期末考试文数试题 含答案.docx
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届高三上学期期末考试文数试题含答案
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.设命题
则
为（）
A．
B．
C．
D．
3.已知
是虚数单位，复数
满足
，则
（）
A．
B．
或
C．
或
D．
4.双曲线
的顶点到渐近线的距离为（）
A．
B．
C.
D．
5.已知
，则
（）
A．
B．
C.
D．
6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）
A．
B．
C.
D．
7.已知
是等比数列，且
，则
（）
A．
B．
C.
D．
8.已知对数函数
，且
在区间
上的最大值与最小值之积为
，则
（）
A．
B．
或
C.
D．
9.执行如图所示的程序框图，则输出的
（）
A．
B．
C.
D．
10.已知函数
，若在区间
内随机取一个数
，则
的概率为（）
A．
B．
C.
D．
11.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（）
A．
B．
C.
D．
12.已知
是函数
在
内的两个零点，则
（）
A．
B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设向量
与
满足
则
．
14.设实数
满足约束条件
，则
的最大值等于．
15.抛物线
与椭圆
有相同的焦点
，抛物线
与椭圆
交于
，若
共线，则椭圆
的离心率等于．
16.已知数列
的前
项和
，则数列
的前
项和等于．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）在
中,角
、
、
所对的边分别为
、
、
.已知
.
（1）求
；
（2）若
的面积为
，周长为
，求
.
18.（本小题满分12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
，分数在
以上（含
）的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取
人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.
（1）求
的值，并计算所抽取样本的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）填写下面的
列联表，能否有超过
的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
文科生
理科生
合计
获奖
不获奖
合计
附表及公式：
，其中
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，
底面
为线段
上一点，
为
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）求点
到平面
的距离．
20.（本小题满分12分）已知
为实数，
.
（1）若
，求
在
上的最大值和最小值；
（2）若
在
和
上都递减，求
的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知圆
，圆
，经过原点的两直线
满足
，且
交圆
于不同两点
交圆
于不同两点
，记
的斜率为
.
（1）求
的取值范围；
（2）若四边形
为梯形，求
的值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，曲线
，曲线
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建
立极坐标系．
（1）求曲线
的极坐标方程；
（2）若射线
分别交
于
两点，求
的最大值．
23.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数
.
（1）当
时，解不等式
；
（2）若
，求
的取值范围．
唐山市2018—2018学年度高三年级期末考试
文科数学参考答案
一、选择题：
A卷：
DBADCBABCDAC
B卷：
CBADCBABDDAC
二、填空题：
（13）5（14）－2（15）
－1（16）－
三、解答题：
（17）解：
（Ⅰ）由正弦定理可得
sinA＝2sinAcosAcosB－2sinBsin2A…2分
＝2sinA（cosAcosB－sinBsinA）＝2sinAcos（A＋B）＝－2sinAcosC．
所以cosC＝－
，故C＝
．…6分
（
）由△ABC的面积为
得ab＝15，…8分
由余弦定理得a2＋b2＋ab＝c2，又c＝15－（a＋b），
解得c＝7．…12分
（18）解：
（Ⅰ）a＝[1－（0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005）×10]÷10＝0.025，
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69．…4分
（Ⅱ）
文科生
理科生
合计
获奖
5
35
40
不获奖
45
115
160
合计
50
150
200
…8分
k＝
＝
≈4.167＞3.841，
所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．…12分
（19）解：
（Ⅰ）过N作NE∥BC，交PB于点E，连AE，
∵CN＝3NP，
∴EN∥BC且EN＝
BC，
又∵AD∥BC，BC＝2AD＝4，M为AD的中点，
∴AM∥BC且AM＝
BC，
∴EN∥AM且EN＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE，
又∵MN
平面PAB，AE
平面PAB，
∴MN∥平面PAB．…6分
（Ⅱ）连接AC，在梯形ABCD中，
由BC＝2AD＝4，AB＝CD，∠ABC＝60°
得AB＝2，
∴AC＝2
，AC⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC．
又∵PA∩AB＝A，∴AC⊥平面PAB．
又∵CN＝3NP，
∴N点到平面PAB的距离d＝
AC＝
．…12分
（20）解：
f（x）＝－3x2＋6ax＋2a＋7．
（Ⅰ）f（－1）＝－4a＋4＝0，所以a＝1．…2分
f（x）＝－3x2＋6x＋9＝－3（x－3）（x＋1），
当－2≤x＜－1时，f（x）＜0，f（x）单调递减；
当－1＜x≤2时，f（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（－2）＝2，f（－1）＝－5，f
（2）＝22，
故f（x）在[－2，2]上的最大值为22，最小值为－5．…6分
（
）由题意得x∈（－∞，－2]∪[3，＋∞）时，f（x）≤0成立，…7分
由f（x）＝0可知，判别式＞0，所以
解得：
－
≤a≤1．
所以a的取值范围为[－
，1]．…12分
（21）解：
（Ⅰ）显然k≠0，所以l1：
y＝kx，l2：
y＝－
x．
依题意得M到直线l1的距离d1＝
＜
，
整理得k2－4k＋1＜0，解得2－
＜k＜2＋
；…2分
同理N到直线l2的距离d2＝
＜
，解得－
＜k＜
，…4分
所以2－
＜k＜
．…5分
（
）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
将l1代入圆M可得（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋6＝0，
所以x1＋x2＝
，x1x2＝
；…7分
将l2代入圆N可得：
（1＋k2）x2＋16kx＋24k2＝0，
所以x3＋x4＝－
，x3x4＝
．…9分
由四边形ABCD为梯形可得
，所以
＝
，
所以（1＋k）2＝4，解得k＝1或k＝－3（舍）．…12分
（22）解：
（Ⅰ）C1：
ρ（cosθ＋sinθ）＝4，
C2的普通方程为（x－1）2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ．…4分
（Ⅱ）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），－
＜α＜
，
则ρ1＝
，ρ2＝2cosα，…6分
＝
＝
×2cosα（cosα＋sinα）
＝
（cos2α＋sin2α＋1）＝
[
cos（2α－
）＋1]，…8分
当α＝
时，
取得最大值
（
＋1）．…10分
（23）解：
（Ⅱ）
①若a＞1，f（x）＝（a－1）|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，
当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2．…6分
②若a＝1，f（x）＝2|x－1|，f
（1）＝0＜1，不合题意．…7分
③若0＜a＜1，f（x）＝a|x－1|＋a|x－a|＋（1－a）|x－a|≥a（1－a），
当且仅当x＝a时，取等号，故只需a（1－a）≥1，这与0＜a＜1矛盾．…9分
综上所述，a的取值范围是[2，＋∞）．…10分
解法2
f（x）≥1f
（1）＝|1－a|≥1且a＞0，解得a≥2.…6分
当a≥2时，f（x）＝a|x－1|＋|x－a|＝
所以，f（x）在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f（x）≥f
（1）．…8分
f（x）≥1f
（1）＝a－1≥1，解得a≥2．
综上所述，a的取值范围是[2，＋∞）．…10分
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