二元一次方程的应用教案.docx
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二元一次方程的应用教案
二元一次方程组的应用
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
浙江温州(浙教版)
课时时长(分钟)
120分钟
知识点
二元一次方程组的应用
教学目标
学会列二元一次方程组解应用题
教学重点
二元一次方程组应用题的解法与步骤
教学难点
找出题中的等量关系,列出方程
教学过程
一、问题引入
我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题,今有鸡兔同笼,上有35头,下有94足,问鸡兔各几何?
此题的答案是:
鸡有23只,兔有12只,现在小敏将此题改编为:
今有鸡兔同笼,上有33头,下有88足,问鸡兔各几何?
则此时的答案是:
鸡有 ▲ 只,兔有 ▲ 只.
要解决这一问题,我们可以从以下几个方面进行思考:
(1)问题中所求的未知数有几个?
(2)用哪些等量关系?
(3)怎么设未知数?
可以列出几个方程?
(4)本题能用一元一次方程求解吗?
用列二元一次方程组的方法求解,有什么优点?
【答案】22,11
【解析】解:
设鸡有x只,兔子有y只,由题意得,
∴鸡有22只,兔子有11只.
当问题中所求的未知数有两个时,用两个字母表示未知数往往比较容易列出方程。
要注意的是必须寻找两个等量关系,列出两个不同的方程,组成二元一次方程组。
在本题的求解进程中,我们经历了哪些问题解决的基本步骤?
二、知识讲解
知识点1.列方程组解应用题的基本思想
关键是找等量关系,有几个未知数就必须列出几个方程,所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;
(3)方程两边的数值要相等;
知识点2.列方程组解应用题的一般步骤
一般步骤可分五步:
1、审题,弄清题意及题目中的数量关系;
2、设未知数,可直接设元,也可间接设元;
3、列出方程组,根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程,并组成方程组;
4、解所列方程组,并检验正确性;
5、写出答案;
三、例题精析
【例题1】
【题干】雅安地震后,灾区急
需帐篷.某企业急灾区之所急,准备捐助甲、乙两种型号的帐篷共1500顶,其中甲种帐篷每顶安置6人,乙种帐篷每顶安置4人,
共安置8000人.则该企业捐助甲、乙两种型号的帐篷各多少顶?
【答案】甲种1000顶,乙种500顶。
【解析】分析:
等量关系有:
①甲种帐篷的顶数+乙种帐篷的顶数=1500顶;②甲种帐篷安置的总人数+乙种帐篷安置的总人数=8000人,进而得出答案.
解:
根据甲、乙两种型号的帐篷共1500顶,得方程x+y=1500;根据共安置8000人,得方程6x+4y=8000.
列方程组为:
.解得
,
答:
甲种1000顶,乙种500顶。
【例题2】
【题干】夏季来临,天气逐渐炎热起来,某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%,将某种果汁饮料每瓶的价格下调了5%,已知调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元,调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元,问这两种饮料在调价前每瓶各多少元?
【答案】调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元,这种果汁饮料每瓶的价格为4元.
【解析】分析:
先设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元,根据调价前买这两种饮料个一瓶共花费7元,调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元,列出方程组,求出解即可.
解:
设这两种饮料在调价前每瓶各x元、y元,根据题意得:
,
解得:
.
答:
调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为3元,这种果汁饮料每瓶的价格为4元.
【例题3】
【题干】为了抓住2013年凉都消夏文化节的商机,某商场决定购进甲,乙两种纪念品,若购进甲种纪念品1件,乙种纪念品2件,需要160元;购进甲种纪念品2件,乙种纪念品3件,需要280元.
(1)购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元?
(2)该商场决定购进甲乙两种纪念品100件,并且考虑市场需求和资金周转,用于购买这些纪念品的资金不少于6000元,同时又不能超过6430元,则该商场共有几种进货方案?
(3)若销售每件甲种纪念品可获利30元,每件乙种纪念品可获利12元,在第
(2)问中的各种进货方案中,哪种方案获利最大?
最大利润是多少元?
【答案】
(1)购进甲乙两种纪念品每件各需要80元和40元;
(2)11种;(3)购进甲种纪念品60件,购进乙种纪念品40件时,可获最大利润,最大利润是2280元.
【解析】分析:
(1)设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元,根据购进甲种纪念品1件,乙种纪念品2件,需要160元;购进甲种纪念品2件,乙种纪念品3件,需要280元列出方程,求出x,y的值即可;
(2)设购进甲种纪念品a件,则乙种纪念品(100﹣a)件,根据购进甲乙两种纪念品100件和购买这些纪念品的资金不少于6000元,同时又不能超过6430元列出不等式组,求出a的取值范围,再根据a只能取整数,得出进货方案;
(3)根据实际情况计算出各种方案的利润,比较即可.
解:
(1)设购进甲乙两种纪念品每件各需要x元和y元,根据题意得:
,解得:
,
答:
购进甲乙两种纪念品每件各需要80元和40元;
(2)设购进甲种纪念品a件,则乙种纪念品(100﹣a)件,根据题意得:
,
解得:
50≤a≤
,
∵a只能取整数,a=50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,
∴共11种进货方案,
方案1:
购进甲种纪念品50件,则购进乙种纪念品50件;
方案2:
购进甲种纪念品51件,则购进乙种纪念品49件;
方案3:
购进甲种纪念品52件,则购进乙种纪念品48件;
方案4:
购进甲种纪念品53件,则购进乙种纪念品47件;
方案5:
购进甲种纪念品54件,则购进乙种纪念品46件;
方案6:
购进甲种纪念品55件,则购进乙种纪念品45件;
方案7:
购进甲种纪念品56件,则购进乙种纪念品44件;
方案8:
购进甲种纪念品57件,则购进乙种纪念品43件;
方案9:
购进甲种纪念品58件,则购进乙种纪念品42件;
方案10:
购进甲种纪念品59件,则购进乙种纪念品41件;
方案11:
购进甲种纪念品60件,则购进乙种纪念品40件;
(3)因为甲种纪念品获利最高,
所以甲种纪念品的数量越多总利润越高,
因此选择购进甲种纪念品60件,购进乙种纪念品40件利润最高,
总利润=60×30+40×12=2280(元)
则购进甲种纪念品60件,购进乙种纪念品40件时,可获最大利润,最大利润是2280元.
四、课堂运用
【基础】
1.为了研究吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所随机地调查了10000人,并进行统计分析.结果显示:
在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%,在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%,吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人.如果设这10000人中,吸烟者患肺癌的人数为
,不吸烟者患肺癌的人数为
,根据题意,下面列出的方程组正确的是().
A.
B.
C.
D.
答案B.
2.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同,由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为( )
A.
19
B.
18
C.
16
D.
15
分析:
要求出第三束气球的价格,先求出笑脸形和爱心形的气球的单价就可以求出结论.
解答:
解:
设笑脸形的气球x元一个,爱心形的气球y元一个,由题意,得
,
解得:
2x+2y=16.
故选C.
【巩固】
1.成渝路内江至成都段全长170千米,一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出,经过1小时10分钟相遇,小汽车比客车多行驶20千米.设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时,则下列方程组正确的是( )
A.
B.
C.
D.
分析:
根据等量关系:
相遇时两车走的路程之和为170千米,小汽车比客车多行驶20千米,可得出方程组.
解答:
解:
设小汽车和客车的平均速度为x千米/小时和y千米/小时
由题意得,
.
故选D.
2.2013年4月20日,我省芦山县发生7.0级强烈地震,造成大量的房屋损毁,急需大量帐篷.某企业接到任务,须在规定时间内生产一批帐篷.如果按原来的生产速度,每天生产120顶帐篷,那么在规定时间内只能完成任务的90%.为按时完成任务,该企业所有人员都支援到生产第一线,这样,每天能生产160顶帐篷,刚好提前一天完成任务.问规定时间是多少天?
生产任务是多少顶帐篷?
分析:
设规定时间为x天,生产任务是y顶帐篷,根据不提速在规定时间内只能完成任务的90%,即提速后刚好提前一天完成任务,可得出方程组,解出即可.
解答:
解:
设规定时间为x天,生产任务是y顶帐篷,
由题意得,
,
解得:
.
答:
规定时间是6天,生产任务是800顶帐篷.
【拔高】
1.甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的2.5倍,4分钟两人首次相遇,此时乙还需要跑300米才跑完第一圈,求甲、乙二人的速度及环形场地的周长.(列方程(组)求解)
分析:
设乙的速度为x米/分,则甲的速度为2.5x米/分,环形场地的周长为y米,根据环形问题的数量关系,同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程=环形周长建立方程求出其解即可.
解答:
解:
设乙的速度为x米/秒,则甲的速度为2.5x米/秒,环形场地的周长为y米,由题意,得
,
解得:
,
∴甲的速度为:
2.5×150=375米/分.
答:
乙的速度为150米/分,则甲的速度为375米/分,环形场地的周长为900米.
2.某镇水库的可用水量为12000立方米,假设年降水量不变,能维持该镇16万人20年的用水量.实施城市化建设,新迁入4万人后,水库只够维持居民15年的用水量.
(1)问:
年降水量为多少万立方米?
每人年平均用水量多少立方米?
(2)政府号召节约用水,希望将水库的保用年限提高到25年,则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标?
分析:
(1)设年降水量为x万立方米,每人每年平均用水量为y立方米,根据储水量+降水量=总用水量建立方程求出其解就可以了;
(2)设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标,同样由储水量+25年降水量=25年20万人的用水量为等量关系建立方程求出其解即可.
解答:
解:
(1)设年降水量为x万立方米,每人每年平均用水量为y立方米,由他提议,得
,
解得:
答:
年降水量为200万立方米,每人年平均用水量为50立方米.
(2)设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标,由题意,得
12000+25×200=20×25z,
解得:
z=34
则50﹣34=16(立方米).
答:
该城镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标.
课程小结
1.列二元一次方程解应用题的基本思想;
2.列二元一次方程解应用题的一般步骤;
3.常用解题模型
4.
(1)总量=单量×数量较大量=较小量+多余量
5.
(2)行程问题:
6.(3)工程问题:
7.(4)增长(降低)率问题:
8.增长量=原有量×增长率现有量=原有量+增长量=原有量×(1+增长率)
9.减少量=原有量×降低率现有量=原有量-减少量=原有量×(1-降低率)
10.(5)银行利率问题:
11.利息=本金×利率本息和=本金+利息=本金×(1+利率)
12.利息税=利息×利息税率所得金额=本息和-利息税
13.(6)浓度问题:
14.溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂
15.(7)销售问题:
16.(8)图形问题:
课后作业
1.某文具店准备购进甲,乙两种铅笔,若购进甲种钢笔100支,乙种铅笔50支,需要1000元,若购进甲种钢笔50支,乙种钢笔30支,需要550元.求购进甲,乙两种钢笔每支各需多少元?
【解析】
分析:
(1)先设购进甲,乙两种钢笔每支各需a元和b元,根据购进甲种钢笔100支,乙种铅笔50支,需要1000元,若购进甲种钢笔50支,乙种钢笔30支,需要550元列出方程组,求出a,b的值即可;
解:
(1)设购进甲,乙两种钢笔每支各需a元和b元,根据题意得:
,
解得:
,
答:
购进甲,乙两种钢笔每支各需5元和10元;
2.某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间,据统计该校高一年级男生740人,使用了55间大寝室和50间小寝室,正好住满;女生730人,使用了大寝室50间和小寝室55间,也正好住满.求该校的大小寝室每间各住多少人?
【解析】分析:
首先设该校的大寝室每间住x人,小寝室每间住y人,根据关键语句“高一年级男生740人,使用了55间大寝室和50间小寝室,正好住满;女生730人,使用了大寝室50间和小寝室55间,也正好住满”列出方程组即可;
解:
(1)设该校的大寝室每间住x人,小寝室每间住y人,由题意得:
,
解得:
,
答:
该校的大寝室每间住8人,小寝室每间住6人;
3.根据图中给出的信息,解答下列问题:
(1)放入一个小球水面升高cm,放入一个大球水面升高cm;
(2)如果要使水面上升到50cm,应放入大球、小球各多少个?
分析:
(1)设一个小球使水面升高x厘米,一个大球使水面升高y厘米,根据图象提供的数据建立方程求解即可;
(2)设应放入大球m个,小球n个,根据题意列一元二次方程组求解即可.
解答:
解:
(1)设一个小球使水面升高x厘米,由图意,得3x=32﹣26,解得x=2;
设一个大球使水面升高y厘米,由图意,得2y=32﹣26,解得:
y=3.
所以,放入一个小球水面升高2cm,放入一个大球水面升高3cm;
(2)设应放入大球m个,小球n个.由题意,得
解得:
,
答:
如果要使水面上升到50cm,应放入大球4个,小球6个.
4.某种仪器由1种A部件和1个B部件配套构成.每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个,现有工人16名,应怎样安排人力,才能使每天生产的A部件和B部件配套?
【解析】
分析:
设安排x人生产A部件,安排y人生产B部件,就有x+y=16和1000x=600y,由这两个方程构成方程组,求出其解即可.
解答:
解:
设安排x人生产A部件,安排y人生产B部件,由题意,得
,
解得:
.
答:
设安排6人生产A部件,安排10人生产B部件,才能使每天生产的A部件和B部件配套.
5.某校举办八年级学生数学素养大赛,比赛共设四个项目:
七巧板拼图,趣题巧解,数学应用,魔方复原,每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分,下表为甲,乙,丙三位同学得分情况(单位:
分)
七巧板拼图
趣题巧解
数学应用
魔方复原
甲
66
89
86
68
乙
66
60
80
68
丙
66
80
90
68
(1)比赛后,甲猜测七巧板拼图,趣题巧解,数学应用,魔方复原这四个项目得分分别按10%,40%,20%,30%折算△记入总分,根据猜测,求出甲的总分;
(2)本次大赛组委会最后决定,总分为80分以上(包含80分)的学生获一等奖,现获悉乙,丙的总分分别是70分,80分.甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分,问甲能否获得这次比赛的一等奖?
【解析】
分析:
(1)根据求加权平均数的方法就可以直接求出甲的总分;
(2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学运用所占的百分比为y,由条件建立方程组求出其解就可以求出甲的总分而得出结论.
解答:
解:
(1)由题意,得
甲的总分为:
66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8;
(2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学运用所占的百分比为y,由题意,得
,
解得:
,
∴甲的总分为:
20+89×0.3+86×0.4=81.1>80,
∴甲能获一等奖.