吉林省长春市届高三一模数学文试题.docx
《吉林省长春市届高三一模数学文试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林省长春市届高三一模数学文试题.docx（36页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
吉林省长春市届高三一模数学文试题
吉林省长春市2020届高三一模数学（文）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．复数
，则它的共轭复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合
，
，则
（）
A．
B．
或
≤
C．
或
D．
或
3．已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
4．已知条件
，条件
，则
是
的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．2021年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为2，…，2021年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析），得到回归直线
，其相关指数
，给出下列结论，其中正确的个数是（）
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个
A．0B．1C．2D．3
6．已知直线
与圆
相切，则
（）
A．
B．
C．
或
D．
7．已知
，
，
，则（）
A．
B．
C．
D．
8．已知
为直线，
平面，则下列说法正确的是（）
①
，则
②
，则
③
，则
④
，则
A．①②③B．②③④C．①③D．①④
9．函数
的图象（部分图象如图所示），则其解析式为（）
A．
B．
C．
D．
10．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为
，圆面中剩余部分的面积为
，当
与
的比值为
时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）
A．
B．
C．
D．
11．已知
是抛物线
的焦点，则过
作倾斜角为
的直线分别交抛物线于
（
在
轴上方）两点，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，若存在
使得
成立，则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知
，则
_____.
14．设变量x，y满足约束条件
，则
的最小值等于______．
15．三棱锥
中，
⊥平面
，
，则三棱锥
的外接球的表面积为_____.
三、双空题
16．已知△
的内角
的对边分别为
，若
，且
，则
____;若△
的面积为
，则△
的周长的最小值为_____.
四、解答题
17．已知数列
中，
，
，设
.
（Ⅰ）求证：
数列
是等差数列；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
.
18．环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，右表是对100辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：
公里）的测试结果.
（Ⅰ）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；
（Ⅱ）用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40）与[40,42）的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[40,42）内的概率.
19．在三棱柱
中，平面
、平面
、平面
两两垂直.
（Ⅰ）求证：
两两垂直；
（Ⅱ）若
，求三棱锥
的体积.
20．已知点
，若点
满足
.
（Ⅰ）求点
的轨迹方程；
（Ⅱ）过点
的直线
与（Ⅰ）中曲线相交于
两点，
为坐标原点，求△
面积的最大值及此时直线
的方程.
21．设函数
.
（Ⅰ）求函数
的极值；
（Ⅱ）若
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
22．在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
.
（Ⅰ）求直线
的普通方程和圆
的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线
与圆
交于
两点，点
，求
的值.
23．已知函数
.
（Ⅰ）解关于
的不等式
；
（Ⅱ）若函数
的最大值为
，设
，且
，求
的最小值.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：
复数
的共轭复数为
，在复平面内对应点的坐标为
，所以位于第三象限．选C
考点：
复数的概念及运算
2．B
【解析】
【分析】
先将
集合中表示元素
的范围求出，然后再求两个集合的交集.
【详解】
，
∴
或
≤
故选：
B.
【点睛】
本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题.
3．B
【分析】
根据给出条件求出
，利用
，
，
成等差数列计算
，再根据前
项和性质计算
的值.
【详解】
由
得
，
∴
∴
故选B.
【点睛】
等差数列性质：
；
等差数列前
项和性质：
.
4．B
【分析】
利用集合间的关系推出
之间的关系.
【详解】
，则
是
的必要不充分条件,
故选：
B.
【点睛】
成立的对象构成的集合为
，
成立的对象构成的集合为
：
是
的充分不必要条件则有：
；
是
的必要不充分条件则有：
.
5．D
【分析】
根据
和
确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据
的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测
年公共图书馆业机构数.
【详解】
由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，
又
趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；
由回归方程，当
时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.
故选D.
【点睛】
回归直线方程中的
的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数
决定了相关性的强弱，越接近
相关性越强.
6．C
【分析】
根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.
【详解】
由圆心到切线的距离等于半径，得
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.
7．C
【分析】
分析每个数的正负以及与中间值
的大小关系.
【详解】
因为
，
，
，
所以
，∴
，
故选C.
【点睛】
指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和
作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用.
8．D
【解析】
【分析】
①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.
【详解】
①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为
以及一个侧面为
，则
，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为
，下底面为
，则
不成立，故错误；④选取上下底面为
，任意作一个平面平行上底面为
，则有
成立，故正确.所以说法正确的有：
①④.
故选：
D.
【点睛】
对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.
9．A
【分析】
（1）通过
以及
的范围先确定
的取值，再根据
过点
计算
的取值.
【详解】
由
，
由
即
，
即为
解析式.
【点睛】
根据三角函数的图象求解函数解析式时需要注意：
（1）根据周期求解
的值；
（2）根据图象所过的特殊点求解
的值；（3）根据图象的最值，确定
的值.
10．A
【分析】
根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．
【详解】
与
所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设
与
所在扇形圆心角分别为
，
则
，又
，解得
故选:
A
【点睛】
本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：
，其中
是扇形圆心角的弧度数，
是扇形的弧长．
11．C
【分析】
根据抛物线的焦半径的倾斜角和焦准距的表示形式将
表示出来，然后代入相应值计算即可.
【详解】
，
∴
.
【点睛】
焦点在
轴上的抛物线，过抛物线的焦点倾斜角为
的直线与抛物线交于
两点，且
，则有
，
，
.
12．D
【分析】
数形结合去分析，先画出
的图象，然后根据直线过
将直线旋转，然后求解满足条件的
取值范围.
【详解】
如图,直线
过定点
为其斜率，
满足题意，
当
时，考虑直线与函数
相切，此时
，解得
，此时直线与
的切点为
，∴
也满足题意.选D
【点睛】
分段函数中的存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其是直线与曲线的位置关系，这里需要注意：
（1）直线过定点；
（2）临界位置的切线问题.
13．
【分析】
将所给式子平方，找到
与
的关系.
【详解】
平方得
∴
.
【点睛】
与
的关系：
；
14．
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，
得
，利用数形结合即可的得到结论．
【详解】
解：
画出可行域如图，
变形为
，
过点
，
取得最大值4，
过点
取得最小值
．
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用
的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
15．
【分析】
根据题设位置关系，可知以
为长、宽、高的长方体的外接球就是三棱锥
的外接球，根据这一特点进行计算.
【详解】
设外接球的半径为
，则
∴
【点睛】
对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径.
16．
6
【分析】
先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解
的值；根据面积以及在余弦定理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）.
【详解】
由
得
得
∴
∴
；
∴
又
所以
（当且仅当
时等号成立）
【点睛】
（1）
，若
垂直，则有：
；
（2）
取等号的条件是：
.
17．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【分析】
（1）证明
（
为常数）即可；
（2）将
采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解
.
【详解】
（Ⅰ）证明：
当
时，
，所以
是以为
首项，为
公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
，所以
，
所以
.
【点睛】
常见的裂项相消形式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
18．（Ⅰ）图略，中位数在区间
.（Ⅱ）
【分析】
（1）画出频率分布直方图后，找到频率总和为
时对应的分组区间；
（2）先利用分层抽样计算每组内抽取的辆数，然后对车辆进行标记，利用古典概型计算目标事件的概率.
【详解】
（Ⅰ）由题意可画出频率分布直方图如图所示：
前
组频
升级会员 