导数公式的证明最全版.docx

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导数公式的证明最全版

导数的定义：

f（x）=lim刖bx

△x宀0（下面就不再标明△xt了）

用定义求导数公式

（1）f（x）=xAn

证法一：

（n为自然数）

f'（x）

=lim[（x+△-xx）An]/△x

=lim（x+-△x）x[（x+△x）-A1（）n+x*（x+△

x）A（n-2）+...+xA（n-2）*（x+△x）+x-A1（n）]/△x

=lim[（x+△x）A-（1n）+x*（x+△x）-A2（n）+...+xA（n-2）*（x+△x）+x-A1（n）]=xA（n-1）+x*xA（n-2）+xA2*xA（n-3）+...xA（n-2）*x+xA（n-1）=nxA（n-1）证法二：

（n为任意实数）

f（x）=xAn

lnf（x）=nlnx

（lnf（x））'=（nlnx）'

f'（x）/f（x）=n/x

f'（x）=n/x*f（x）

f'（x）=n/x*xAn

f（x）二nxA（n-1）

（2）f（x）=sinx

f'（x）

=lim（sin（x+-six）x）/Ax

=lim（sinxcosAx+cosxsinx）/AxXx

=lim（sinx+cosxsin-sinx）/xAx

=limcosxsinAx/Ax

=cosx

（3）f（x）=cosx

f'（x）

=lim（cos（x+-ctos））/Ax

=lim（cosxcos-sinxsin-Acxx）/Ax

=lim（cosx-sinxsin-Aos）/Ax

=lim-sinxsinAx/Ax

=-sinx

（4）f（x）=aAx

证法一：

f'（x）

=lim（aA（x+-aAx）/Ax

=limaAx*（aA-1）/xAx

（设aAA-1=m,贝卩Ax=logaA（m+⑪

=limaAx*m/logaA（m+1）

=limaAx*m/[ln（m+1）/lna]

=limaAx*lna*m/ln（m+1）

=limaAx*lna/[（1/m）*ln（m+1）]

=limaAx*lna/ln[（m+1）A（1/m）]

=limaAx*lna/lne

=aAx*lna

证法二：

f（x）=aAx

lnf（x）=xlna

[lnf（x）]'=[xlna]'

f'（x）/f（x）=lna

f'（x）=f（x）lna

f'（x）=aAxlna

若a=e,原函数f（x）=eAx

则f'（x）=eAx*lne=eAx

（5）f（x）=logaAx

f'（x）

=lim（logaA（x+-logxAx）/Ax

=limlogaA[（x+Ax）/x]/Ax

=limlogaA（1+Ax/x）/Ax

limIn（1+△x/x）/（lna*△x）

limx*ln（1+△x/x）/（x*lna*△x）

lim（x/△x）*ln（1+△x/x）/（x*lna）

=limln[（1+

△x/x）A（x/△x）]/（x*lna）

=limlne/（x*lna）

=1/（x*lna）

若a=e，原函数f（x）=IogeAx=Inx

则f'（x）=1/（x*lne）=1/x

（6）f（x）=tanx

f'（x）

=lim（tan（x+

-△nx）/△x

=lim（sin（x+

△x）/cos（x+nx/abxo/△x

=lim（sin（x+sinxcos△

△x）Coscos（K+△x）/（△xcos（x+△x））=lim（sinxcos△xcosx+sin

x+sinxsin△x）/（△xcos（x+△x））

=limsin△x/（△xcos（x+△x））=1/（cosx）A2=secx/cosx=（secx）A2=1+（tanx）A2（7）f（x）=cotx

f'（x）

=lim（cot（x+

-△tx）/△x

=lim（cos（x+

△x）/sin（xcosx/Anx）/△x

=lim（cos（x+△x）sCosxsin（x+

△x））/（

△xsin（x+

△x））=lim（c

△Wxsinx

cosxsinxcos-△coxsxsin△xcosx）/（△xsin（x+△x））

=lim-sin△x/（△xsin（x+△x））

=-1/（sinx）八2二-cscx/sinx=-（secx）八2=-1-（cotx）八2

（8）f（x）=secx

f'（x）

=lim（sec（x+-△sexc）x）/△x

=lim（1/cos（x+-t/cx$x）/△x

=lim（cosx-cos（x+△x）/（△xcos△x）

△x/（△xcc

=lim（cosx-cosxcos△x+sinxsin△x）/（△xcos（x+△x））=limsinxsin

二sinx/（cosx）A2=tanx*secx

（9）f（x）=cscx

f'（x）

=lim（csc（x+-△csxc）x）/△x

=lim（1/sin（x+-1△/sinxx））/△x

=lim（sinx-sin（x+△x））/（△xsin（x+△x））

△x））

=lim（sinx-sinxcos-△xx△xcosx）/（△xsin（x+-△nx））^Hmosx/（△xsin（x+

=-cosx/（sinx）A2=-cotx*cscx

（10）f（x）=xAx

lnf（x）=xlnx

（lnf（x））'=（xlnx）'

f'（x）/f（x）=lnx+1

f'（x）=（lnx+1）*f（x）

f（x）=（lnx+1）*x^x

（12）h（x）=f（x）g（x）

h'（x）

=lim（f（x+△x）g（xl+x）g（x））/Ax

=lim[（f（x+A（x）+f（x））*g（x+Ax）+（ggx+-g（x+xAx））*f（x）]/Ax

=lim[（f（x+-f（x）x*g（x+Ax）+（g（x+A

x）-g（x））*f（x）+f（x）*g（x+-f（x）*g（x+Ax）]/Ax

=lim（f（x+-f（xx*g（x+Ax）/Ax+-g（x）^*f（k））t）Ax=f（x）g（x）+f（x）g'（x）

（13）h（x）=f（x）/g（x）

h'（x）

=lim（f（x+Ax）/g（x+（x）g（xx）/Ax

=lim（f（x+Ax）6

=lim[（f（x+-f（k）x）f（x））*g（x）-（g（x+A

x）-g（x）+g（x））*f（x）]/（Axg（x）g（x+Ax））

=lim[（f（x+-f（k）x*g（x）-（g（x+A

x）-g（x））*f（x）+f（x）g（x）f（x）g（x）]/（Axg（x）g（x+Ax））

=lim（f（x+-f（x））*g（x）/（Axg（x）g-（g（x+AAk））

x）-g（x））*f（x）/（Axg（x）g（x+Ax））

=f'（x）g（x）/（g（x）*g（x））-f（x）g'（x）/（g（x）*g（x））

=[f'（x）g（x）-f（x）g'（x）]/（g（x）*g（x））x

14）h（x）=f（g（x））

h'（x）

lim[f（g（x+

-f（gx）））]/

2x

lim[f（g（x+

-g（x）+g（x））f（g（x））]/2

另g（x）=u，

g（x+2x-g）（x）=

2）u

lim（f（u+

-2f（uu））/2x

lim（f（u+

-2f（uu））*2u/（

2x*2u）

limf'（u）*

2u/2x

limf（u）*（g（x+-g（x））/x）

2x

=f'（u）*g'（x）=f'（g（x））g'（x）

（反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于

y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1）

（15）y=f（x）=arcsinx

则siny=x

（siny）'=cosy

所以

（arcsinx）'=1/（siny）'=1/cosy

=1/VisinyF2

（siny=x）

=1/V-kA2

即f'（x）=1/VA2

（16）y=f（x）=arctanx

则tany=x

（tany）'=1+（tany）八2=1+xT

所以

（arctanx）'=+xT

即f'（x）二+xA2

总结一下

（xAn）'=nxA（n-1）

（sinx）'=cosx

（cosx）'=-sinx

（aAx）'=aAxlna

（eAx）'=eAx

（logaAx）'=1/（xlna）

（lnx）'=1/x

（tanx）'=（secx）A2=1+（tanx）A2（cotx）'=-（cscx）A2=-1-（cotx）A2（secx）'=tanx*secx

（cscx）'=-cotx*cscx

（xAx）'=（lnx+1）*xAx

（arcsinx）'=1/-x91

（arctanx）'=+xA2

[f（x）g（x）]'=f'（x）g（x）+f（x）g'（x）

[f（x）/g（x）]'=[f'（x）g（x）-f（x）g'（x）]/（g（x）*g（x））

[f（g（x））]'=f'（g（x））g'（x）