时,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4;时,函数y=f(x)-a有4个零点;
12.若函数f(x)的图像上存在两个不同的点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,称函数f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的有()
A.y=ex-x
B.y=x4-x2
C.y=x3
D.y=x+sinx
三、填空题:
本题共6小题,每小题5分,共30分.
13.已知复数z满足z+3=0,则|z|=.
z
14.已知函数f(x)=
xx2+3
,则f'(0)的值为.
15.六个人从左至右排成一行,最右端只能排成甲或乙,最左端不能排甲,则不同的排法共有种(请用数字作答).
16.直线y=m与直线y=2x+3和曲线y=ln2x分别相交于A,B两点,则AB的最小值为.
17.已知函数f(x)=ex(x-1),则它的极小值为;若函数g(x)=mx
总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)>g(x2),则实数m的取值范围是.
,对于任意的x1∈[-2,2],
18.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(-x)=f(x+2),且当0≤x≤1时,f(x)=x3+x.若函数
h(x)=f(x)-t在[-4,0)(0,4]上有4个不同的零点,则实数t的取值范围是.
x
四、解答题:
本大题共5小题,共60分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
19.(12分)
设复数z1=2-ai(a∈R),z2=4-3i.
(1)若z1+z2是实数,求z1⋅z2;
z1
z
(2)若
2
是纯虚数,求z1的共轭复数.
20.(12分)
已知函数f(x)=1x3-1(a+6)x2+6ax+b(a,b∈R).
32
(1)若函数f(x)的图像过原点,且在原点处的切线斜率为-2
(2)若在区间(2,3)上,函数f(x)不单调,求a的取值范围.
,求a,b的值;
21.(12分)
为提高学生学习的数学的兴趣,南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习,已知三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.
(1)求三位同学选择的课程互不相同的概率;
(2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程,求三人共有多少种不同的选课种数;
(3)若至少有两位同学选择《数学史》,求三人共有多少种不同的选课种数.
22.(12分)
如图,某景区内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把ABC所在的区域改造成绿化区域.已
知∠BAC=π,AB=2km,AP=23km.若绿化区域ABC改造
6
成本为10万元/km2,新建道路BC成本为10万元/km.
(1)①设∠ABC=θ,写出该计划所需总费用F(θ)的表达式,并写出θ的范围;
②设AC=x,写出该计划所需总费用F(x)的表达式,并写出x的范围;
(2)从上面两个函数关系中任选一个,求点C在何处时改造计划的总费用最小.
23.(12分)
设函数f(x)=lnx-ax(a∈R),g(x)=xf(x).
(1)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范围;
(2)①若a=1,试讨论g(x)的单调性;
2
e2
②若g(x)=有两个不同的零点,求
2
a的取值范围,并说明理由.
南京师大附中2019-2020学年度第2学期高二年级期中考试数学试卷
2020.05
注意事项:
1.本试卷共4页,包括单选题(第1题~第8题)、多选题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第题18
题)、解答题(第19题~第23题)四部分,本试卷满分为150分,考试时间为120分钟.
2.答题前,请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内,试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内,考试结束后,交回答题纸.
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
n
若A2=20,则n的值为()
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
n
【解析】A2=n(n-1)=20解的n=5
【点评】考查排列组合的运算。
2.函数f(x)=sin2x的导数是()
A.2cos2xB.
【答案】A
-2cos2x
C.2sin2xD.
-2sin2x
【解析】f'(x)=(sin2x)'=(2x)'cos2x=2cos2x
【点评】复合三角函数求导运算
3.若i为虚数单位,复数z满足z(1+i)=|3+4i|,则z的虚部为()
A.5iB.5
C.
-5i
D.
-5
2
【答案】D
5
222
5(1-i)55
【解析】z===-i
1+i
222
【点评】考查内容较综合,包括复数的运算、复数的模、复数的实部虚部,利用方程思想解题。
4.已知等差数列{a},若a,a是函数f(x)=1x3-x2+mx+1的极值点,则a的值为()
n240383
2020
A.1B.-1
C.
±1
D.
0
【答案】A
【解析】f'(x)=x2-2x+m
由韦达定理a+a
=2,又a
=1(a+a
),所以a=1.
24038
2020
222038
2020
【点评】基础题型:
导数求极值点方程,利用韦达定理利用等差数列性质得到答案
5.
3i
已知复数z满足z-1-=1,则z的最大值为()
A.1
B.2
C.
3
D.
4
【答案】C
【解析】设z=a+bi,由题意得(a-1)2+(b-
max
3)2=1,圆心到原点的距离为2,z=2+r=3.
【点评】考查复数的模长公式、圆的最值问题,属于基础题.
6.若kex-x-1≥0恒成立,则实数k的取值范围是()
A.(-∞,1]
B.(0,1]
C.(0,+∞)
D.[1,+∞)
【答案】D
【解析】由题意得k≥x+1恒成立,令g(x)=x+1,g'(x)=-x=0则x=0,g(x)
=g(0)=1,故k≥1.
exexex
max
【点评】考查恒成立问题,用参变分离法,利用导数求出函数最值即可,属于基础题.
7.某班联欢会原定的3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,如果将这2个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为()
A.12
B.
20
C.
36
D.120
【答案】B
【解析】利用分步计数原理,第一步先插入第一个节目,有4种方法,第二步插入第二个节目,此时有5
个空,故有5种方法.因此不同的插法共有20种.
【点评】考查分步计数原理,属于基础题.
8.定义在R上的可导函数f(x)满足f'(x)<1,若f(m)-f(1-2m)≥3m-1,则m的取值范围是()
A.(-∞,-1]
B.(-∞,1]
3
C.[-1,+∞)
D.[1,
3
+∞)
【答案】B
【解析】令g(x)=f(x)-x,g'(x)=f'(x)-1<0,故g(x)单调递减.f(m)-m≥f(1-2m)+2m-1,即
g(m)≥g(1-2m),m≤1-2m,m≤1.
3
【点评】根据题意构造新函数并判断新函数的单调性,再依据新函数单调性化简不等式即可.属于中等题.
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全
部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.若复数z满足(z+2)i=3+4i(i为虚数单位),则下列结论正确的有()
A.
13
z的虚部为3B.|z|=
C.z的共轭复数为2+3iD.z是第三象限的点
【答案】B,C
13
【解析】z=3+4i-2=-3i+2,虚部为-3,z=,共轭复数为2+3i,是第四象限点。
i
【点评】考察复数的四则运算,虚部模共轭复数以及几何意义。
10.有四名男生,三名女生排队照相,七个人排成一排,则下列说法正确的有()
A.如果四名男生必须连排在一起,那么有720种不同排法
B.如果三名女生必须连排在一起,那么有576种不同排法
C.如果女生不能站在两端,那么有1440种不同排法
D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起,那么有1440种不同排法
【答案】C,D
44
35
4333223
【解析】A中A4A4=576,B中A3A5=720,C中A4(A3+C2C2A2A2+3A3)=1440
45
D中A4A3=1440
【点评】考察插空法和捆绑法以及特殊位置法。
11.
已知函数f(x)定义域为[-1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示.
x
-1
0
2
4
5
f(x)
1
2
0
2
1
下列关于函数f(x)的结论正确的有()
A.函数f(x)的极大值点有2个;
B.函数在f(x)上[0,2]是减函数;
C.若x∈[-1,t]
D.当1时,f(x)的最大值是2,则t的最大值为4;时,函数y=f(x)-a有4个零点;
【答案】A,B,D
【解析】由导数的正负性可知,原函数在(-∞,0)单增,(0,2)单减(B对),(2,4)单增,(4,+∞)单减,由图像可得极大值点由两个(A对),当x∈[-1,5],最大值是2,而t最大值不是4,
f(-1)=1,f(0)=2,f
(2)=0,f(4)=2,f(5)=1,结合单调性,f(x)=a(1<a<2)有4个零点
【点评】考察导数和原函数之间的关系,由图像判断零点个数。
12.若函数f(x)的图像上存在两个不同的点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合,称函数f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的有()
A.y=ex-x
B.y=x4-x2
C.y=x3
D.y=x+sinx
【答案】B,D
【解析】由题意可得,性质T指函数f(x)图像上有两个不同点的切线是重合的,即两个不同点所对应的导数值相等,且该点处函数的切线方程也相等。
对于A选项,y=ex-x,则y'=ex-1,导函数为增函数,不存在不同的两个x使得导数值相等,所以A
不符合
对于B选项,函数为偶函数,且可以得到零点为0,0,-1,1,根据穿针引线法和偶函数性质可得到函数图像,
观察图像可得存在一条直线是函数不同的两个点的切线,所以B选项符合
对于C选项,设两切点分别为(x,x3)和(x,x3)则两切点处的导数值相等有:
3x2=3x2,解得:
x
=-x,
1122
1212
a3-(-a3)
()
令x1=a,则x2=-a,两切点处的导数y'=3a2,两切点连线的斜率为k==a2,则3a2=a2,
a--a
得a=0,两切点重合,不符合题意,所以C选项不符合
对于D选项,y'=1+cosx,设两切点得横坐标分别为x1和x2,则1+cosx1=1+cosx2,所以
cosx=cosx,取x=π,x=5π,则yπ
1,y=5π+1,两切点处的导数值为y'=1,两切
121222
1=2+22
点连线的直线斜率为k=y2-y1=1,所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率,符合性质T,所以D
x2-x1
选项符合。
【点评】考察函数本身的公切线问题,需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求解。
三、填空题:
本题共6小题,每小题5分,共30分.
13.已知复数z满足z+3=0,则|z|=.
z
3
【答案】
【解析】z+3=0
z
∴z2=-3
设z=a+bi(a,b∈R)
则a2-b2+2abi=-3
⎧a2-b2=-3⇒⎧⎪a=0
3
⎩
⎨2ab=0⎨⎪b=±
⎩
a2+b2
3
∴|z|==
【点评】此题考查复数的模,属于基础题.
14.已知函数f(x)=
1
xx2+3
,则f'(0)的值为.
【答案】
3
-x2+3
【解析】f'(x)=
(x2+3)2
∴f'(0)=1
3
【点评】此题考查导数的计算,只需对函数进行求导,再代入值即可,属于基础题.
15.六个人从左至右排成一行,最右端只能排成甲或乙,最左端不能排甲,则不同的排法共有种(请用数字作答).
【答案】216
5
【解析】分类讨论,①甲在最右边A5
②乙在最右边,甲在除了最左边和最右边以外的四个位置,再对剩下
四个进行排列C1A5;最后把结果相加A5+C1A5=216
45545
【点评】此题考查排列组合,需要对甲的位置分类讨论,属于基础题.
16.直线y=m与直线y=2x+3和曲线y=ln2x分别相交于A,B两点,则AB的最小值为.
【答案】2
y=m
⎛m-3⎫
y=m
⎛em⎫
【解析】
与y=2x+3的交点为ç2,m⎪,
与y=ln2x的交点为ç2,m⎪,所以
⎝⎭⎝⎭
em-m+3
2
AB=,令f(m)=em-m+3,得到f(m)在(-∞,0)上单调递减,(0,+∞)上单调递增,极小值为
4,所以AB的最小值为2
【点评】此题考察了构造函数求最值,属于中档题.
17.已知函数f(x)=ex(x-1),则它的极小值为;若函数g(x)=mx
,对于任意的x1∈[-2,2],
总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)>g(x2),则实数m的取值范围是.
【答案】-1;⎛-∞,-1⎫(1,+∞)
ç2⎪
⎝⎭
【解析】
(1)由f(x)=ex(x-1),得f'(x)=ex(x-1)+ex=xex=0,
∴x=0
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f'(x)
—
0
+
f(x)
极小值
0
∴f(x)极小值=f(0)=e(0-1)=-1
min
(2)∀x1∈[-2,2],∃x2∈[-1,2],使得f(x1)>g(x2),即f(x)min>g(x)
min
∴g(x)min
1)当m>0时,g(x)单调递增,g(x)=g(-1)=-m
∴-m<-1,即m>1
min
2)当m<0时,g(x)单调递减,g(x)=g
(2)=2m
2m<-1,即m<-1
2
3)当m=0时,g(x)=0,不符合题意,舍
综上:
m∈⎛-∞,-1⎫(1,+∞)
ç2⎪
⎝⎭
【点评】考查函数极值的求法;存在性问题与恒成立问题综合,分类讨论的思想。
18.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(-x)=f(x+2),且当0≤x≤1时,f(x)=x3+x.若函数
h(x)=f(x)-t在[-4,0)(0,4]上有4个不同的零点,则实数t的取值范围是.
x
【答案】(-6,2)
⎧f(-x)=f(x+2)
⎩
【解析】由⎨f(-x)=-f(x)
得:
f(x+4)=f(x),
∴T=4
由f(-x)=f(x+2)得:
f(1-x)=f(1+x)
∴f(x)关于直线x=1对称
∵f(x)=x3+x,x∈[0,1],f'(x)=3x2+1>0
∴f(x)在x∈[0,1]上单调递增
∴f(x)在x∈[-4,4]上的图像如下
h(x)=f(x)-t的零点,即f(x)与g(x)=t的图像的交点
xx
1)当t>0时,要有四个交点,则需满足g
(1)(1),即t<2
1
∴02)当t<0时,要有四个交点,则需满足g(3)>f(3),即t>-2
3
∴-63)当t=0时,g(x)=0,即f(x)在[-4,0)(0,4]上的零点