时，f（x）的最大值是2，则t的最大值为4；时，函数y=f（x）-a有4个零点；
12.若函数f（x）的图像上存在两个不同的点A,B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，称函数f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的有（）
A.y=ex-x
B.y=x4-x2
C.y=x3
D.y=x+sinx
三、填空题：
本题共6小题，每小题5分，共30分.
13.已知复数z满足z+3=0，则|z|=.
z
14.已知函数f（x）=
xx2+3
，则f'（0）的值为.
15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有种（请用数字作答）.
16.直线y=m与直线y=2x+3和曲线y=ln2x分别相交于A,B两点，则AB的最小值为.
17.已知函数f（x）=ex（x-1），则它的极小值为；若函数g（x）=mx
总存在x2∈[-1,2]，使得f（x1）>g（x2），则实数m的取值范围是.
，对于任意的x1∈[-2,2]，
18.已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（-x）=f（x+2），且当0≤x≤1时，f（x）=x3+x.若函数
h（x）=f（x）-t在[-4,0）（0,4]上有4个不同的零点，则实数t的取值范围是.
x
四、解答题：
本大题共5小题，共60分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
19.（12分）
设复数z1=2-ai（a∈R）,z2=4-3i.
（1）若z1+z2是实数，求z1⋅z2；
z1
z
（2）若
2
是纯虚数，求z1的共轭复数.
20.（12分）
已知函数f（x）=1x3-1（a+6）x2+6ax+b（a,b∈R）.
32
（1）若函数f（x）的图像过原点，且在原点处的切线斜率为-2
（2）若在区间（2,3）上，函数f（x）不单调，求a的取值范围.
，求a,b的值；
21.（12分）
为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；
（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.
22.（12分）
如图，某景区内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把ABC所在的区域改造成绿化区域.已
知∠BAC=π，AB=2km，AP=23km.若绿化区域ABC改造
6
成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.
（1）①设∠ABC=θ，写出该计划所需总费用F（θ）的表达式，并写出θ的范围；
②设AC=x，写出该计划所需总费用F（x）的表达式，并写出x的范围；
（2）从上面两个函数关系中任选一个，求点C在何处时改造计划的总费用最小.
23.（12分）
设函数f（x）=lnx-ax（a∈R）,g（x）=xf（x）.
（1）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（2）①若a=1，试讨论g（x）的单调性；
2
e2
②若g（x）=有两个不同的零点，求
2
a的取值范围，并说明理由.
南京师大附中2019-2020学年度第2学期高二年级期中考试数学试卷
2020.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括单选题（第1题~第8题）、多选题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第题18
题）、解答题（第19题~第23题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上相应题目的答题区内，考试结束后，交回答题纸.
一、单项选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
n
若A2=20，则n的值为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
n
【解析】A2=n（n-1）=20解的n=5
【点评】考查排列组合的运算。
2.函数f（x）=sin2x的导数是（）
A.2cos2xB.
【答案】A
-2cos2x
C.2sin2xD.
-2sin2x
【解析】f'（x）=（sin2x）'=（2x）'cos2x=2cos2x
【点评】复合三角函数求导运算
3.若i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=|3+4i|，则z的虚部为（）
A.5iB.5
C.
-5i
D.
-5
2
【答案】D
5
222
5（1-i）55
【解析】z===-i
1+i
222
【点评】考查内容较综合，包括复数的运算、复数的模、复数的实部虚部，利用方程思想解题。
4.已知等差数列{a}，若a，a是函数f（x）=1x3-x2+mx+1的极值点，则a的值为（）
n240383
2020
A.1B.-1
C.
±1
D.
0
【答案】A
【解析】f'（x）=x2-2x+m
由韦达定理a+a
=2，又a
=1（a+a
），所以a=1.
24038
2020
222038
2020
【点评】基础题型：
导数求极值点方程，利用韦达定理利用等差数列性质得到答案
5.
3i
已知复数z满足z-1-=1，则z的最大值为（）
A.1
B.2
C.
3
D.
4
【答案】C
【解析】设z=a+bi，由题意得（a-1）2+（b-
max
3）2=1，圆心到原点的距离为2，z=2+r=3.
【点评】考查复数的模长公式、圆的最值问题，属于基础题.
6.若kex-x-1≥0恒成立，则实数k的取值范围是（）
A.（-∞,1]
B.（0,1]
C.（0,+∞）
D.[1,+∞）
【答案】D
【解析】由题意得k≥x+1恒成立，令g（x）=x+1，g'（x）=-x=0则x=0，g（x）
=g（0）=1，故k≥1.
exexex
max
【点评】考查恒成立问题，用参变分离法，利用导数求出函数最值即可，属于基础题.
7.某班联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（）
A.12
B.
20
C.
36
D.120
【答案】B
【解析】利用分步计数原理，第一步先插入第一个节目，有4种方法，第二步插入第二个节目，此时有5
个空，故有5种方法.因此不同的插法共有20种.
【点评】考查分步计数原理，属于基础题.
8.定义在R上的可导函数f（x）满足f'（x）<1，若f（m）-f（1-2m）≥3m-1，则m的取值范围是（）
A.（-∞,-1]
B.（-∞,1]
3
C.[-1,+∞）
D.[1,
3
+∞）
【答案】B
【解析】令g（x）=f（x）-x，g'（x）=f'（x）-1<0，故g（x）单调递减.f（m）-m≥f（1-2m）+2m-1，即
g（m）≥g（1-2m），m≤1-2m，m≤1.
3
【点评】根据题意构造新函数并判断新函数的单调性，再依据新函数单调性化简不等式即可.属于中等题.
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.若复数z满足（z+2）i=3+4i（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）
A.
13
z的虚部为3B.|z|=
C.z的共轭复数为2+3iD.z是第三象限的点
【答案】B,C
13
【解析】z=3+4i-2=-3i+2，虚部为-3，z=，共轭复数为2+3i，是第四象限点。
i
【点评】考察复数的四则运算，虚部模共轭复数以及几何意义。
10.有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（）
A.如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B.如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C.如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
【答案】C,D
44
35
4333223
【解析】A中A4A4=576，B中A3A5=720，C中A4（A3+C2C2A2A2+3A3）=1440
45
D中A4A3=1440
【点评】考察插空法和捆绑法以及特殊位置法。
11.
已知函数f（x）定义域为[-1,5]，部分对应值如表，f（x）的导函数f'（x）的图像如图所示.
x
-1
0
2
4
5
f（x）
1
2
0
2
1
下列关于函数f（x）的结论正确的有（）
A.函数f（x）的极大值点有2个；
B.函数在f（x）上[0,2]是减函数；
C.若x∈[-1,t]
D.当1时，f（x）的最大值是2，则t的最大值为4；时，函数y=f（x）-a有4个零点；
【答案】A,B,D
【解析】由导数的正负性可知，原函数在（-∞,0）单增，（0,2）单减（B对），（2，4）单增，（4,+∞）单减，由图像可得极大值点由两个（A对），当x∈[-1,5]，最大值是2，而t最大值不是4，
f（-1）=1,f（0）=2,f
（2）=0,f（4）=2,f（5）=1，结合单调性，f（x）=a（1＜a＜2）有4个零点
【点评】考察导数和原函数之间的关系，由图像判断零点个数。
12.若函数f（x）的图像上存在两个不同的点A,B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，称函数f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的有（）
A.y=ex-x
B.y=x4-x2
C.y=x3
D.y=x+sinx
【答案】B,D
【解析】由题意可得，性质T指函数f（x）图像上有两个不同点的切线是重合的，即两个不同点所对应的导数值相等，且该点处函数的切线方程也相等。
对于A选项，y=ex-x，则y'=ex-1，导函数为增函数，不存在不同的两个x使得导数值相等，所以A
不符合
对于B选项，函数为偶函数，且可以得到零点为0,0,-1,1，根据穿针引线法和偶函数性质可得到函数图像，
观察图像可得存在一条直线是函数不同的两个点的切线，所以B选项符合
对于C选项，设两切点分别为（x,x3）和（x,x3）则两切点处的导数值相等有：
3x2=3x2，解得：
x
=-x，
1122
1212
a3-（-a3）
（）
令x1=a，则x2=-a，两切点处的导数y'=3a2，两切点连线的斜率为k==a2，则3a2=a2，
a--a
得a=0，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合
对于D选项，y'=1+cosx，设两切点得横坐标分别为x1和x2，则1+cosx1=1+cosx2，所以
cosx=cosx，取x=π，x=5π，则yπ
1，y=5π+1，两切点处的导数值为y'=1，两切
121222
1=2+22
点连线的直线斜率为k=y2-y1=1，所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合性质T，所以D
x2-x1
选项符合。
【点评】考察函数本身的公切线问题，需抓住两点的导数值相等且等于两点连线的斜率来求解。
三、填空题：
本题共6小题，每小题5分，共30分.
13.已知复数z满足z+3=0，则|z|=.
z
3
【答案】
【解析】z+3=0
z
∴z2=-3
设z=a+bi（a,b∈R）
则a2-b2+2abi=-3
⎧a2-b2=-3⇒⎧⎪a=0
3
⎩
⎨2ab=0⎨⎪b=±
⎩
a2+b2
3
∴|z|==
【点评】此题考查复数的模，属于基础题.
14.已知函数f（x）=
1
xx2+3
，则f'（0）的值为.
【答案】
3
-x2+3
【解析】f'（x）=
（x2+3）2
∴f'（0）=1
3
【点评】此题考查导数的计算，只需对函数进行求导，再代入值即可，属于基础题.
15.六个人从左至右排成一行，最右端只能排成甲或乙，最左端不能排甲，则不同的排法共有种（请用数字作答）.
【答案】216
5
【解析】分类讨论，①甲在最右边A5
②乙在最右边，甲在除了最左边和最右边以外的四个位置，再对剩下
四个进行排列C1A5;最后把结果相加A5+C1A5=216
45545
【点评】此题考查排列组合，需要对甲的位置分类讨论，属于基础题.
16.直线y=m与直线y=2x+3和曲线y=ln2x分别相交于A,B两点，则AB的最小值为.
【答案】2
y=m
⎛m-3⎫
y=m
⎛em⎫
【解析】
与y=2x+3的交点为ç2,m⎪，
与y=ln2x的交点为ç2,m⎪，所以
⎝⎭⎝⎭
em-m+3
2
AB=，令f（m）=em-m+3，得到f（m）在（-∞,0）上单调递减，（0,+∞）上单调递增，极小值为
4，所以AB的最小值为2
【点评】此题考察了构造函数求最值，属于中档题.
17.已知函数f（x）=ex（x-1），则它的极小值为；若函数g（x）=mx
，对于任意的x1∈[-2,2]，
总存在x2∈[-1,2]，使得f（x1）>g（x2），则实数m的取值范围是.
【答案】-1；⎛-∞,-1⎫（1,+∞）
ç2⎪
⎝⎭
【解析】
（1）由f（x）=ex（x-1），得f'（x）=ex（x-1）+ex=xex=0，
∴x=0
x
（-∞,0）
0
（0,+∞）
f'（x）
—
0
+
f（x）
极小值
0
∴f（x）极小值=f（0）=e（0-1）=-1
min
（2）∀x1∈[-2,2],∃x2∈[-1,2]，使得f（x1）>g（x2），即f（x）min>g（x）
min
∴g（x）min
1）当m>0时，g（x）单调递增，g（x）=g（-1）=-m
∴-m<-1,即m>1
min
2）当m<0时，g（x）单调递减，g（x）=g
（2）=2m
2m<-1,即m<-1
2
3）当m=0时，g（x）=0，不符合题意，舍
综上：
m∈⎛-∞,-1⎫（1,+∞）
ç2⎪
⎝⎭
【点评】考查函数极值的求法；存在性问题与恒成立问题综合，分类讨论的思想。
18.已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（-x）=f（x+2），且当0≤x≤1时，f（x）=x3+x.若函数
h（x）=f（x）-t在[-4,0）（0,4]上有4个不同的零点，则实数t的取值范围是.
x
【答案】（-6,2）
⎧f（-x）=f（x+2）
⎩
【解析】由⎨f（-x）=-f（x）
得：
f（x+4）=f（x），
∴T=4
由f（-x）=f（x+2）得：
f（1-x）=f（1+x）
∴f（x）关于直线x=1对称
∵f（x）=x3+x,x∈[0,1]，f'（x）=3x2+1>0
∴f（x）在x∈[0,1]上单调递增
∴f（x）在x∈[-4,4]上的图像如下
h（x）=f（x）-t的零点，即f（x）与g（x）=t的图像的交点
xx
1）当t>0时，要有四个交点，则需满足g
（1）（1），即t<2
1
∴02）当t<0时，要有四个交点，则需满足g（3）>f（3），即t>-2
3
∴-63）当t=0时，g（x）=0，即f（x）在[-4,0）（0,4]上的零点
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