福建省厦门市大同中学学年八年级上学期期中数学试题.docx

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福建省厦门市大同中学学年八年级上学期期中数学试题

福建省厦门市大同中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．下列几何图形中不是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

2．下列计算正确的是（　　）

A．2x+3x=5xB．2x•3x=6xC．（x3）2=5D．x3﹣x2=x

3．现有长度分别是30cm和25cm的两根木棒，如果不改变木棒的长度，要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架，那么在下列长度的木棒中不能选取的是（　　）

A．10cm的木棒B．30cm的木棒C．50cm的木棒D．70cm的木棒

4．下列命题为假命题的是（　　）

A．全等三角形对应边相等，对应角相等

B．角平分线上的点到角两边距离相等

C．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

D．等腰三角形一边上的中线、高线和所对角的角平分线互相重合

5．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，AC=12，则△APC的面积是（）

A．30cm2B．40cm2C．50cm2D．60cm2

6．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是（）

A．2B．3C．6D．不能确定

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠DBC等于（　　）

A．75°B．60°C．45°D．30°

8．已知2a+5b﹣4＝0，则4a×32b＝（　　）

A．8B．16C．32D．64

9．如图，把△ABC纸片的∠A沿DE折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1、∠2与∠A的关系是（　　）

A．∠1﹣∠A＝2∠2B．∠2+∠1＝2∠AC．∠1﹣∠2＝2∠AD．2∠2+2∠A＝∠1

10．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）

A．130°B．120°C．110°D．100°

二、填空题

11．

（1）（﹣a3）2+a6＝_____．

（2）2a5b•（﹣ab）3＝_____．

（3）

＝_____．

（4）（﹣a）3（﹣a）4＝_____．

（5）（x+2）（x﹣3）＝_____．

（6）（2×103）×（5×104）＝_____．（用科学记数法表示）

12．六边形的外角和等于°.

13．已知3x•（xn+5）＝3xn+1﹣8，那么x＝_____．

14．计算：

＝_____．

15．点P关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣5，2），则点P的坐标是_____．

16．如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积为____.

三、解答题

17．如图，长方形ABCD中AD＝10，AB＝4，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，△BPQ是等腰三角形时，用尺规在AD上标出所有的P点，并用P1、P2等表示出来，要保留作图痕迹．

18．计算：

（1）5a2b•（﹣2a4b）+（﹣3a3b）2；

（2）（x+3）（x﹣5）﹣x（x﹣2）．

19．如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，DF∥BE，∠B＝∠D，求证：

AD＝BC．

20．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，线段AB与A1B1的端点都在格点上．

（1）在图中建立适当的直角坐标系，使点B和B1都在x轴上，且线段AB和A1B1关于y轴成轴对称；

（2）写出点A1的坐标；

（3）若y轴上有一点P，满足PA＝PB．用直尺作出点P，保留作图痕迹，并证明PA1＝PB1．

21．如图，已知BC是△ABD的角平分线，BC=DC，∠A=∠E=30°，∠D=50°．

（1）写出AB=DE的理由；

（2）求∠BCE的度数．

22．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各有若干张，如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b的大长方形，则需要A、B、C类卡片各多少张？

23．解方程：

（x+4）（x﹣3）﹣（x﹣2）（2+x）﹣4＝0．

24．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和平数”．

例如：

2635，x＝2+6，y＝3+5，因为x＝y，所以2635是“和平数”．

（1）请判断：

3562　　（填“是”或“不是”）“和平数”．

（2）直接写出：

最小的“和平数”是　　，最大的“和平数”是　　；

（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14，求满足条件的所有“和平数”．

25．如图，在

中，

，点

为边

上一点，

，且

点

关于直线

的对称点为

，连接

，又

的

边上的高为

.

（1）判断直线

是否平行？

并说明理由；

（2）证明：

.

26．

已知：

等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：

PA+PD+PC＞BD

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．

【详解】

解：

A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故选：

C．

【点睛】

此题考查轴对称图形的辨识，解题关键在于对图形的识别.

2．A

【解析】

【分析】

依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可．

【详解】

A、2x＋3x＝5x，故A正确；

B、2x•3x＝6x2，故B错误；

C、（x3）2＝x6，故C错误；

D、x3与x2不是同类项，不能合并，故D错误．

故选A．

【点睛】

本题主要考查的是整式的运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．

3．D

【分析】

设第三根木棒的长为l，再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可．

【详解】

解：

设第三根木棒的长为l，

则30cm﹣25cm＜l＜30cm+25cm，即5cm＜l＜55cm．

故选：

D．

【点睛】

此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握列出不等式.

4．D

【解析】

【分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

解：

A、全等三角形对应边相等，对应角相等，真命题，正确；

B、角平分线上的点到角两边距离相等，真命题，正确；

C、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，此选项正确；

D、应该是：

等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的角平分线互相重合，故此选项错误；

故选D．

【点睛】

此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定义.

5．A

【分析】

根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点P到AC的距离等于5，代入面积公式从而求得△APC的面积．

【详解】

过P作PD⊥AC于D，

∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，

∴PD=PB=5cm，

∴S△APC=

AC⋅PD=

×12×5=30cm2，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质定理，根据题意构造角平分线性质定理的基本图形是关键，难度适中．

6．A

【解析】

试题分析：

根据三角形的中线得出AD=CD，根据三角形的周长求出即可．

解：

∵BD是△ABC的中线，

∴AD=CD，

∴△ABD和△BCD的周长的差是：

（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．

故选A．

考点：

三角形的角平分线、中线和高．

7．D

【分析】

先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠C＝∠BDC，再用三角形的外角的性质计算即可．

【详解】

解：

∵从作图可知：

BD＝BC，

∴∠C＝∠BDC，

∵在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC＝

（180°﹣∠A）＝75°，

∴∠BDC＝∠C＝75°，

∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝30°，

故选：

D．

【点睛】

此题考查等腰三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.

8．B

【分析】

先根据2a+5b-4=0，可求2a+5b=4，再利用（am）n=amn对4a×32b=变形，然后再把2a+5b的值整体代入计算即可．

【详解】

解：

∵2a+5b﹣4＝0，

∴2a+5b＝4，

则4a×32b＝22a×25b＝22a+5b＝24＝16．

故选B．

【点睛】

此题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解题关键在于掌握运算法则.

9．C

【解析】

【分析】

先根据图形翻折变换的性质得出∠A=∠A′，再根据三角形外角的性质进行解答即可．

【详解】

解：

∵△A′ED是△AED翻折变换而成，

∴∠A＝∠A′，

∵∠AFD是△A′EF的外角，

∴∠AFD＝∠A′+∠2，

∵∠1是△ADF的外角，

∴∠1＝∠A+∠AFD，即∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A′+∠2，

∴∠1﹣∠2＝2∠A，

故选C．

【点睛】

此题考查三角形的折叠问题，三角形的外角，三角形内角和定理，解题关键在于掌握其定义.

10．B

【解析】

根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2（∠AA′M＋∠A″）即可得出答案：

如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，

则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．

∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．

∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．

∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，

且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，

∠NAD＋∠A″＝∠ANM，

∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2（∠AA′M＋∠A″）＝2×60°＝120°．

故选B．

11．2a6，﹣2a8b4，

﹣a7x2﹣x﹣6，108

【分析】

根据单项式乘单项式、完全平方公式、同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，合并同类项逐一计算即可

【详解】

解：

（1）（﹣a3）2+a6＝a6+a6＝2a6；

（2）2a5b•（﹣ab）3＝2a5b•（﹣a3b3）＝﹣2a8b4；

（3）

=

；

（4）（﹣a）3（﹣a）4＝﹣a3b4＝﹣a7；

（5）（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；

（6）（2×103）×（5×104）＝108．

故答案为：

（1）2a6，

（2）﹣2a8b4，（3）

，（4）﹣a7，（5）x2﹣x﹣6，（6）108．

【点睛】

此题考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法，积的乘方与幂的乘方，合并同类项，解题关键在于掌握运算法则.

12．360.

【分析】

根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．

【详解】

六边形的外角和等于360度．

故答案为360．

13．

【分析】

先把等式左边的单项式多项式相乘，再与右边的多项式相比较即可得出x的值．

【详解】

解：

∵3x•（xn+5）＝3xn+1+15x，

∴15x＝﹣8，

解得x＝

．

故答案为：

．

【点睛】

此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则.

14．

【分析】

根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．

【详解】

解：

．

故答案为：

【点睛】

此题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握运算法则.

15．（5，2）

【分析】

根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．

【详解】

解：

点P关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣5，2），则点P的坐标是（5，2），

故答案为：

（5，2）．

【点睛】

此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题关键在于掌握其定义.

16．7

【分析】

连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．

【详解】

如下图，连接A1C，B1A，C1B，，因B是线段B1C的中点，所以B1B=BC.

△A1B1A和△AB1B等底同高，根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2，S△C1AA1=2.

S△A1B1C1=S△A1BB1+S△C1CB1+S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.

【点睛】

本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．

17．详见解析

【分析】

利用尺规作图，结合等腰三角形的性质和矩形的性质进行作图即可解答.

【详解】

解：

如图，P1，P2，P3，P4即为所求．

【点睛】

此题考查作图-复杂作图，解题关键在于利用等腰三角形的性质和矩形的性质.

18．

（1）﹣a6b2；

（2）-15

【解析】

【分析】

（1）原式先计算乘方运算，再计算单项式乘以多项式法则计算即可得到结果；

（2）原式利用单项式乘以单项式法则计算，去括号合并即可得到结果；

【详解】

解：

（1）5a2b•（﹣2a4b）+（﹣3a3b）2

＝﹣10a6b2+9a6b2，

＝﹣a6b2；

（2）（x+3）（x﹣5）﹣x（x﹣2）．

＝x2﹣2x﹣15﹣x2+2x，

＝﹣15．

【点睛】

此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.

19．详见解析

【分析】

欲证明AD=BC，只要证明△ADF≌△CBE即可；

【详解】

证明：

∵AE＝CF，

∴AF＝CE，

∵DF∥BE，

∴∠DFA＝∠BEC，

在△ADF和△CBE中，

∴△ADF≌△CBE（AAS），

∴AD＝BC．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．

20．

（1）详见解析；

（2）（1，4）；（3）详见解析.

【分析】

（1）直接利用轴对称图形的性质得出坐标轴的位置；

（2）利用已知坐标系即可得出点A1的坐标；

（3）利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理得出答案．

【详解】

解：

（1）如图所示：

（2）如图所示：

点A1的坐标为：

（1，4）；

（3）如图所示：

点P即为所求，

∵PA1＝

，

PB1＝

，

∴PA1＝PB1．

【点睛】

此题考查作图-轴对称变换，解题关键在于掌握作图法则.

21．

（1）证明见解析

（2）20°

【分析】

由三角形内角和定理可得∠DBA=100°，由BC是∠DBA的角平分线可得∠ABC=50°，即可证明∠ABC=∠D，通过AAS可证明△ABC≌△EDC，即可得AB=DE；

（2）由∠DBC=50°，∠E=30°，根据三角形外角性质即可求出∠BCE的度数.

【详解】

（1）∵∠A=30°，∠D=50°，

∴∠DBA=180°-30°-50°=100°，

∵BC是∠DBA的角平分线，

∴∠DBC=∠ABC=50°，

∴∠ABC=∠D，

∵BC=CD，∠A=∠E，∠ABC=∠D，

∴△ABC≌△EDC（AAS），

∴AB=DE.

（2）∵∠DBC=50°，∠E=30°，

∴∠BCE=∠DBC-∠E=50°-30°=20°.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定及三角形外角性质，全等三角形的判断方法有：

AAS、SAS、SSS、ASA及HL等，熟练掌握判定定理是解题关键.

22．A、B、C类卡片各1、2、3张.

【解析】

试题分析：

由面积不变可以求出.

试题解析：

所以共需要A、B、C类卡片各1、2、3张.

考点：

整式的运算.

23．x=12

【解析】

【分析】

先根据多项式乘以多项式将方程左边展开然后化简，即可解答本题．

【详解】

解：

（x+4）（x﹣3）﹣（x﹣2）（2+x）﹣4＝0．

（x2+x﹣12）﹣（x2﹣4）﹣4＝0

去括号，得

x2+x﹣12﹣x2+4﹣4＝0

化简，得

x﹣12＝0

解得x＝12．

【点睛】

此题考查多项式乘以多项式，解一元一次方程，解题关键在于掌握运算法则.

24．

（1）是；

（2）1001，9999；（3）这个数为2864或4958.

【解析】

【分析】

（1）用定义验证x和y是否相等

（2）找最小和最大的单位数，注意千位数不能为0

（3）根据“和平数”定义，以及个数位之间的关系确定

【详解】

解：

（1）x＝3+5＝8，y＝6+2＝8

∵x＝y

∴3562是“和平数”

∴答案：

是这个

（2）最小的自然数为0，最大的单位数为9，但千位数字不能为0

∴最小的“和平数”为：

1001

最大的“和平数”为：

9999

（3）解：

设这个“和平数”为

则d＝2a，a+b＝c+d，b+c＝14

∴2c+a＝14

∴a为偶数2，4，6（舍去），8（舍去），d＝4，6，12（舍去），14（舍去），

①当a＝2，d＝4时2c+a＝14

∴c＝6

∵b+c＝14

∴b＝8

②当a＝4，d＝8时2c+a＝14

∴c＝5∵b+c＝14

∴b＝9

∴综上所述：

这个数为2864或4958

【点睛】

本题考查给出新定义后，如何用它来解题的方法．

25．

（1）

理由见解析；

（2）见解析

【解析】

试题分析：

（1）先根据轴对称的性质得出PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD，再根据三角形外角的性质求出∠APC＝60°，进而求出∠BPD＝60°，由条件可得BP＝

PD，取DP的中点E，易证△BPE为等边三角形，根据等边三角形的性质和三角形外角的性质求出∠DBE＝30°，进而求出∠DBP＝90°，根据平行线的判定即可得出结论；

（2）作ΔADP的PD边上的高为AF，又作AG⊥BD交BD的延长线于G，根据对称性得出AF＝AH，再求得∠GBA＝45°，证明△AGB≌△AHB，得出AG＝AH＝AF，根据角平分线的判定得出AD平分∠GDP，进而求得∠GDA＝75°，再根据对称性求得∠CAH＝∠DAF＝∠GAD＝15°，从而得出结论．

试题解析：

解：

（1）BD//AH．

证明：

∵点C关于直线PA的对称点为D，

∴PC＝PD，AD＝AC，∠APC＝∠APD．

又∵∠ABC＝45°，∠PAB＝15°，

∴∠APC＝∠ABC＋∠PAB＝60°，

∴∠DPB＝180°－∠DPA－∠APC＝60°．

∵BC＝3BP，∴BP＝

PC，

∴BP＝

PD；

取PD的中点E，连接BE，则PE＝PB，

∴△BPE为等边三角形，

∴BE＝PE＝DE，

∴∠DBE＝∠BDE＝

∠BEP＝30°．

∴∠DBP＝∠DBE＋∠EBP＝90°．

又∵AH⊥PC，∴∠AHC＝90°，

∴∠DBP＝∠AHC，∴DB//AH；

（2）证明：

作ΔADP的PD边上的高为AF，又作AG⊥BD交BD的延长线于G，

由对称性知，AF＝AH．

∵∠GBA＝∠GBC－∠ABC＝45°，

∴∠GBA＝∠HBA＝45°，

∴AG＝AH，

∴AG＝AF，

∴AD平分∠GDP，

∴∠GDA＝

∠GDP＝

（180°－∠BDP）＝75°．

∴∠CAH＝∠DAF＝∠GAD＝90°－∠GDA＝15°，

∵∠BAP＝15°，

∴∠BAP＝∠CAH．

点睛：

此题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质，解题的关键是恰当的做出辅助线，利用对称的性质构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题．

26．

（1）猜想：

AP=BP+PC，证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】

（1）AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；

（2）在AD外侧作等边△AB′D，由

（1）得PB′=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PC＞CB′，再证△AB′C≌△ADB，根据全等三角形的性质推出CB′=BD即可．

【详解】

（1）猜想:

AP=BP+PC,

证明:

延长BP至E,使PE=PC,连接CE,

∵∠BPC=120°

∴∠CPE=60°又PE=PC,

∴△CPE为等边三角形,

∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,

∵△ABC为等边三角形,

∴AC=BC,∠BCA=60°

∴∠ACB=∠PCE

∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

∴∠ACP=∠BCE,

∴△ACP≌△BCE（SAS）

∴AP=BE,

∵BE=BO+PE

∴AP=BP+PC

（2）证明:

在AD外侧作等边△AB’D,

则点P在三角形AB’D外,连接PB’,B’C,

∵∠APD=120°

∴由

（1）得PB’=AP+PD,

在△PB’C中,有PB’+PC’＞CB’,

∴PA+PB+PC＞CB’,

∵△AB’D、△ABC是等边三角形,

∴AC=AB,AB’=AD

∠BAD=∠CAB’

∴△AB’C≌△ADB

∴CB’=BD,

∴PA+PD+PC＞BD.

【点睛】

本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．