福建省厦门市大同中学学年八年级上学期期中数学试题.docx
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福建省厦门市大同中学学年八年级上学期期中数学试题
福建省厦门市大同中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.下列几何图形中不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列计算正确的是( )
A.2x+3x=5xB.2x•3x=6xC.(x3)2=5D.x3﹣x2=x
3.现有长度分别是30cm和25cm的两根木棒,如果不改变木棒的长度,要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架,那么在下列长度的木棒中不能选取的是( )
A.10cm的木棒B.30cm的木棒C.50cm的木棒D.70cm的木棒
4.下列命题为假命题的是( )
A.全等三角形对应边相等,对应角相等
B.角平分线上的点到角两边距离相等
C.到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D.等腰三角形一边上的中线、高线和所对角的角平分线互相重合
5.如图,点P是∠BAC的平分线上一点,PB⊥AB于B,且PB=5cm,AC=12,则△APC的面积是()
A.30cm2B.40cm2C.50cm2D.60cm2
6.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是()
A.2B.3C.6D.不能确定
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径画弧,交AC于点D,连接BD,则∠DBC等于( )
A.75°B.60°C.45°D.30°
8.已知2a+5b﹣4=0,则4a×32b=( )
A.8B.16C.32D.64
9.如图,把△ABC纸片的∠A沿DE折叠,点A落在四边形CBDE外,则∠1、∠2与∠A的关系是( )
A.∠1﹣∠A=2∠2B.∠2+∠1=2∠AC.∠1﹣∠2=2∠AD.2∠2+2∠A=∠1
10.如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为()
A.130°B.120°C.110°D.100°
二、填空题
11.
(1)(﹣a3)2+a6=_____.
(2)2a5b•(﹣ab)3=_____.
(3)
=_____.
(4)(﹣a)3(﹣a)4=_____.
(5)(x+2)(x﹣3)=_____.
(6)(2×103)×(5×104)=_____.(用科学记数法表示)
12.六边形的外角和等于°.
13.已知3x•(xn+5)=3xn+1﹣8,那么x=_____.
14.计算:
=_____.
15.点P关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣5,2),则点P的坐标是_____.
16.如图,A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点,若△ABC的面积是1,那么△A1B1C1的面积为____.
三、解答题
17.如图,长方形ABCD中AD=10,AB=4,点Q是BC的中点,点P在AD边上运动,△BPQ是等腰三角形时,用尺规在AD上标出所有的P点,并用P1、P2等表示出来,要保留作图痕迹.
18.计算:
(1)5a2b•(﹣2a4b)+(﹣3a3b)2;
(2)(x+3)(x﹣5)﹣x(x﹣2).
19.如图,已知点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,DF∥BE,∠B=∠D,求证:
AD=BC.
20.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,线段AB与A1B1的端点都在格点上.
(1)在图中建立适当的直角坐标系,使点B和B1都在x轴上,且线段AB和A1B1关于y轴成轴对称;
(2)写出点A1的坐标;
(3)若y轴上有一点P,满足PA=PB.用直尺作出点P,保留作图痕迹,并证明PA1=PB1.
21.如图,已知BC是△ABD的角平分线,BC=DC,∠A=∠E=30°,∠D=50°.
(1)写出AB=DE的理由;
(2)求∠BCE的度数.
22.如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各有若干张,如果要拼成一个长为a+2b,宽为a+b的大长方形,则需要A、B、C类卡片各多少张?
23.解方程:
(x+4)(x﹣3)﹣(x﹣2)(2+x)﹣4=0.
24.一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x,十位上和个位上的数字之和为y,如果x=y,那么称这个四位数为“和平数”.
例如:
2635,x=2+6,y=3+5,因为x=y,所以2635是“和平数”.
(1)请判断:
3562 (填“是”或“不是”)“和平数”.
(2)直接写出:
最小的“和平数”是 ,最大的“和平数”是 ;
(3)如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍,且百位上的数字与十位上的数字之和是14,求满足条件的所有“和平数”.
25.如图,在
中,
,点
为边
上一点,
,且
点
关于直线
的对称点为
,连接
,又
的
边上的高为
.
(1)判断直线
是否平行?
并说明理由;
(2)证明:
.
26.
已知:
等边三角形ABC
(1)如图1,P为等边△ABC外一点,且∠BPC=120°.试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)如图2,P为等边△ABC内一点,且∠APD=120°.求证:
PA+PD+PC>BD
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴;依次进行判断即可.
【详解】
解:
A、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B、是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C、不是轴对称图形,故本选项符合题意;
D、是轴对称图形,故本选项不符合题意.
故选:
C.
【点睛】
此题考查轴对称图形的辨识,解题关键在于对图形的识别.
2.A
【解析】
【分析】
依据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则进行判断即可.
【详解】
A、2x+3x=5x,故A正确;
B、2x•3x=6x2,故B错误;
C、(x3)2=x6,故C错误;
D、x3与x2不是同类项,不能合并,故D错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查的是整式的运算,熟练掌握相关法则是解题的关键.
3.D
【分析】
设第三根木棒的长为l,再根据三角形的三边关系得出l取值范围即可.
【详解】
解:
设第三根木棒的长为l,
则30cm﹣25cm<l<30cm+25cm,即5cm<l<55cm.
故选:
D.
【点睛】
此题考查三角形三边关系,解题关键在于掌握列出不等式.
4.D
【解析】
【分析】
分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
【详解】
解:
A、全等三角形对应边相等,对应角相等,真命题,正确;
B、角平分线上的点到角两边距离相等,真命题,正确;
C、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,此选项正确;
D、应该是:
等腰三角形底边上的中线、高线与顶角的角平分线互相重合,故此选项错误;
故选D.
【点睛】
此题考查命题与定理,解题关键在于掌握各性质定义.
5.A
【分析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等,得点P到AC的距离等于5,代入面积公式从而求得△APC的面积.
【详解】
过P作PD⊥AC于D,
∵点P是∠BAC的平分线上一点,PB⊥AB于B,
∴PD=PB=5cm,
∴S△APC=
AC⋅PD=
×12×5=30cm2,
故选A.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理,根据题意构造角平分线性质定理的基本图形是关键,难度适中.
6.A
【解析】
试题分析:
根据三角形的中线得出AD=CD,根据三角形的周长求出即可.
解:
∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD,
∴△ABD和△BCD的周长的差是:
(AB+BD+AD)﹣(BC+BD+CD)=AB﹣BC=5﹣3=2.
故选A.
考点:
三角形的角平分线、中线和高.
7.D
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠C=∠BDC,再用三角形的外角的性质计算即可.
【详解】
解:
∵从作图可知:
BD=BC,
∴∠C=∠BDC,
∵在△ABC中,∠A=30°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=
(180°﹣∠A)=75°,
∴∠BDC=∠C=75°,
∴∠DBC=180°﹣∠C﹣∠BDC=30°,
故选:
D.
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质,解题关键在于掌握其性质.
8.B
【分析】
先根据2a+5b-4=0,可求2a+5b=4,再利用(am)n=amn对4a×32b=变形,然后再把2a+5b的值整体代入计算即可.
【详解】
解:
∵2a+5b﹣4=0,
∴2a+5b=4,
则4a×32b=22a×25b=22a+5b=24=16.
故选B.
【点睛】
此题考查幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法,解题关键在于掌握运算法则.
9.C
【解析】
【分析】
先根据图形翻折变换的性质得出∠A=∠A′,再根据三角形外角的性质进行解答即可.
【详解】
解:
∵△A′ED是△AED翻折变换而成,
∴∠A=∠A′,
∵∠AFD是△A′EF的外角,
∴∠AFD=∠A′+∠2,
∵∠1是△ADF的外角,
∴∠1=∠A+∠AFD,即∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A′+∠2,
∴∠1﹣∠2=2∠A,
故选C.
【点睛】
此题考查三角形的折叠问题,三角形的外角,三角形内角和定理,解题关键在于掌握其定义.
10.B
【解析】
根据要使△AMN的周长最小,即利用点的对称,让三角形的三边在同一直线上,作出A关于BC和ED的对称点A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案:
如图,作A关于BC和ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,
则A′A″即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.
∵∠BAD=120°,∴∠HAA′=60°.
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°.
∵∠MA′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″,
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN,
∠NAD+∠A″=∠ANM,
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.
故选B.
11.2a6,﹣2a8b4,
﹣a7x2﹣x﹣6,108
【分析】
根据单项式乘单项式、完全平方公式、同底数幂的除法,积的乘方与幂的乘方,合并同类项逐一计算即可
【详解】
解:
(1)(﹣a3)2+a6=a6+a6=2a6;
(2)2a5b•(﹣ab)3=2a5b•(﹣a3b3)=﹣2a8b4;
(3)
=
;
(4)(﹣a)3(﹣a)4=﹣a3b4=﹣a7;
(5)(x+2)(x﹣3)=x2﹣x﹣6;
(6)(2×103)×(5×104)=108.
故答案为:
(1)2a6,
(2)﹣2a8b4,(3)
,(4)﹣a7,(5)x2﹣x﹣6,(6)108.
【点睛】
此题考查单项式乘单项式、同底数幂的乘法,积的乘方与幂的乘方,合并同类项,解题关键在于掌握运算法则.
12.360.
【分析】
根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案.
【详解】
六边形的外角和等于360度.
故答案为360.
13.
【分析】
先把等式左边的单项式多项式相乘,再与右边的多项式相比较即可得出x的值.
【详解】
解:
∵3x•(xn+5)=3xn+1+15x,
∴15x=﹣8,
解得x=
.
故答案为:
.
【点睛】
此题考查单项式乘多项式,解题关键在于掌握运算法则.
14.
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解.
【详解】
解:
.
故答案为:
【点睛】
此题考查幂的乘方与积的乘方,解题关键在于掌握运算法则.
15.(5,2)
【分析】
根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”解答.
【详解】
解:
点P关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣5,2),则点P的坐标是(5,2),
故答案为:
(5,2).
【点睛】
此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标,解题关键在于掌握其定义.
16.7
【分析】
连接AB1,BC1,CA1,根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1,△A1AB1的面积,从而求出△A1BB1的面积,同理可求△B1CC1的面积,△A1AC1的面积,然后相加即可得解.
【详解】
如下图,连接A1C,B1A,C1B,,因B是线段B1C的中点,所以B1B=BC.
△A1B1A和△AB1B等底同高,根据等底同高的两个三角形面积相等可得S△B1AB=S△ABC=1;同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1;所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2;同理可得S△C1CB1=2,S△C1AA1=2.
S△A1B1C1=S△A1BB1+S△C1CB1+S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.
【点睛】
本题考查了三角形的面积,主要利用了等底等高的三角形的面积相等,作辅助线把三角形进行分割是解题的关键.
17.详见解析
【分析】
利用尺规作图,结合等腰三角形的性质和矩形的性质进行作图即可解答.
【详解】
解:
如图,P1,P2,P3,P4即为所求.
【点睛】
此题考查作图-复杂作图,解题关键在于利用等腰三角形的性质和矩形的性质.
18.
(1)﹣a6b2;
(2)-15
【解析】
【分析】
(1)原式先计算乘方运算,再计算单项式乘以多项式法则计算即可得到结果;
(2)原式利用单项式乘以单项式法则计算,去括号合并即可得到结果;
【详解】
解:
(1)5a2b•(﹣2a4b)+(﹣3a3b)2
=﹣10a6b2+9a6b2,
=﹣a6b2;
(2)(x+3)(x﹣5)﹣x(x﹣2).
=x2﹣2x﹣15﹣x2+2x,
=﹣15.
【点睛】
此题考查整式的混合运算,解题关键在于掌握运算法则.
19.详见解析
【分析】
欲证明AD=BC,只要证明△ADF≌△CBE即可;
【详解】
证明:
∵AE=CF,
∴AF=CE,
∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC,
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(AAS),
∴AD=BC.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.
20.
(1)详见解析;
(2)(1,4);(3)详见解析.
【分析】
(1)直接利用轴对称图形的性质得出坐标轴的位置;
(2)利用已知坐标系即可得出点A1的坐标;
(3)利用线段垂直平分线的性质结合勾股定理得出答案.
【详解】
解:
(1)如图所示:
(2)如图所示:
点A1的坐标为:
(1,4);
(3)如图所示:
点P即为所求,
∵PA1=
,
PB1=
,
∴PA1=PB1.
【点睛】
此题考查作图-轴对称变换,解题关键在于掌握作图法则.
21.
(1)证明见解析
(2)20°
【分析】
由三角形内角和定理可得∠DBA=100°,由BC是∠DBA的角平分线可得∠ABC=50°,即可证明∠ABC=∠D,通过AAS可证明△ABC≌△EDC,即可得AB=DE;
(2)由∠DBC=50°,∠E=30°,根据三角形外角性质即可求出∠BCE的度数.
【详解】
(1)∵∠A=30°,∠D=50°,
∴∠DBA=180°-30°-50°=100°,
∵BC是∠DBA的角平分线,
∴∠DBC=∠ABC=50°,
∴∠ABC=∠D,
∵BC=CD,∠A=∠E,∠ABC=∠D,
∴△ABC≌△EDC(AAS),
∴AB=DE.
(2)∵∠DBC=50°,∠E=30°,
∴∠BCE=∠DBC-∠E=50°-30°=20°.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及三角形外角性质,全等三角形的判断方法有:
AAS、SAS、SSS、ASA及HL等,熟练掌握判定定理是解题关键.
22.A、B、C类卡片各1、2、3张.
【解析】
试题分析:
由面积不变可以求出.
试题解析:
所以共需要A、B、C类卡片各1、2、3张.
考点:
整式的运算.
23.x=12
【解析】
【分析】
先根据多项式乘以多项式将方程左边展开然后化简,即可解答本题.
【详解】
解:
(x+4)(x﹣3)﹣(x﹣2)(2+x)﹣4=0.
(x2+x﹣12)﹣(x2﹣4)﹣4=0
去括号,得
x2+x﹣12﹣x2+4﹣4=0
化简,得
x﹣12=0
解得x=12.
【点睛】
此题考查多项式乘以多项式,解一元一次方程,解题关键在于掌握运算法则.
24.
(1)是;
(2)1001,9999;(3)这个数为2864或4958.
【解析】
【分析】
(1)用定义验证x和y是否相等
(2)找最小和最大的单位数,注意千位数不能为0
(3)根据“和平数”定义,以及个数位之间的关系确定
【详解】
解:
(1)x=3+5=8,y=6+2=8
∵x=y
∴3562是“和平数”
∴答案:
是这个
(2)最小的自然数为0,最大的单位数为9,但千位数字不能为0
∴最小的“和平数”为:
1001
最大的“和平数”为:
9999
(3)解:
设这个“和平数”为
则d=2a,a+b=c+d,b+c=14
∴2c+a=14
∴a为偶数2,4,6(舍去),8(舍去),d=4,6,12(舍去),14(舍去),
①当a=2,d=4时2c+a=14
∴c=6
∵b+c=14
∴b=8
②当a=4,d=8时2c+a=14
∴c=5∵b+c=14
∴b=9
∴综上所述:
这个数为2864或4958
【点睛】
本题考查给出新定义后,如何用它来解题的方法.
25.
(1)
理由见解析;
(2)见解析
【解析】
试题分析:
(1)先根据轴对称的性质得出PC=PD,AD=AC,∠APC=∠APD,再根据三角形外角的性质求出∠APC=60°,进而求出∠BPD=60°,由条件可得BP=
PD,取DP的中点E,易证△BPE为等边三角形,根据等边三角形的性质和三角形外角的性质求出∠DBE=30°,进而求出∠DBP=90°,根据平行线的判定即可得出结论;
(2)作ΔADP的PD边上的高为AF,又作AG⊥BD交BD的延长线于G,根据对称性得出AF=AH,再求得∠GBA=45°,证明△AGB≌△AHB,得出AG=AH=AF,根据角平分线的判定得出AD平分∠GDP,进而求得∠GDA=75°,再根据对称性求得∠CAH=∠DAF=∠GAD=15°,从而得出结论.
试题解析:
解:
(1)BD//AH.
证明:
∵点C关于直线PA的对称点为D,
∴PC=PD,AD=AC,∠APC=∠APD.
又∵∠ABC=45°,∠PAB=15°,
∴∠APC=∠ABC+∠PAB=60°,
∴∠DPB=180°-∠DPA-∠APC=60°.
∵BC=3BP,∴BP=
PC,
∴BP=
PD;
取PD的中点E,连接BE,则PE=PB,
∴△BPE为等边三角形,
∴BE=PE=DE,
∴∠DBE=∠BDE=
∠BEP=30°.
∴∠DBP=∠DBE+∠EBP=90°.
又∵AH⊥PC,∴∠AHC=90°,
∴∠DBP=∠AHC,∴DB//AH;
(2)证明:
作ΔADP的PD边上的高为AF,又作AG⊥BD交BD的延长线于G,
由对称性知,AF=AH.
∵∠GBA=∠GBC-∠ABC=45°,
∴∠GBA=∠HBA=45°,
∴AG=AH,
∴AG=AF,
∴AD平分∠GDP,
∴∠GDA=
∠GDP=
(180°-∠BDP)=75°.
∴∠CAH=∠DAF=∠GAD=90°-∠GDA=15°,
∵∠BAP=15°,
∴∠BAP=∠CAH.
点睛:
此题分别考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质,解题的关键是恰当的做出辅助线,利用对称的性质构造全等三角形,然后利用全等三角形的性质即可解决问题.
26.
(1)猜想:
AP=BP+PC,证明见解析;
(2)证明见解析.
【分析】
(1)AP=BP+PC,理由是延长BP至E,使PE=PC,连接CE,由∠BPC=120°,推出等边△CPE,得到CP=PE=CE,∠PCE=60°,根据已知等边△ABC,推出AC=BC,∠ACP=∠BCE,根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE,得出AP=BE即可求出结论;
(2)在AD外侧作等边△AB′D,由
(1)得PB′=AP+PD,根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PC>CB′,再证△AB′C≌△ADB,根据全等三角形的性质推出CB′=BD即可.
【详解】
(1)猜想:
AP=BP+PC,
证明:
延长BP至E,使PE=PC,连接CE,
∵∠BPC=120°
∴∠CPE=60°又PE=PC,
∴△CPE为等边三角形,
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,∠BCA=60°
∴∠ACB=∠PCE
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP
∴∠ACP=∠BCE,
∴△ACP≌△BCE(SAS)
∴AP=BE,
∵BE=BO+PE
∴AP=BP+PC
(2)证明:
在AD外侧作等边△AB’D,
则点P在三角形AB’D外,连接PB’,B’C,
∵∠APD=120°
∴由
(1)得PB’=AP+PD,
在△PB’C中,有PB’+PC’>CB’,
∴PA+PB+PC>CB’,
∵△AB’D、△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,AB’=AD
∠BAD=∠CAB’
∴△AB’C≌△ADB
∴CB’=BD,
∴PA+PD+PC>BD.
【点睛】
本题主要考查对等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,三角形的三边关系,等式的性质等知识点的理解和掌握,此题是一个拔高的题目,有一定的难度.