小学数学教研之命题.docx
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小学数学教研之命题
小学数学命题策略
高峰龄
众所周知,考试是一把尺子,担负着检验、评价或选拔的任务,具有严肃性和导向性。
考试对于学校和教师来说,是检验教学效果和调整改进教学的依据之一;对于学生来说,不仅是接受评价或选拔的过程,也是一个自我检验学习效果和再学习再实践的重要过程。
考试能否成功,很大程度上取决于考试命题质量的高低,因此,考试命题是一件十分严肃认真的事情。
对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度。
学业测验一般由四个程序组成：
一是编制试卷；二是测验被试；三是分析结果；四是得出结论。
一、试卷的编制应有相应的要求、原则、步骤。
（一）命题要求
1、目的明确
（1）明确试卷是用来测量什么的。
是测量智力发展水平，还是测量儿童的学业成绩，或是测量儿童的情绪、兴趣、态度、需要等。
（2）明确要测量的是哪些对象。
年龄、生活环境、自身特性等。
（3）明确为什么要作这次测试。
是选拔还是反馈信息以改进教学。
2、题意浅显。
（1）文字要浅近。
用来表达题意的语言不要有阅读难度。
（2）指导语要完整。
（3）举例要典型。
3、防止连环。
试卷中不要出现相互提示或依赖的题。
如后一题的答案在前面已有提示。
4、切合实际。
（1）符合学生水平。
（2）贴近学生生活。
（3）控制题目总量。
（二）命题原则。
试题编制原则是指每一道试题的编写应遵循的基本法则。
小学数学试题的编写通常遵循下面的原则。
1、科学性原则。
科学性原则是指试题中不能有错误的内容。
（特别是口语化的表达与书面语的表述，如速度是多少千米，应为速度为每小时行多少千米；再如角的大小与边的长短无关，应为角的大小与所画边的长短无关，等等）
2、一致性原则。
一致性原则是指小学数学试题的解答结果要与以后数学知识相统一。
（如最小的偶数，小学里是0，以后的知识中找不到；）
3、逻辑性原则。
逻辑性原则是指试题必须表述明确，无歧义或矛盾。
（如）0既不是质数,也不是合数;同时既不是正数,也不是负数。
（）命题者设计此题的意图,显然是为了考查学生对“质数与合数”、“正数与负数”的数学概念的理解和掌握情况。
然而,整个考题违反了形式逻辑的基本规律——同一律,混淆和偷换了概念。
“0既不是质数,也不是合数”中所指的“数”,与“0既不是正数,也不是负数”中所指的“数”,不是同一概念。
前者指的是非零自然数,而后者指的是所有自然数。
况且,“0既不是质数,也不是合数”的说法也不科学。
因为我们都知道,无论什么版的教科书,在编写关于“质数与合数”的内容时,都特别强调:
为了方便,在研究因数和倍数的时候,我们所说的数一般指不是零的自然数。
也就是说0不在研究质数与合数的范围之内。
判断“0既不是质数,也不是合数”的说法是否正确,依据的不是质数与合数的概念,而是0是否在研究范围之内。
如果要考查学生对质数与合数概念的掌握情况,那么试题不应该涉及0。
考题不仅是不科学的,而且是没有价值的,对学生的正常思维也是一种干扰和扭曲。
因此,考试命题时,我们应该自觉遵守形式逻辑的基本规律,谨慎对待,使考题既科学而又不失逻辑性,为学生创设一个再学习再巩固的良好思维环境。
命题时一方面要考查学生知识、技能的掌握程度，更重要的是要考查学生对知识的理解情况。
只有理解了的知识，运用才能自如。
对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其中所蕴含的数学本质的理解，考查学生能否在具体情境中合理应用。
因此，在设计试题时，应淡化特殊的解题技巧，不出偏题怪题。
“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”目标的载体。
数学的知识与技能应是理解基础上掌握，体会数学知识之间的关联。
（三）命题步骤。
1、定目标。
这次考试有什么用，应考对象是哪些人。
2、列要点。
找全知识点，将要点列出来。
通常是把新授的，经过一定训练的知识点作为测试要点。
3、分轻重。
在列出的知识要点中，分出哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是重要的。
4、划比例。
划出每一个知识要点所占的分数比例。
5、制图表。
绘制双向细目表（试题分数分配表）。
双向细目表按知识点进行纵向设计，按能力水平进行横向设计。
这样能提高试卷的精确度，控制它的自由度。
在横向设计时必须使能力水平的要求从左到右逐步提高，后一栏目的要求包含着前一栏目的要求。
知识点
识记
理解
简单应用
综合应用
灵活应用
小计
难度系数估计
A
3
4
7
B
2
2
10
14
C
3
4
10
17
D
2
3
5
10
E
1
2
15
18
F
2
2
15
19
G
2
3
10
15
小计
15
20
30
20
15
100
明确了个知识点的比重，再由知识点的考查形式确定题型和数量。
6、选题型。
试题分客观题和主观题。
对某份试卷来说，要做到客观型与主观型两种题型相结合。
选择与确定题型时，应考虑图文并茂，形式多样（文字、图、表）等。
7、出题目。
及按试题分数分配表、命题的要求和不同题型的命题要领来命题。
编拟过程是深入研究教材的过程，是回忆教学和分析学生思路的过程。
8、编试卷。
要根据测验的目的和性质，并考虑被试的作答心理，还要考虑试题格式的类型和试题的难度（由易到难排列）。
对已编写题目对照双向项目部进行取舍，确保数量有度。
（根据考试时间确定）卷面排版宽松、合理，要充分估计答题的空白，一般比答案数量多留1—2格。
卷面准确使用标点、格式及字体。
数学试卷的排版。
要注意：
每道试题都应有一个合理、大方的解答区域；每一种类型的试题的编号应保持连续；一道试题不要排在不同的版面上，以免学生遗漏或造成阅读困难。
9、定标准。
要定出每一题的标准答案和评分标准。
二、试题类型及编制。
1、填空题的编制。
填空题适应范围广，对于检测简单的学习结果（如具体的数学知识、数学概念、数学规律）、数字或符号表示的数学技能效果较好。
填空题的编制应注意：
（1）空白处填写的内容应有确定的答案，一般评判的结果非对即错。
（2）要注意避免用错误方法获取正确答案的可能性。
（3）不要直接选用教材现成的结论作为填空题的基础。
（4）如果计算题的填空，计算不宜复杂，切勿将综合题变为填空题。
例：
大圆的半径与小圆半径的比是5∶3，小圆的周长与大圆周长的比是（ ）。
例：
小明在记录学校篮球场的长、宽、周长、面积和篮球架高时，由于疏忽把数据弄乱了：
420、28、86、15、3，你认为篮球场的周长是（）米。
面积是（）平方米。
此题学生依据生活经验，估计事物的数据，解决问题，既是对基础知识的考查，同时也体现学习数学的作用，体悟情感。
例:
填空。
《标准》指出：
基本技能的教学不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。
对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知道相应的算理。
例：
如果x2=6x（x≠0），那么x=（）
此题考查的不是学生解方程的技能，主要考查学生对等式以及平方数的理解。
可以将等式两边同时除以x，得x=6；也可以根据x2的意义来解答，左边x2=x·x，右边6x=x·x，比较后得出x=6
例：
某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生，例如200903321表示“2009年入学的三班的32号同学，该同学是男生”。
那么，201204302表示。
此题运用编码对事物进行描述，考查学生获取信息的能力，同时将观察发现运用于实际操作中。
例：
甲杯里有水450克，乙杯里有水356克，现将50克盐放入甲杯，44克盐放入乙杯，这时（）杯盐水咸一些。
此题考查的是学生百分率的理解情况，题中没有直接告知要求百分率，而是让学生根据实际情况自觉运用知识解决问题。
解决这样的问题要基于学生对百分数产生过程的理解，因而能对课堂教学起到一定的导向作用。
例：
一个长5厘米、宽3厘米的长方形，沿对角线对折后，得到如右图的几何图形，图中阴影部分的周长是（）厘米。
此题学生可以借助实际操作发现阴影部分的周长与长方形周长之间的关系，在解答过程中，培养、考查学生主动运用操作技能，建构事物间的联系的能力。
2、判断题的编制。
判断题常用来考查学生对数学概念、性质等理解与辨析能力、对数学观点和事实的区别能力、数学因果关系的认识能力、简单的逻辑思维能力。
其最大优点是简洁，学生可以在较短时间内完成较多的题目。
判断题的编制应注意：
⑴判断题要检测的内容，应是数学中的重要概念、性质或其它规律性的知识，而不应是无关紧要的或不证自明的内容。
⑵判断题的命题，语言要严密，要能引发学生慎重思考。
既要有明确性，又要有一定的干扰性。
即每个命题的正误界限须十分明确，不能模棱两可，又要讲究表述的技巧，不宜用数学课本上现成的结论作命题，或只加一个否定词形成错误表述，应将命题重新组织或表述，使命题看上去好象似是而非，使学生能够真正的思考。
⑶平衡答案种类。
要尽量保证正确答案为“正”、“误”选项的两类题目数量相当。
但不是说其比例各占一半，要避免出现答案全部是“正”、“误”的情况出现。
⑷避免考查两个概念。
如果判断题的陈述中有两个概念，一个正确，一个错误，学生回答起来就会非常困难。
就算这两个概念都正确或者都错误，学生就会感到迷惑，教师也就很难从学生的答题情况来推断他们的真实水平。
⑸尽量不用否定式语句，更不允许用双重否定句去故意制造难点。
判断题最大的缺点是机遇性大，因为判断题只有正确和错误两个结果，所以即使学生对正确答案一无所知，光凭猜测每题答对概率可达50%。
为防止这一弊端，可采用判断题的改进形式，既要求学生判断正误，又要求学生对错误的部分加以改正，写出正确结论。
例：
圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形。
如果a×b=10（a，b都不等于0），那么10是a和b的公倍数。
3、选择题的编制。
选择题适用于考察学生对概念细致差别的辨别能力、判断力、推理能力以及运用原理解决问题的能力，有时也可以用来考查学生多数学原理和规律的鉴别能力、对数学因果关系的解释能力。
选择题编制费时并需要有一定的技巧，要求较高。
选择题的编制应注意：
（1）题干应该由一个独立的问题组成。
题干应该将任务明确地呈现给学生，以便学生能按照题目要求选择出正确选项。
因此，一般要把尽可能多的内容放在题干中，而备选项的表述要尽可能简洁。
（2）题干的编制应尽量避免使用否定词。
必须使用时，也应使否定词醒目而引起学生的注意。
可以在否定词的下面划线、加着重号或用黑体字表示否定词。
（3）备选项应具有似真性。
每个备选项都是编制者所设置的一个陷阱，能反映学生知识中存在的某种缺陷，不能随意写上一个数或结论。
（4）备选项中，正确选项的位置要有随机性，各个位置的分配次数应大致相等。
如果有4个备选项的话，那么四个位置出现正确答案的概率应接近25%。
备选答案如用数表示，除特殊情况外，则应遵循由小到大或由大到小的顺序排列。
⑸备选项的叙述长度应大致相当。
教师在编写选项的时候，要尽量保证所有备选项的叙述长度相等，如果实在难以做到，也要尽量让至少两个备选项的长度差不多。
因为如果其中一个备选项的叙述长度有显著差别（很长或很短），学生就会明白其中包含了更多或更少的内容，教师给予了更多的关注，它和其他选相比较一定有些特殊之处，从而凭感觉做出选择。
⑹备选项忌用“以上都正确”，可适当采用“以上都不对”。
如果教师编写一个有四个备选项的选择题，其中第四个选项是“以上都正确”的话，学生只需判断出前三个备选项中有二个正确，而对剩下的选项不加考虑，就可以很肯定地选择“以上都正确”，这样就不能准确的考查学生对知识的掌握情况。
而如果第四个选项是“以上都不对”的话，学生必须判断出前三个备选项都不对，才可以作出“以上都不对”的选择，否则就会出现误判。
因此，采用“以上都不对”选项，就使得考试的任务更接近教师要考察的任务，而且学生凭猜测获得正确结果的可能性也会降低。
⑺备选项的个数，一般以3—4个为宜。
被选项个数越少，学生凭猜测获得正确结果的可能性就越大，被选项个数过多，虽然学生凭猜测获得正确答案的可能性降低了，但是又增加学生的阅读负担。
例：
小娟有a件不同的上衣、b条不同的裙子，共有（）种不同的穿衣搭配方法。
A.a×bB.a＋bC.a×（b＋1）
此题考查学生对基础知识、基本技能的理解情况，体现其对实际运用知识的能力的检测。
两题重在对知识形成过程的考查，并呈现数学模型的建构。
例：
在下图中每次框出连续的4个自然数，可以得到（）个不同的和。
3
4
5
6
7
8
9
10
……
50
A.47B.45C.44
可以看出这几个选项安排的独具匠心，真实反映学生对基础知识理解的状况和数学模型构建的过程。
例：
估一估，选一选（）。
A.60颗B.130颗C.500颗
学生估算能力的培养有赖于生活经验，习题借助已有标准，通过比较进行有依据的估算。
例：
有a个零件（a>1），王师傅独做4小时完成，李师傅独做5小时完成。
如果两人合做，几小时可以完成？
解法正确的是（）
A.a÷（4＋5）B.a÷（
＋
）C.1÷（
＋
）
此题考查学生对工程问题数量关系的理解。
教学中教师需要引导学生经历从具体到抽象的过程。
题中零件个数用字母表示，增加了试题的信度。
5、计算题的编制。
计算题，主要考察学生根据运算法则、运算定律、公式、性质、公理、定理、运用各种数学思想和数学方法合理灵活进行数与式的运算的能力。
编制时应注意：
⑴计算题必须有惟一确定的运算结果。
如果出现循环小数的结果。
必须注明要求的精确度或有效数字。
⑵四则混合运算的步数要适当，式题结构要合理。
式题的结构也不宜过于复杂，特别是知识密集、难点集中的分数、小数四则混合运算，更要注意。
⑶数据的选用切忌繁难，应注重考察学生对数学运算性质、定律及规律的理解和掌握。
⑷简便运算应当是“基本加灵活”。
所谓“基本”是指简便运算的依据是四则运算意义、运算定律、性质等基础知识，所谓“灵活”的是指题目中的可简便因素隐蔽一些，并留有一定的选择不同方法的余地。
一般情况下，需要简算的直接注明。
（5）计算的题型避免单一，要结合口算、递等式计算、解方程等内容，恰当安排估算、验算、简算等。
例：
探索规律并填空。
15×15=225，
25×25=625，
35×35=1225，
45×45=2025
55×55=（）
85×85=（）
你有什么发现？
该题设计的意图不是考查学生基本的运算技能,而是考查学生“探索给定事物中隐含的规律”的能力。
重在过程的探索，在探索过程中，学生呈现出来的是发现、概括能力不同层次的体现。
学生可以通过观察结果与乘数的关系，发现规律。
例如
15×15=225=1×2×100+25，
25×25=625=2×3×100+25，
35×35=1225=3×4×100+25，等等。
这个规律在实际运算中也是有用的。
6、解决问题的编制。
（应用题）
应用题来源于现实生活，都有一定的具体内容，是生产劳动或日常生活中某个方面的问题的一种简约表现形式。
应用题主要用来评价学生的数学知识的运用水平，逻辑思维能力，分析和解决简单的实际问题能力。
应重视对知识技能的考查，以引导学生对学习过程的关注。
应用题的编制应注意：
⑴应用题的内容，应是学生能够理解并富有教育意义的，也应是符合测量学生的知识应用水平和解决简单的实际问题能力的需要。
通常，低年级的应用题，取材以联系儿童的生活实际为宜。
随着年级的升高，学生的知识范围逐步扩大，可以适当联系社会生活和国家建设实际。
⑵应用题的数据，要切合实际。
例如，各种交通工具的速度，各种物体的比重，一般农作物的产量、商品的价格等，都不能脱离客观实际，切忌凭空臆造。
⑶应用题的条件，一般应是充分必要的。
条件少了，题目无解或不确定；条件多了，题意不够严谨，有时还会干扰学生正确解题。
但这不是绝对的，有时为了达到考察学生分析、判断应用题的条件与条件，条件与问题间关系的能力，或考察学生思维的品质，也可以适量编制条件不足或多余的开放性应用题。
⑷应用题的呈现，应明确具体。
图表型应用题的图示、表格呈现的问题要明确、易懂，线索要直观、浅显。
隐晦、暧昧，会给学生寻求解题条件、确定解题方法和思路造成不必要的障碍，影响考试效果。
应用题形式一般采用主观型的，既可以要求学生列出算式或方程再求解、作答，也可以采用填空、选择、判断、匹配等客观型变式题。
例：
一个圆锥的体积是圆柱体积的
。
如果圆柱的底面积是12平方米，高是3米，那么这个圆锥的底面积、高可能是多少？
（请你给出三个答案填在下表中）
底面积（平方米）
高（米）
此题考查学生对等底等高的圆柱、圆锥体积之间关系的理解，同时培养学生思维的辩证性，即当圆锥体积是圆柱体积的
时，它们可能等底、等高，也可能不等底不等高。
例：
要将24个棱长1分米的正方体盒子包装成一箱，为了使包装箱的表面积尽可能小，小明设计了3种方案（见下表）。
方案
长（分米）
宽（分米）
高（分米）
包装箱表面积（平方分米）
1
1
1
24
98
2
1
2
12
76
3
1
3
8
70
4
5
6
（1）请你设计3种与小明不同的方案（长、宽、高是1、1、24,1、24、1,24、1、1属同一种方案），将有关数据填在表中。
（2）观察表中长、宽、高数据的变化，想一想：
当长方体体积不变时，在什么情况下它的表面积最小？
把你的发现写下来：
（3）根据你的发现，如果要将36个盒子装成一箱,当长是（）分米、宽是（）分米、高是（）分米时，箱子的表面积最小。
该题所依据的知识基础是学生对体积概念的理解、空间观念的建立、表面积计算方法的掌握，所依托的探究经验是长方体体积计算方法的推导过程以及“长方形周长一定,长、宽的变化规律”的探究经历等。
该题几个问题的设置循序渐进，旨在利用学生的知识基础和学习经验“引导”学生实践和探究,从中发现规律，并运用规律解决相似的现实问题。
通过解答体验数学与生活的密切联系,认识到许多实际问题可以借助数学方法来解决，并可以借助数学语言来表达和交流。
例：
同学们一定对梯形面积公式的推导过程记忆犹新，你能运用这种方法求出下面物体的体积吗?
（单位:
厘米）
转化是一种重要的、常用的数学思想方法,在小学阶段学生经历得较多。
提示语是唤起学生对梯形面积公式推导过程的回忆,是一种学法指导,同时培养学生“回顾与分析解决问题过程”的意识,引导学生调动自己的探究经历,运用转化的思想解决问题。
例：
通往火车站2号厅有一条人行甬道，甬道长100米、宽1.6米，现用边长是40厘米的正方形地砖铺设，设计人员选用了白色和黑色两种地砖，按箭头方向铺下去，具体铺设方案如图。
（1）铺设这条甬道，共需地砖多少块？
其中需白色地砖多少块？
（2）如果需要的白色地砖用字母y表示，需要的黑色地砖用字母x表示，请你用一个等式表示y与x之间的关系。
此题在考察学生基础知识的同时，着意是第2问题，开放式让学生或经由第一问的启发或对图形的观察，得到黑白砖快速的关系，通过不同的途径，体验建立模型的过程。
在编拟试题时，我们还要考虑通过试题资源去熏陶学生，通过潜在的积累而获得情感、态度、价值观的体现。
例：
在下面的括号里选择合适的单位、数或词语填在横线上。
我们班的小明同学测得身高是138（）（米、分米、厘米），体重是36（）（吨、千克、克），他每天步行去上学从家到学校要走20（）（时、秒、分），他每分钟走50（）（千米、分米、米），他的家到学校有（）（100、1000）米，来回一趟要走2（）（千米、分米、米）。
如果学校8：
45上课，王成豪同学8：
30离家去上学，他（）（一定、可能、不可能）会迟到。
此题是将长度单位、质量单位、时间、可能性的知识串在了一起，便于检查学生是否理解相关知识的区别和应用。
此试题紧紧围绕学生生活实际，是学生在日常生活中经常遇到的问题，他们在解答时，会感到数学的趣味，对数学产生亲切感，同时也解除了对考试的厌恶和恐惧的心理，充分体现了《课标》精神。
例：
一个圆柱形盛水容器,从里面量底面半径4分米,深6分米。
现在再做一个圆柱形容器,要求容积是它的8倍,请你设计出两种方案,填在下表中。
底面半径（分米）
深（分米）
方案一
方案二
该题是积的变化规律在解决实际问题中的巧妙运用。
可以将底面半径扩大2倍,深扩大2倍,或底面半径扩大4倍,深缩小2倍等。
该题的精妙之处就是将这一知识点放在一定的生活情境中,通过方案设计形式加以呈现,可以让学生感受到数学知识在生活中的应用价值,体验数学活动的探索性和创造性。
7、几何图形题的编制。
几何图形题主要测量学生是否逐步形成简单的几何形体的形状、大小、相互位置的表象；能不能识别所学的几何形体，能根据几何形体的名称再现它的表象；会正确运用几何形体的有关公式计算几何图形的周长、面积、体积（容积）。
几何图形题的编制要注意：
⑴图形的数据要合理。
相关数据，不仅要便于计算，而且要符合图形的性质和相关数据之间的内在规律。
⑵图形的绘制要规范。
要避免图示不规范或比例失调而使学生发生认知错误，影响解题正确率。
⑶数据的单位应尽可能一致。
尽量不要人为给学生设置解题障碍，诱导学生产生错误。
⑷需要先测量图形的相关数据再解答的试题，有关的数据应该尽量保持确定，没有歧义。
如图形中线段的长度，角的度数要能测得定值，最好取整数的值。
例：
请将图2中A、B两个方块利用平移和旋转运动还原成图1，并记录还原步骤。
图1图2
此题通过操作理解平移和旋转，不仅能增加问题的趣味性，还可以让学生感悟几何运动也是可以记录的，在体验中感悟最佳方案的形成过程。
例：
在方格图中画出面积相等的平行四边形、三角形、梯形各一个。
此题不仅考查学生的操作能力，还考查学生对平面图形面积计算推导过程的理解，深化知识点间的相互联系，有效考查学生对相关知识点的“联通”能力。
8、开放题的编制。
数学开放题一般是指有多种不同的解法或有多种可能的解答的数学问题。
数学开放题的操作性、趣味性、益智性、主动性、综合性，对于培养学生的系统化、逻辑化思维，调动学习积极性，训练学生的解决问题技巧，开发发散思维能力作用较大。
一般有发现寻找关系型（条件探索、确定关系）、设计型（算法设计、问题设计、几何图案设计）两种。
数学开放题的编制可以有以下方法：
⑴隐去现成数学问题的条件（或结论），使其结论（或条件）多样化。
⑵在既定的条件或关系下，探讨数学问题的多种结论或结论。
⑶给出结论，寻求使结论成立的充分条件。
⑷在既定条件下，设计解决数学问题的方案。
⑸比较有关数学对象的异同点。
根据学生解答数学问题的开放程度不同以及学生知识基础和思维发展特点，低、中年级一般采用限制性开放题，高年级可适当编制扩展性开放题。
3、命题小技巧。
命题可借助课本试题进行适度改编，如四年级下册p108可在不同年级改编成不同难度的试题。
改编1：
用同样长的小棒摆正方形。
摆1个正方形用4根小棒；
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