叠加定理戴维宁定理和诺顿定理.docx
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叠加定理戴维宁定理和诺顿定理
第四章电路定理
一、教学基本要求
1、了解叠加定理的概念，适用条件，熟练应用叠加定理分析电路。
2、掌握戴维宁定理和诺顿定理的概念和应用条件，并能应用定理分析求解具体电路。
二、教学重点与难点
1.教学重点：
叠加定理、戴维宁定理和诺顿定理。
2．教学难点：
各电路定理应用的条件、电路定理应用中受控源的处理。
三、本章与其它章节的联系：
电路定理是电路理论的重要组成部分，本章介绍的叠加定理、戴维宁定理和诺顿定
理适用于所有线性电路问题的分析，对于进一步学习后续课程起着重要作用，为求解电路提供了另一类分析方法。
四、学时安排总学时：
6
教学内容
学时
1．叠加定理和替代定理
2
．戴维宁定理、诺顿定理和最大功率传输定理2
2
．特勒根定理、互易定理和习题3
2
五、教学内容．
§叠加定理
1.叠加定理的内容
叠加定理表述为：
在线性电路中，任一支路的电流（或电压）都可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流（或电压）的代数和。
2.定理的证明
图
图所示电路应用结点法：
解得结点电位：
支路电流为：
以上各式表明：
结点电压和各支路电流均为各独立电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加，即表示为：
式中a,a,a，b,b,b和c,c,c是与电路结构和电路参数有关的系数。
321112323
3.应用叠加定理要注意的问题
1）叠加定理只适用于线性电路。
这是因为线性电路中的电压和电流都与激励（独立源）呈一次函数关系。
2）当一个独立电源单独作用时，其余独立电源都等于零（理想电压源短路，理想电流源开路）。
如图所示。
=
三个电源共同作用i单独作用s1
++
u单独作用u单独作用s3s2图
因为功率为电压和电流的乘积，不是独立电源的一功率不能用叠加定理计算（3）
次函数）。
应用叠加定理求电压和电流是代数量的叠加，要特别注意各代数量的符号。
即4）
反之相减。
注意在各电源单独作用时计算的电压、电流参考方向是否一致，一致时相加，的电路，在使用叠加定理时，受控源不要单独作用，而应把受）线性5）含受控源（这是因为受控电压源的电压和受控电流源的电流控源作为一般元件始终保留在电路中，受电路的结构和各元件的参数所约束。
叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用，也可以一次使几个独6）
立源同时作用，方式的选择取决于分析问题的方便。
4.叠加定理的应用
U.求图示电路的电压例4－1
4－1图例解：
应用叠加定理求解。
首先画出分电路图如下图所示
12V当电压源作用时，应用分压原理有：
3A电流源作用时，应用分流公式得：
当则所求电压：
u。
计算图示电路的电压例4－2
2图例4－画出分电路图如下图所示解：
应用叠加定理求解。
首先
电流源作用时：
当3A
其余电源作用时：
则所求电压：
叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个本例说明：
独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
。
ui电流计算图示电路的电压34例－
图3－4例
解：
应用叠加定理求解。
首先画出分电路图如下图所示
当10V电源作用时：
解得：
当5A电源作用时，由左边回路的KVL：
解得：
所以：
注意：
受控源始终保留在分电路中。
，当时，响应，4例4－封装好的电路如图，已知下列实验数据：
当时，响应
i=求：
时，
图例4－4解：
根据叠加定理，有：
代入实验数据，得：
解得：
因此：
本例给出了研究激励和响应关系的实验方法
5.齐性原理由以上叠加定理可以得到齐性原理。
同样的倍数，则）独立源）都增大（或减小齐性原理表述为：
线性电路中，所有激励（同样的倍数。
当激励只有一个时，则响应与激）（电压或电流）也增大或减小电路中响应（励成正比。
uRRiR5求图示电路的电流=1Ω，已知：
=2Ω=51V=1Ω例4－S21L
－5图例4i'=1A。
则各支路电流如下图所示，解：
采用倒推法：
设
此时电源电压为：
，
根据齐性原理：
当电源电压为：
时，满足关系：
§替代定理1.替代定理的内容iu，那替代定理表述为：
对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为、电流为kkiu的独立电流么这条支路就可以用一个电压等于或者用一个电流等于的独立电压源，kkR=u。
）替代后电路中全部电压和电流均保持原有值（源，或用解答唯一/i的电阻来替代，kk以上表述可以用图来表示。
替代定理图
定理的证明2.这里对定理给出其中一种替代的证明。
iu串入极性相反，电压值为k设图所示电路中支路k的电压为，在支路，电流为kku的两个电压源如图所示，则根据等效的思想，图对外可以等效为图所示的电路，即电kuu的支路可以用电压为压为的理想电压源替代。
kk替代定理的正确性可作如下解释：
iu关系不变。
替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的、
u，因此其余支路电流替代后，其余支路电压保持不变k支路用理想电压源（KVL）kiki替代后，其余支路支路用理想电流源（KCL）。
同理也不变，故第k条支路也不变kkuk。
条支路（KVL）电流不变（KCL），因此其余支路电压不变，故第也不变k
图图图
应用替代定理要注意的问题3.从理论上讲，替代定理适用于线性电路，也适用于非线性电路。
1）
替代后电路必须有唯一解，即替代后不能形成电压源回路和电流源节点。
2）
替代后其余支路及参数不能改变。
3）
替代定理的应用4.R。
若要使图示电路中的电流，试求电阻例4－6x
例4－6图
解：
因为，为避免求解复杂的方程，应用替代定理，把10V电压源和3Ω电阻串联I的电流源替代，电路如图（b）支路用电流为所示。
然后应用叠加定理，分电路图如图（c）、（d）所示。
例4－6图（b）例4－6图（c）
）d图（6－4例
由图得：
因此
I求图示电路中的电流7例4－1
例4－7图（a）
解：
应用替代定理，图（a）简化为图（b）所示的电路，然后应用叠加定理得：
例4－7图（b）
§戴维宁定理和诺顿定理
1.戴维宁定理的内容
戴维宁定理表述为：
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效替代；此电压源的电压等于外电路断开时一端口网络端uR）。
以上表述可以，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻口处的开路电压eqoc用图来表示。
戴维宁定理图
2.定理的证明相A与负载网络N这里给出戴维宁定理的一般证明。
图（a）为线性有源一端口网络iiu（b）连，设负载上电流为，电压为替代，如图。
根据替代定理将负载用理想电流源所示。
图
可以分为两部分，如图所示，中各处的电压和电流。
由叠加定理u替代后不影响A作用内所有独立源共同作用时在端口产生的开路电压，是仅由电流源i即：
其中是A在端口产生的电压，即：
，
图因此上式表示的电路模型如图所示。
这就证明了戴维宁定理是正确的。
图
应用戴维宁定理要注意的问题3.外电路发生改变含源一端口网络所接的外电路可以是任意的线性或非线性电路，1）时，含源一端口网络的等效电路不变。
控制电路与受控源必须包含在被化简的同当含源一端口网络内部含有受控源时，2）一部分电路中。
u3）开路电压的计算ocu电压源方向与所戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压，ocu的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计求开路电压方向有关。
计算oc算。
4）等效电阻的计算
后，所电压源短路，电流源开路）等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零（得无源一端口网络的输入电阻。
常用下列三种方法计算：
互换的方法计算等效电Y5）当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－阻；所示。
如图6）外加电源法（加电压求电流或加电流求电压）。
图用外加电源法求戴维宁等效电阻则端口间的开路电压后，将端口短路求得短开路电压，短路电流法。
即求得网络A7）路电流，如图所示。
则：
以上方法中后两种方法更具有一般性。
戴维宁定理的应用4.RI；时的电流分别为－例410计算图示电路中xΩ、Ω
例4－10图（a）Rx解：
断开支路，如图（b）所示，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：
）c图（10－4例例4－10图（b）
U1）求开路电压oc
R）求等效电阻。
把电压源短路，电路为纯电阻电路，应用电阻串、并联公式，得：
2eq
所示，3）画出等效电路，接上待求支路如图（d）
）图（－10d例4
Rx=Ω时，当
Rx=Ω时，当
U；计算图示电路中的电压4－11例0
）4－11图（a例所示，将其余一端口网络化为戴维（b）解：
应用戴维宁定理。
断开3Ω电阻支路，如图宁等效电路：
U求开路电压1）oc
R求等效电阻2）eqIU的比值。
注意此时电路中的1方法：
外加电压源如图（c）所示，求端口电压和电流0独立电源要置零。
因为：
所以方法2：
求开路电压和短路电流的比值。
所示。
注意此时电路中的独立电源要保留。
把电路断口短路如图（d）
电路右边的网孔应用KVL，有：
对图（d）
I=0，所以
则
所示，解得：
3）画出等效电路，如图（e）
11－图（）c4b114例－图（）例
）e图（11－4例）d图（11－4例
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具注意：
体分析，以计算简便为好。
R消耗的功率。
例4－12求图示电路中负载L
a）例4－12图（R所示，将其余一端口网络化所在支路，如图解：
应用戴维宁定理。
断开电阻（b）L（c）。
为戴维宁等效电路。
首先应用电源等效变换将图（b）变为图
）－12图（b）c图（12－4例4例U求开路电压1）oc得：
由KVL
解得：
，
Req，用开路电压、短路电流法。
2）求等效电阻（d）所示，短路电流为：
端口短路，电路如图
因此：
例4－12图（d）（e）画出戴维宁等效电路，接上待求支路如图所示，则：
3）
图（e）12例4－，电压2；开关扳向S1，电流表读数为2AS扳向－例413电路如图所示，已知开关U扳向3等于多少后，电压；求开关表读数为4VS
图（a）－例413
解：
根据戴维宁定理，由已知条件得
所以所示，（b）等效电路如图
b图（）134例－则：
5.诺顿定理的内容诺顿定理表述为：
任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流
的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而（电阻）源和电导以上表述可以用）。
（电导（电阻）等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导电阻图来表示。
诺顿定理图
诺顿等效电路可采用与戴诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。
维宁定理类似的方法证明。
需要注意的是：
的等效电阻时，该网络只有戴维宁等效电路，而无诺顿A
（1）当含源一端口网络
等效电路。
的等效电阻时，该网络只有诺顿等效电路而无戴维宁等
（2）当含源一端口网络A效电路。
6.诺顿定理的应用I。
4－14应用诺顿定理求图示电路中的电流例
例4－14图（a）解：
I，把（b）求短路电流所示，解得：
ab端短路，电路如图
（1）SC
所以：
b）－14图（4例R，把独立电源置零，电路如图（c）
（2）所示。
求等效电阻eq解得：
所示，应用分流公式得：
（3）画出诺顿等效电路，接上待求支路如图（d）
注意：
诺顿等效电路中电流源的方向。
）d图（14－4例图（例4－14c）
U－415求图示电路中的电压。
例
）图（－例415a
处的短路电流比开路电压容易求。
b、a解：
本题用诺顿定理求比较方便。
因
－415图（c15例4－图（b））例I端短路，电路如图，把ab（b）
（1）求短路电流所示，解得：
SC
R所示，为简单并联电路。
，把独立电源置零，电路如图（c）
（2）求等效电阻eq
（3）画出诺顿等效电路，
接上待求支路如图（d）所示，得：
例4－15图（d）
§最大功率传输定理
．最大功率传输定理1一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不
同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题就是最大功率传输定理所要表述的。
将含源一端口电路等效成戴维宁电源模型，如图所示。
图等效电压源接负载电路R的功率为：
由图可知电源传给负载L
变化的曲线如图所示，存在一极大值点。
为了找这一极大值点，R功率P随负载LP求导，且令导数为零，即：
对解上式得：
图
等于一端口负载电阻R结论：
有源线性一端口电路传输给负载的最大功率条件是：
L电路的等效内阻。
称这一条件为最大功率匹配条件。
将这一条件代入功率表达式中，得负载获取的最大功率为：
需要注意的是：
）最大功率传输定理用于一端口电路给定，负载电阻可调的情况：
1）一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率，因此当负载获2
；,电路的传输效率并不一定是50%取最大功率时计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便。
3）
．最大功率传输定理的应用2R为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。
例4－16图示电路中负载电阻L
a）－例416图（R所示，将一端口网络化为戴（b）所在支路，如图解：
应用戴维宁定理。
断开电阻L维宁等效电路。
例4－16图（b）例4－16图（c）
Uoc1）求开路电压因为：
解得：
R，用外加电源法。
求等效电阻2）eq电路如图（c）所示。
因为：
所以：
3）由最大功率传输定理得：
时，其上获取最大功率，
且
§特勒根定理
1.特勒根定理1
nb条支路的集总电路，1表述为：
任何时刻，对于一个具有个结点和特勒根定理在支路电流和电压取关联参考方向下，满足：
2.特勒根定理1的证明
对图所示电路的图应用KCL，得结点①，②，③的电流方程为：
而
图
把上式中的支路电压用结点电压表示有：
或写为：
式中括号内的电流之和分别为结点①，②，③的电流方程，因此得：
3．特勒根定理2
nb条支路的集总电路，2表述为：
任何时刻，对于两个具有个结点和特勒根定理当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足：
4.特勒根定理2的证明
）a）图（b图（
得三个结点方程为：
设两个电路的图如图所示，对图（b）应用KCL
而的结点电压表示有：
把上式中的支路电压用图（a）
或写为：
式中括号内的电流之和分别为图（b）中结点①，②，③的电流方程，因此得：
同理可证：
5．应用特勒根定理要注意的问题定理的正确性与元件的特征全然无关，因此特勒根定理对任何线性、非线性、时1）不变、时变元件的集总电路都适用。
定理实质上是功率守恒的数学表达。
，支路电压和支路电电路中的支路电压必须满足KVL，支路电流必须满足KCL2）流必须满足关联参考方向（否则公式中加负号）。
．特勒根定理的应用64－17图示电路中已知：
例UIRRU=2A,=2Ω,=2Vs=8V时,）（1，=2211IURR=3A,时=Ω,,=Ω,=9V2（）112sU。
求此时的2
例4－17
解：
把
（1）、
（2）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理有：
得：
由
（1）
UIUIUR=1A==4V,/=2A,=2V,222211由
（2）得：
代入公式中得：
解得：
UI1和注意：
端口电压和电流取关联参考方向。
式中由于为非关联方向所以取负1
号。
§互易定理
1.互易定理
互易定理表述为：
对一个仅含电阻的二端口电路N，其中一个端口加激励源，一个R端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
互易定理有三种情况：
1）情况1对图所示电路取激励为电压源，响应为短路电流，则满足：
当时，有:
图
2）情况2对图所示电路取激励为电流源，响应为开路电压，则满足：
当时，有:
图
3）情况3对图所示电路取图（a）激励为电流源，响应为短路电流，取图（b）激励为电压源，响应为开路电压，则满足：
当在数值上满足时，有:
图互易定理的证明2.
为例证明互易定理。
以情况1
和：
应用特勒根定理2
考虑到图示电路方框内仅为线性电阻，故
，4,……b。
k=3
因此有：
和
故有：
，对图（a）
，对图（b），
代入上式得：
3。
同理可以证明情况2和情况
．应用互易定理要注意的问题3互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；1）
；2）互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联）
互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。
3）
含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
4）
．互易定理的应用4I。
19求图示电路中的电流4例－
例4－19图（a）
解：
应用互易定理，把激励和响应互换得电路图如图（b）所示。
例4－19图（b）
因此：
应用分流公式得：
所以：
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