第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题.docx
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第2讲初一相交线与平行线动点提高题压轴题
第2讲相交线与平行线动点提高题
知识点:
1、平行线的判定:
①同位角相等,两直线平行。
②内错角相等,两直线平行。
③同旁内角互补,两直线平行。
2、推论:
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。
3、平行线的性质:
①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补。
4、平移:
①平移前后的两个图形形状大小不变,位置改变。
②对应点的线段平行且相等。
平移:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移平移变换,简称平移。
对应点:
平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。
动点型问题是最近几年中考的一个热点题型,
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:
动中求静.在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
典型例题
例1.
(1)如图
(1),EF⊥GF,垂足为F,∠AEF=150°,∠DGF=60°. 试判断AB和CD的位置关系,并说明理由.
(2)如图
(2),AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=147°,∠C=______.(直接给出答案)
(3)如图(3),CD∥BE,则∠2+∠3-∠1=______.(直接给出答案)
(4)如图(4),AB∥CD,∠ABE=∠DCF,求证:
BE∥CF.
解
(1):
AB∥CD.
理由:
如答图,过点F作FH∥AB,则∠AEF+∠EFH=180°.
∵∠AEF=150°,
∴∠EFH=30°,
又∵EF⊥GF,
∴∠HFG=90°-30°=60°.
又∵∠DGF=60°,
∴∠HFG=∠DGF,
∴HF∥CD,
则AB∥CD;
(2)延长ED交BC于点F.
∵AB∥DE,
∴∠BFE=∠ABC=70°,则∠CFE=180°-∠BFD=110°,
∴∠C=∠CDE-∠CFE=147°-110°=37°,
故答案是:
37°;
(3)延长DC交AB于点F,作△ACF的外角∠4.
∵CD∥BE,
∴∠DFB=∠3,
又∵∠DFB+∠2+∠4=360°,
∴∠2+∠3+∠4=360°,即∠2+∠3=360°-∠4.
∴∠2+∠3-∠1=360°-∠4-∠1=360°-180°=180°,
故答案是:
180°;
(4)延长BE交直线CD于点G.
∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠BGD,
又∵∠ABE=∠DCF,
∴∠BGF=∠DCF,
∴BE∥CF.
例2.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图1若AB∥CD点P在AB、CD外部求证:
∠BPD=∠B-∠D;
(2)将点P移到AB、CD内部如图2
(1)中的结论是否成立若成立说明理由:
若不成立则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系不必说明理由;
(3)在图2中将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q如图3则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系并证明你的结论;
(4)在图4中若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n×90°则n=______.
解
(1)∵AB∥CD,
∴∠B=∠BOD,
而∠BOD=∠BPD+∠D,
∴∠B=∠BPD+∠D,
即∠BPD=∠B-∠D;
(2)
(1)中的结论不成立,∠BPD=∠B+∠D.
作PQ∥AB,如图2,
∵AB∥CD,
∴AB∥PQ∥CD,
∴∠1=∠B,∠2=∠D,
∴∠BPD=∠B+∠D;
(3)∠BPD=∠B+∠D+∠BQD.理由如下:
连结QP并延长到E,如图3,
∵∠1=∠B+∠BQP,∠2=∠D+∠DQP,
∴∠1+∠2=∠B+∠BQP+∠D+∠DQP,
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD;
(4)连结AG,如图4,
∵∠B+∠F=∠BGA+∠FAG,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠FAG+∠C+∠D+∠E+∠BAG+∠G=(5-2)×180°=6×90°,
∴n=6.
故答案为6.
例3.如图,直线AC∥BD,连结AB,直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:
线上各点不属于任何部分。
当动点P落在某个部分时,连结PA、PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。
(提示:
有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:
∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立(直接回答成立或不成立)?
(3)当动点P落在第③部分时,全面探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论。
选择其中一种结论加以证明。
(1)解法一:
如图9-1
延长BP交直线AC于点E
∵AC∥BD,∴∠PEA=∠PBD.
∵∠APB=∠PAE+∠PEA,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
解法二:
如图9-2
过点P作FP∥AC,
∴∠PAC=∠APF.
∵AC∥BD,∴FP∥BD.
∴∠FPB=∠PBD.
∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD.
解法三:
如图9-3,
∵AC∥BD,∴∠CAB+∠ABD=180°
即∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°.
又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°,
∴∠APB=∠PAC+∠PBD.
(2)不成立.
(3)(a)当动点P在射线BA的右侧时,结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB.
(b)当动点P在射线BA上,
结论是∠PBD=∠PAC+∠APB.
或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°,
∠PAC=∠PBD(任写一个即可).
(c)当动点P在射线BA的左侧时,
结论是∠PAC=∠APB+∠PBD.
选择(a)证明:
如图9-4,连接PA,连接PB交AC于M
∵AC∥BD,
∴∠PMC=∠PBD.
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM,
∴∠PBD=∠PAC+∠APB.
选择(b)证明:
如图9-5
∵点P在射线BA上,∴∠APB=0°.
∵AC∥BD,∴∠PBD=∠PAC.
∴∠PBD=∠PAC+∠APB
或∠PAC=∠PBD+∠APB
或∠APB=0°,∠PAC=∠PBD.
选择(c)证明:
如图9-6,连接PA,连接PB交AC于F
∵AC∥BD,∴∠PFA=∠PBD.
∵∠PAC=∠APF+∠PFA,
考点训练
一.选择题
1.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:
(1)∠1=∠2;
(2)∠3=∠4;(3)∠2+∠4=90°;(4)∠4+∠5=180°,其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】根据两直线平行同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,及直角三角板的特殊性解答.
解:
∵纸条的两边平行,
∴
(1)∠1=∠2(同位角);
(2)∠3=∠4(内错角);
(4)∠4+∠5=180°(同旁内角)均正确;
又∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°,
∴(3)∠2+∠4=90°,正确.
故选:
D.
2.如图,∠A0B的两边OA,OB均为平面反光镜,∠A0B=40°.在射线OB上有一点P,从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后,反射光线QR恰好与OB平行,则∠QPB的度数是( )
A.60°B.80°C.100°D.120°
【分析】根据两直线平行,同位角相等、同旁内角互补以及平角的定义可计算即可.
解:
∵QR∥OB,∴∠AQR=∠AOB=40°,∠PQR+∠QPB=180°;
∵∠AQR=∠PQO,∠AQR+∠PQO+∠RQP=180°(平角定义),
∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°,
∴∠QPB=180°﹣100°=80°.
故选:
B.
3.如图,直线l1∥l2,∠A=125°,∠B=85°,则∠1+∠2=( )
A.30°B.35°C.36°D.40°
【分析】过点A作l1的平行线,过点B作l2的平行线,根据两直线平行,内错角相等可得∠3=∠1,∠4=∠2,再根据两直线平行,同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°,然后计算即可得解.
解:
如图,过点A作l1的平行线,过点B作l2的平行线,
∴∠3=∠1,∠4=∠2,
∵l1∥l2,
∴AC∥BD,
∴∠CAB+∠ABD=180°,
∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°,
∴∠1+∠2=30°.
故选:
A.
4.如图,把矩形ABCD沿直线EF折叠,若∠1=20°,则∠2=( )
A.80°B.70°C.40°D.20°
【分析】过G点作GH∥AD,则∠2=∠4,根据折叠的性质∠3+∠4=∠B=90°,又AD∥BC,则HG∥BC,根据平行线性质得∠1=∠3=20°,所以∠2∠4=90°﹣20°=70°.
解:
过G点作GH∥AD,如图,
∴∠2=∠4,
∵矩形ABCD沿直线EF折叠,
∴∠3+∠4=∠B=90°,
∵AD∥BC,
∴HG∥BC,
∴∠1=∠3=20°,
∴∠4=90°﹣20°=70°,
∴∠2=70°.
故选B.
5.如图,已知DE由线段AB平移得到的,且AB=DC=4cm,EC=3cm,则△DCE的周长是( )
A.
9cm
B.
10cm
C.
11cm
D.
12cm
6.如图,将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,若△ABC的周长为16cm,则四边形ABFD的周长为( )
A.
16cm
B.
18cm
C.
20cm
D.
22cm
二.填空题
1.如图,计划把河水引到水池A中,先作AB⊥CD,垂足为B,然后沿AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短 .
【分析】过直线外一点作直线的垂线,这一点与垂足之间的线段就是垂线段,且垂线段最短.
解:
根据垂线段定理,连接直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短,
∴沿AB开渠,能使所开的渠道最短.
故答案为:
连接直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短.
2.用等腰直角三角板画∠AOB=45°,并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线OA的夹角α为 22 度.
【分析】由平移的性质知,AO∥SM,再由平行线的性质可得∠WMS=∠OWM,即可得答案.
解:
由平移的性质知,AO∥SM,
故∠WMS=∠OWM=22°;
故答案为:
22.
3.如图,直线AE∥BD,点C在BD上,若AE=4,BD=8,△ABD的面积为16,则△ACE的面积为 8 .
【分析】根据两平行线间的距离相等,可知两个三角形的高相等,所以根据△ABD的面积可求出高,然后求△ACE的面积即可.
解:
在△ABD中,当BD为底时,设高为h,
在△AEC中,当AE为底时,设高为h′,
∵AE∥BD,
∴h=h′,
∵△ABD的面积为16,BD=8,
∴h=4.
则△ACE的面积=
×4×4=8.
三.解答题
1.如图,已知,l1∥l2,C1在l1上,并且C1A⊥l2,A为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B在l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.
【分析】根据两平行线间的距离相等,即可解答.
解:
∵直线l1∥l2,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3的底边AB上的高相等,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这3个三角形同底,等高,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这些三角形的面积相等.
即S1=S2=S3.
2.如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,∠BAD=80°,试求:
(1)∠EDC的度数;
(2)若∠BCD=n°,试求∠BED的度数.
【分析】
(1)由AB与CD平行,利用两直线平行内错角相等得到一对角相等,再由DE为角平分线,即可确定出∠EDC的度数;
(2)过E作EF∥AB,则EF∥AB∥CD,利用两直线平行,内错角相等以及角平分线的定义求得∠BEF的度数,根据平行线的性质求得∠FED的度数,则∠BED即可求解.
解:
(1)∵AB∥CD,
∴∠ADC=∠BAD=80°,
又∵DE平分∠ADC,
∴∠EDC=
∠ADC=40°;
(2)过E作EF∥AB,则EF∥AB∥CD.
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD=n°,
又∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=
n°,
∵EF∥AB,
∴∠BEF=∠ABE=
n°,
∵EF∥CD,
∴∠FED=∠EDC=40°,
∴∠BED=
n°+40°.
3.△ABC在如图所示的平面直角中,将其平移后得△A′B′C′,若B的对应点B′的坐标是(4,1).
(1)在图中画出△A′B′C′;
(2)此次平移可看作将△ABC向 左 平移了 2 个单位长度,再向 下 平移了 1 个单位长度得△A′B′C′;
(3)△A′B′C′的面积为 10 .
【分析】
(1)根据“B的对应点B′的坐标是(4,1)”的规律求出对应点的坐标,顺次连接即可.
(2)通过作图可直接得到答案是:
向左平移2个单位长度,向下平移1个单位长度.
(3)平移后的面积与原面积相同,可用补全法求面积.
解:
(1)如图.
(2)向左平移2个单位长度,向下平移1个单位长度.(平移的顺序可颠倒)
(3)把△ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去,即可求得△A′B′C′的面积=△ABC的面积为=24﹣4﹣4﹣6=10.
作平移图形时,找关键点的对应点也是关键的一步.平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
4.实验证明,平面镜反射光线的规律是:
射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=38°,则∠2= 76 °,∠3= 90 °.
(2)在
(1)中,若∠1=55°,则∠3= 90 °;若∠1=40°,则∠3= 90 °.
(3)由
(1)、
(2),请你猜想:
当两平面镜a、b的夹角∠3= 90 °时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?
【分析】
(1)根据入射角与反射角相等,可得∠1=∠5,∠7=∠6,根据邻补角的定义可得∠4=104°,根据m∥n,所以∠2=76°,∠5=38°,根据三角形内角和为180°,即可求出答案;
(2)结合题
(1)可得∠3的度数都是90°;
(3)证明m∥n,由∠3=90°,证得∠2与∠4互补即可.
解:
(1)∵入射角与反射角相等,即∠1=∠5,∠7=∠6,
又∵∠1=38°,
∴∠5=38°,
∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°,
∵m∥n,
∴∠2=180°﹣∠4=76°,
∴∠6=(180°﹣76°)÷2=52°,
∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°;
(2)由
(1)可得当∠1=55°和∠1=40°时,
∠3的度数都是90°;
(3)∵∠3=90°,
∴∠6+∠5=90°,
又由题意知∠1=∠5,∠7=∠6,
∴∠2+∠4=180°﹣(∠7+∠6)+180°﹣(∠1+∠5),
=360°﹣2∠5﹣2∠6,
=360°﹣2(∠5+∠6),
=180°.
由同旁内角互补,两直线平行,
可知:
m∥n.
故答案为:
76°,90°90°,90°90°.
5.如图,已知直线l1∥l2,l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D,点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=∠3.
(1)若点P在图
(1)位置时,求证:
∠3=∠1+∠2;
(2)若点P在图
(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;
(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明.
【分析】此题三个小题的解题思路是一致的,过P作直线l1、l2的平行线,利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角,然后结合这些等角和∠3的位置关系,来得出∠1、∠2、∠3的数量关系.
证明:
(1)过P作PQ∥l1∥l2,
由两直线平行,内错角相等,可得:
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;
∵∠3=∠QPE+∠QPF,
∴∠3=∠1+∠2.
(2)关系:
∠3=∠2﹣∠1;
过P作直线PQ∥l1∥l2,
则:
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE,
∴∠3=∠2﹣∠1.
(3)关系:
∠3=360°﹣∠1﹣∠2.
过P作PQ∥l1∥l2;
同
(1)可证得:
∠3=∠CEP+∠DFP;
∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°,
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°,
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2.
6.如图,直线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF
(1)求∠EOB的度数;
(2)若平行移动AB,那么∠OBC:
∠OFC的值是否随之发生变化?
若变化,找出变化规律或求出变化范围;若不变,求出这个比值.
(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?
若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.
【分析】
(1)根据两直线平行,同旁内角互补求出∠AOC,然后求出∠EOB=
∠AOC,计算即可得解;
(2)根据两直线平行,内错角相等可得∠AOB=∠OBC,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC,从而得解;
(3)根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB,从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
解:
(1)∵CB∥OA,
∴∠AOC=180°﹣∠C=180°﹣100°=80°,
∵OE平分∠COF,
∴∠COE=∠EOF,
∵∠FOB=∠AOB,
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=
∠AOC=
×80°=40°;
(2)∵CB∥OA,
∴∠AOB=∠OBC,
∵∠FOB=∠AOB,
∴∠FOB=∠OBC,
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC,
∴∠OBC:
∠OFC=1:
2,是定值;
(3)在△COE和△AOB中,
∵∠OEC=∠OBA,∠C=∠OAB,
∴∠COE=∠AOB,
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线,
∴∠COE=
∠AOC=
×80°=20°,
∴∠OEC=180°﹣∠C﹣∠COE=180°﹣100°﹣20°=60°,
故存在某种情况,使∠OEC=∠OBA,此时∠OEC=∠OBA=60°.
7.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
(1)如图1,若AB∥CD,点P在AB、CD内部,∠B=50°,∠D=30°,求∠BPD.
(2)如图2,将点P移到AB、CD外部,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?
请证明你的结论.
(2)如图3,写出∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间的数量关系?
(不需证明).
(3)如图4,求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
解:
(1)过点P作PE∥AB,
∵AB∥CD,
∴AB∥EP∥CD,
∴∠B=∠1=50°,∠D=∠2=30°,
∴∠BPD=80°;
(2)∠B=∠BPD+∠D.
理由如下:
设BP与CD相交于点O,
∵AB∥CD,
∴∠BOD=∠B,
在△POD中,∠BOD=∠BPD+∠D,
∴∠B=∠BPD+∠D.
(3)如图,连接QP并延长,
结论:
∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.
(4)如图,由三角形的外角性质,∠A+∠E=∠1,∠B+∠F=∠2,
∵∠1+∠2+∠C+∠D=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
8.如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:
PF∥GH;
(3)如图3,在
(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?
若不变,请求出其值;若变化,说明理由.
【分析】
(1)利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补,所以易证AB∥CD;
(2)利用
(1)中平行线的性质推知°;然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°,即EG⊥PF,故结合已知条件GH⊥EG,易证PF∥GH;
(3)利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2;然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=
∠EPK=45°+∠2;最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变,是定值45°.
解:
(1)如图1,∵∠1与∠2互补,
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∴AB∥CD;
(2)如图2,由
(1)知,AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,
∴∠FEP+∠EFP=
(∠BEF+∠EFD)=90°,
∴∠EPF=90°,即EG⊥PF.
∵GH⊥EG,
∴PF∥GH;
(3)∠HPQ的大小不发生变化,理由如下:
如图3,∵∠1=∠2,
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG,
∴∠4=90°﹣∠3=90°﹣2∠2.
∴∠EPK=180°﹣∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK,
∴∠QPK=
∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK﹣∠2=45°,
∴∠HPQ的大小不发生变化,一直是45°.
11.画图并填空:
如图,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,将△ABC向下平移2倍,再向右平移3格.
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′;
(2)在图中画出△的A′B′C′的高C′D′(标出点D′的位置);
(3)如果每个小正方形边长为1,则△A′B′C′的面积= .(答案直接填在题中横线上)
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