函数定义域值域求法以及分段函数.docx
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函数定义域值域求法以及分段函数
（一）函数的概念1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
ATB为从集合A到集合
B的一个函数（function）．
记作：
y=f（x）,x€A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x€A}叫做函数的值域（range）.
①“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如"y=g（x）”；
③函数符号"y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.
2.构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（二）映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A
中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射（mapping）.
记作“f：
AB”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述.
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：
一是必有一个；二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。
1.例题分析：
下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:
数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={P|P是平面直角体系中的点},B={（x,y）|x€R,y€R},对应关系f:
平面直角体系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形},B={x|x是圆}，对应关系f:
每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生}，对应关系f:
每一个班级都对应班里的学生.
思考:
将（3）中的对应关系f改为:
每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：
每一个学生都对应他的班级，那么对应f:
BA是从集合B到集合A的映射吗？
（三）函数的表示法
常用的函数表示法:
（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法.
三、典例解析
1、定义域问题
例1求下列函数的定义域：
1
①f（x）——：
②
x2
f（x）.3x2:
③f（x）
..x1
解：
①x-2=0，即x=2时,
分式无意义,
x2
而x2时，分式—
x
②•••3x+2<0，即x<-
而3x20，即x
1
—有意义，•这个函数的定义域是
2
2
时，根式＜3x2无意义，
3
-时
3时，
根式.3x2才有意义,
•••这个函数的定义域是
{x|x
2
2}.
③•••当x10且2
1和分式同时有
2x
意义，
•这个函数的定义域是
{x|x
2}
另解：
要使函数有意义，必须:
例2求下列函数的定义域:
①f（x）
②f（x）
-x23x4
③f（x）
④f（x）
（x1）0
1
33x7
解：
①要使函数有意义，必须:
x21
即:
、3
•函数f（x）<4
x1的定义域为:
3,3]
②要使函数有意义，必须:
x23x4
x12
x3或3x1或x4
•定义域为：
{x|x3或3x1或x4}
A
x
0
1
-0
x
1
x
1
1
x
—
1-
0
2
1
1-
x
R且x
0,1,1}
2
x
10
x
1
x
x0
x
0
1x
0
x2
30
x
R
7
3x
70
x
3
3要使函数有意义，必须：
•••函数的定义域为：
｛x|x
4要使函数有意义，必须：
•定义域为：
x|x1或
5要使函数有意义，必须：
即x<—或x>—•'
33
x0
{x|x7}
1
解：
•••定义域是R,•ax2ax0恒成立,
a
•等价于
a0
a24a-0
a
x|
•函数yf（x丄）f（x丄）的定义域为:
44
例5已知f（x）的定义域为［—1,1］，求f（2x—1）的定义域。
分析：
法则f要求自变量在［—1,1］内取值，则法则作用在2x—1上必也要求2x—1在［—1,1］内取值，即一1<2x—1<1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f（2x—1）中2x—1
与f（x）中的x位置相同，范围也应一样，•一1<2x—1<1,解出x
的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：
f（x）中的x与f（2x—1）中的x不是同一个x，即它们意义不同。
）解：
：
f（x）的定义域为［—1,1］,
•••—1<2x—1<1，解之0•••f（2x—1）的定义域为［0，1］。
例6已知已知f（x）的定义域为［—1,1］，求f（x2）的定义域。
答案：
—1练习：
设f（x）的定义域是［3,.2］，求函数fC_x2）的定义域.
解：
要使函数有意义，必须:
.x>00x2、20x642
•函数f（•-x2）的定域义为：
x|0x64-2
例7已知f（2x—1）的定义域为［0，1］，求f（x）的定义域
因为2x—1是R上的单调递增函数，因此由2x—1，x€［0,1］求得的值域［—1，1］是f（x）的定义域。
5已知f（3x—1）的定义域为［—1，2），求f（2x+1）的定义域。
—,2）
2
（提示：
定义域是自变量x的取值范围）
练习：
已知f（x2）的定义域为［—1，1］，求f（x）的定义域
若yfx的定义域是0,2，则函数fx1f2x1的定义域是
1x
已知函数fx的定义域为A，函数yffX的定义域为B，贝y
1x
（）
A.AUBBB.BAC.AlBBD.AB
2.值域问题
利用常见函数的值域来求（直接法）
k
反比例函数y（k0）的定义域为｛x|x0｝，值域为｛y|y0｝;
x
二次函数f（x）ax2bx
c（a0）的定义域为R,
当a>0时，值域为｛y|y
2
（4acb）}；当a<0
4a
时,
值域为
{y|y^^}.
4a
例1求下列函数的值域
③yx1（记住图像）
x
②略
二次函数在区间上的值域（最值）:
例2求下列函数的最大值、最小值与值域:
①y
x24x
1;②；
2
yx24x1,x[3,4]
③y
x24x
1,x[0,1]；④y
x24x1,x[0,5]；
解：
••
.2yx
4x1（x2）23,
•顶点为（2,-3），顶点横坐标为2
①T抛物线的开口向上，函数的定义域R,
•x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是
{y|y-3}.
②•••顶点横坐标2［3,4］，
当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；
3
1
l'
/
/
1
1
J
-2-1O
1
23456x
-1
/
/
-2
/
-3
lx
••在[3,4]上，ymin=-2,ymax=1；值域为[-2,1].
③T顶点横坐标
2
[0,1]
•••在[0,1]上，
ymin
=-2,
④T顶点横坐标
2
[0,5]
•••在[0,1]上,
ymax=1；值域为[-2，1].
，当x=0时，y=1;x=1时，y=-2.
当x=0时，y=1;x=2时，y=-3,x=5时，y=6,
ymin=-3，ymax=6；值域为
[-3,
6].
注：
对于二次函数f（x）ax2
bxc（a0）,
⑴若定义域为R时,
再比较f（a）,f（b）的大小决定函数的最大（小）值
②若X。
[a,b],则[a,b]是在f（x）的单调区间内，只需比较f（a）,f（b）的大小即可
决定函数的最大（小）值•
注：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
练习：
1、求函数y=3+V（2—3x）的值域
解：
由算术平方根的性质，知"（2—3x）>0,
故3+V（2—3x）>3。
•函数的值域为3,
2、求函数yx22x5,x0,5的值域
x1时,ymin4
x5时,『max20值域为4,20
例3求函数y=4x—V1-3x（x<1/3）的值域。
解：
法一：
（单调性法）设f（x）=4x,g（x）=—V1-3x,（x<1/3）,易知它们在定义域内为
增函数，从而y=f（x）+g（x）=4x—V1-3x
在定义域为xw1/3上也为增函数，而且ywf（1/3）+g（1/3）=4/3,因此，
所求的函数值域为｛y|yw4/3
小结：
禾U用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结
合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：
求函数y=3+V4-x的值域。
（答案：
｛y|y>3｝）
法二：
换元法
例4求函数yx2•.1x的值域
解：
（换元法）设Jxt,则yt22t1（t0）
对称轴t10,，且开口向下
当t1时，ymax2
值域为,2
点评：
将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而
确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：
求函数y=Vx-1-x的值域。
（答案：
｛y|yw—3/4｝
例6求yx3x1的值域
4,x1
解法一：
（图象法）可化为y22x,1x3如图，
4,x3
观察得值域y4y4
解法二：
（零点法）画数轴利用|ab表示实数a,b在数轴上的距离可得。
-1X03
练习：
yxx1的值域呢？
（1,）（三种
方法均可）
例7求函数y9x3x2（x0,1）的值域
解：
（换元法）设3xt，则1t3原函数可化为
yt2t2,对称轴t
t1时,ymin2；t
值域为2,8
21,3
3时,ymax
例8求函数y
x22x
的值域
解：
（换元法）令t
x22x（x
1）21，则
t
1
3（t1）
由指数函数的单调性知,
原函数的值域为
例9求函数y2（x
0）的值域
解：
（图象法）如图，值域为
0,1
x1
例10求函数y
x2
的值域
解法一：
（逆求法）解出x,x
12y
观察得原函数值域为yy
1y
解法二：
（分离常数法）
小结：
已知分式函数y
x233.
11，可得值域
x2x2
axb
yy
cx
d（C
0），如果在其自然定义域（代数式自身对变量
的要求）内，值域为
yy
如果是条件定义域（对自变量有附加条件），
采用部分分式法将原函数化为
求值域。
3x
ad
b
c（adbe），用复合函数法来
exd
例11求函数y•厂的值域
3x1
3x1
原函数的值域为01
例13求函数y厂V的值域
2x24x3
25
解令2x4x3t，则y7
2
t2（x1）11
0y5
所以，值域｛y|0
y5}
练习：
1、
21yx2x
9（x0）;
解：
••
x0,y
x29（x
x
-）211,
x
•••y11.
另外,
此题利用基本不等式解更简捷：
2
yx-
[929
11（或利用对勾函数图
x
像法）
5
2x24x3
03、求函数的值域
1yx.2x；②y2..4xx2
2
解：
①令u.2x0,则x2u,
2129
原式可化为y2uu（u—）—,
4
——
u0,「.y—，-函数的值域是（-，一]•
44
2
2解：
令t=4xx0得0x4
22
在此区间内（4xx）max=4,（4xx）min=0
函数y2..4xx2的值域是{y|0y2}
4、求函数y=|x+—|+|x-2|的值域.
2x1（x1）
解法1
:
将函数化为分段函数形式:
y3（1x
2），画出它的图象（下图）
2x1（x
2）
由图象可知，
函数的值域是{y|y3}.
解法2:
•••函数y=|x+1|+|x-2|
表示数轴上的动点x
到两定点-1,2的距离之和,
易见y的最小值是3，•函数的值域是
[3,+].如图
x-1O
1
2
——
-1Ox12--1O12x
5、求函数
y
2x
4,1
x的值域
解：
设t
1
x
则t
2
0x=1t
代入得y
f
（t）
2（1
t2）4t2t24t22（t1）24
■/1
0
•••y
4
3.分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数
它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并
集，其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知
1
•求分段函数的定义域和值域
[1,）,值域为（1,3].
2
•求分段函数的函数值
3
【解析】
3•求分段函数的最值
x5154,综上有fmax（x）4.
4•求分段函数的解析式
例4.在同一平面直角坐标系中
函数yf（x）和yg（x）的图象关于直线yx对
称，现将yg（x）的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移1个单位，所得
得f（x）
2x2（1x0）,故选A.
22（0x2）
9•解分段函数的不等式
2x1（x0）
例11•设函数f（x）1，若
x2（x0）
f（X。
）1,则X。
得取值范围是（）
A.（1,1）B.（1,）
C-（,2）（0,）
D.（,1）（1,）
【解析1】
首先画出yf（x）和y1的大致图像，易知f（x））1时,所对应的x0的取值范围
是（,1）（1,）.
【解析2】
1
因为f（Xo）1,当Xo0时,2X011,解得Xo1,当Xo0时,X。
至1
解得Xo1,综上Xo的取值范围是（，1）（1,）•故选D.
2
（X1）（X1）
例12•设函数f（x）—,贝y使得f（x）1的自变量X的取值范围为
4VX1（X1）
（
）
A•（,2]
[o,1o]
B.（
C.（,2]
[1,1o]
D.[
【解析】
当X1时，
f（x）1
（x
1）2
1X
X
1时,f（X）
14
X1
1
X
述,
x2或o
x1o,
故选
A项
【点评：
】
2][o,1]
2,o][1,1o]
2或xo,所以X2或ox1,当
13x1o,所以1x1o,综上所
以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像
定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合
思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到大大简化，效果明显.
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