初三中考数学 图像旋转新.docx

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初三中考数学图像旋转新

知识点3旋转

1.旋转：

在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

旋转不改变图形的大小和形状。

注意：

“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度。

在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变。

因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征。

例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：

（1）旋转中心是什么？

旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？

2．旋转的性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（3）旋转前、后的图形全等；

（4）图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定。

例2.如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺时针方向旋转得到四边形DOEF。

在这个旋转过程中

（1）旋转中心是什么？

旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移到什么位置？

（3）AO与DO的长有什么关系？

BO与EO呢？

（4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？

例3.在正方形ABCD中，∠1＝∠2＝30°，试把ΔADE绕点A顺时针旋转90°，

观察整个图形中角与角之间，线段与线段之间，存在哪些相等的关系？

探索DE，BF，AF之间的关系。

一、归纳小结

旋转的定义与规律

（1）定义：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．

关键：

旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．

（2）旋转的规律

经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

二、追踪练习

1.平移不改变图形的________，只改变图形的位置。

故此若将线段AB向右平移3cm，得到线段CD，如果AB=5㎝，则CD=___________

2.下列关于旋转和平移的说法正确的是（）

A旋转使图形的形状发生改变B由旋转得到的图形一定可以通过平移得到

C平移与旋转的共同之处是改变图形的位置和大小D对应点到旋转中心距离相等

3.如图，正方形ABCD可以看成由三角形______旋转而成的，其旋转

中心为______点，旋转角度依次为________，________，________。

4．下列现象哪些是平移，哪些是旋转。

知识点4简单的旋转作图

简单图形的旋转作图

两种情况：

①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；

②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。

作图步骤：

①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；

②顺次连接各点得到旋转后的图形。

例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．

例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=

，△ABF是△ADE的旋转图形．

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转了多少度？

（3）AF的长度是多少？

（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？

一、练习：

1．平面图形的旋转一般情况下改变图形的（　　）

A位置B大小C形状D性质

2．9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（　　）

A30°B45°C60°D90°

3．将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，下列结论错误的是（　　）

A．AB=A′B′B．AB∥A′B′C．∠A=∠A′D．△ABC≌△A′B′C′

4．做一做

在图1中，将大写字母A绕着它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90度，请作出旋转后的图案．图1

二、归纳小结

简单的旋转作图

旋转作图关键有两点：

①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：

边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．

三、追踪练习

1．钟表上的指针随时间的变化而移动，这可以看作是数学上的_______。

2．菱形ABCD绕点O沿逆时针方向旋转到四边形

，则四边形

是__________。

3．△ABC绕一点旋转到△A′B′C′，则△ABC和△A′B′C′的关系是_______。

4．钟表的时针经过20分钟，旋转了_______度。

5．图形的旋转只改变图形的_______，而不改变图形的_______。

6．在图中，将大写字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案。

7．将一个等腰直角三角形ABC（如图2∠A是直角）绕着它的一个顶点B逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。

（1）45°　　　

（2）90°　　　（3）135°　　　（4）180°

图2图3

8．将上面的图案绕点O顺时针方向旋转90度，作出旋转后的图形。

对比平移、轴对称两种图形变换,旋转变换与它们有哪些共性和区别?

知识点4它们是怎样变过来的

例1：

下图由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到

其他三部分吗？

能经过平移吗？

能经过轴对称吗？

还有其它方式吗？

解析：

（1）整个图形可以看做是由一个“十”字组成部分通过连续七次平移前后的图形共同组成；

（2）整个图形也可以看做是由左边的两个“十”字组成的部分通过三次放置形成的；

（3）整个图形不定期可以看做把左边的两个“十”字组成的部分先通过平移一次形成左右四个“十”字组成的图形，然后绕图形中心旋转90度前后的图形共同组成；

（4）整个图形还可以看做把左边的两个“十”字组成的部分通过二次轴对称形成的。

……

通过上述问题的讨论，我们看到图形的平移、旋转，轴对称变换是图形变换中最基本的三种变换方式，它们是今后设计图案的主要手段。

平移、旋转和轴对称的区别和联系

（1）区别。

①三者概念的区别：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。

如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。

②三者运动方式不同：

平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。

旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。

③对应线段、对应角之间的关系不同：

平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。

轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：

对应点的连线被对称轴垂直平分。

旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。

④三者作图所需的条件不同：

平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：

轴对称要有对称轴。

（2）联系。

①它们都在平面内进行图形变换

②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。

③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。

例2：

“想一想”你能将下面的左图，通过平移或旋转得到右图吗？

看一看：

下列三幅图案分别是由什么“基本图形”经过平移或旋转而得到的？

1．

2．

3．

试一试：

怎样将下图中的甲图变成乙图？

做一做：

如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=

AB，

（1）求证：

△ABE≌△ADF．

（2）阅读下列材料：

如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．

　　　图①　　　　　　　图②　　　　　　　　　图③　　　　图④

请回答下列问题：

（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？

（2）指出图①中线段BE与DF之间的关系．

追踪练习：

1.怎样将下图中的甲图变成乙图案？

2.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．

3．如图，将右面的扇形绕点O按顺时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形：

（1）90°；

（2）180°；（3）270°．

你能发现将扇形旋转多少度后能与原图形重合吗？

4.下图是由三个正三角形拼成的，它可以看作由其中一个三角形经过怎样的变化而得到的？

5．下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度．

6．如图，菱形A′B′C′D′是菱形ABCD绕点O顺时针旋转90°后得到的，你能作出旋转前的图形吗？

7．Rt△ABC，绕它的锐角顶点A分别逆时针旋转90°、180°和顺时针旋转90°，

（1）试作出Rt△ABC旋转后的三角形；

（2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？

知识点6简单的图案设计

图案设计：

图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变换而得到的。

其中中心对称是旋转变换的一种特例。

1.中心对称

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

2.中心对称图形

如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么我们就说，这个图形是中心对称图形。

3.中心对称的性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

练习：

1.在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是_______

在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____

2.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0○～90o的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（）

（图1）（图2）

3.如图，在方格纸上，有两个形状、大小一样的三角形，请指出如何运用轴对称、

平移、旋转这三种运动，将方格中的△ABC重合到△DEF上．

4.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果

∠OCA＝90○，∠CAO=25○，

（1）画出在空中划过的线；

（2）上下最多可以转动多少角度？

课后练习

1．下列说法正确的是（）

A．旋转后的图形的位置一定改变

B．旋转后的图形的位置一定不变

C．旋转后的图形的位置可能不变

D．旋转后的图形的位置和形状都发生变化

2．△ABC是等腰直角三角形，如图1－3－30，AB=AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，△ACD经过旋转到达△ABE的位置，则其旋转角的度数为（）

A．90°B．120°

C．60°D．45°

3．下列关于旋转和平移的说法错误的是（）

A．旋转需旋转中心和旋转角，而平移需平移方向和平移距离

B．旋转和平移都只能改变图形的位置

C．旋转和平移图形的形状和大小都不发生变化

D．旋转和平移的定义是相同的

4．如图1－3－31，如果正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有（）个．

A．1B．2C．3D．4

5．从10点到10点40分，分针转过的角度为（）

A．60°B．30°C．120°D．240°

6．观察图1－3－32的图形，图1－3－33中（）不是图案中的拼块．

7．下列说法不正确的是（）

A．旋转后的图形与原来图形面积相4

B．旋转后的图形改变了图

形的大小

C．旋转不改变图形的大小

D．旋转不改变图形的形状

8．如图1－3－34，该图案的旋转中心为_______

9．在“党”“在”“我”“心”“中”五个汉字中，旋转180o后不变的字是___________

10在字母“X”、“V”、“Z”、“H”中绕某点旋转（旋转度数不超过180）后不能与原图形重合的是____

11如图1－3－35所示的五角星绕中，O点最少旋转

____________后才能与自身重合．

12如图1－3－36，△BCD是由△ABD旋转而成的，其中AB=CD，AD=BC，找出旋转中心，写出旋转角（至少写两个）．

13如图1－3－37，已知Rt△ABC，作出其以A为旋转中心，逆时针旋转90○，180○，270○的三个三角形，不时法，也不必留画图痕迹．

14如图1－3－38，将已知的△ABC以A为旋转中心逆时针旋转100○得△A′B′C′，画出图形，并描出点B到B′，点C到C′在旋转过程中走过的痕迹．

15如图1－3－39，训练场上，士兵小王在射击完毕后，发现子弹击中在靶子的阴影部分，你知道阴影部分的面积吗？

（设靶子面积为S）．

16如图1－3－40，△AOB绕点O旋转到△DOE的位置，请指出旋转角．

小明的解答是：

因为△DOE是由△AOB绕点O旋转得到的，所以∠AOB＝∠DOE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠AOD＝∠BOE，没有和∠AOE相等的角，所以∠AOE就是旋转角．小明的解答对吗？

17如图1－3－41，正方形ABCD中，F是BC上一点，E是AB延长线上一点，且BF=BE，试猜想线段AF与CE的关系，并说明你的猜想理由．

18．观察图1－3－42，试说明这个图案是怎样变化而来的．