完整版鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解.docx
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完整版鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少:
（总脚数-每只鸡的脚数X总头数）宁（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）
二兔数;
总头数-兔数二鸡数。
或者是（每只兔脚数X总头数-总脚数）+（每只兔脚数-每只鸡脚数）
总头数-鸡数二兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？
”
解一（100-2X36）-（4-2）=14（只）
兔;
36-14=22（只）
鸡。
解二（4X36-100）-（4-2）=22（只）
鸡;
36-22=14（只）
兔。
（答略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚
数多时，可用公式
（每只鸡脚数X总头数-脚数之差）-（每只鸡的脚数+每只兔的
脚数）二兔数;
总头数-兔数二鸡数
或（每只兔脚数X总头数+鸡兔脚数之差）一（每只鸡的脚数每只免的脚数）二鸡数;
总头数-鸡数二兔数。
（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数
多时，可用公式。
（每只鸡的脚数X总头数+鸡兔脚数之差）一（每只鸡的脚数
每只兔的脚数）二兔数;
总头数-兔数二鸡数。
或（每只兔的脚数X总头数-鸡兔脚数之差）一（每只鸡的脚数每只兔的脚数）二鸡数;
总头数-鸡数二兔数。
（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公
式:
（1只合格品得分数X产品总数-实得总分数）+（每只合格品得
分数+每只不合格品扣分数）二不合格品数。
或者是总产品数-（每只不合格品扣分数X总产品数+实得总分数）+（每只合格品得分数+
每只不合格品扣分数）二不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。
每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。
某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合
格？
”
解一（4X1000-3525）-（4+15）
=475-19=25（个）
解二1000-（15X1000+3525）+（4+15）
=1000-18525-19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给
运费XX元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本XX元解法显然可套用上述公式。
）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔
各多少的问题），可用下面的公式:
〔（两次总脚数之和）+（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）
+（每只鸡兔脚数之差）〕+2二鸡数;
〔（两次总脚数之和）+（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之
差）+（每只鸡兔脚数之差）〕+2=兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。
鸡兔各是多少只？
”
解〔（52+44）-（4+2）+（52-44）+（4-2）〕-2
=20+2=10（只）
〔（52+44）-（4+2）-（52-44）+（4-2）〕+2
=12-2=6（只）
鸡兔同笼
目录1总述2假设法3方程法一元一次方程二元一次方
4抬腿法5列表法6详解7详细解法
基本问题特殊算法习题
8鸡兔同笼公式1总述
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》
中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：
“今有雉兔同笼,上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
”这四句话的意思是:
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔?
算这个有个最简单的算法。
（总脚数-总头数X鸡的脚数）+（兔的脚数-鸡的脚数）二兔的只数
（94—35X2）+2=12（兔子数）总头数（35）—兔子数（12）=鸡数
23）
解释：
让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数X
2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以
2就是兔子数。
虽然现实中没人鸡兔同笼。
2假设法
假设全是鸡：
2X35=70（只）
鸡脚比总脚数少：
94－70=24（只）
兔：
24+（4-2）=12（只）鸡：
35－12=23（只）
假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：
94-35=59（只）
然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两
只脚站立的兔子，站立脚:
59-35=24（只）兔:
24-2=12（只）鸡:
35-12=23（只）3方程法
元一次方程解：
设兔有x只，则鸡有（35-X）只。
4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-702x=24
x=24-2x=1235-12=23（只）
或解：
设鸡有x只，贝y兔有（35-X）只。
2x+4（35-x）=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12（只）
答：
兔子有12只，鸡有23只。
注：
通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
二元一次方程解：
设鸡有x只，兔有y只。
x+y=352x+4y=94
（x+y=35）X2=2x+2y=70（2x+2y=70）-（2x+4y=94）=（2y=24）y=12
把y=12代入（x+y=35）x+12=35x=35-12（只）
x=23（只）。
答：
兔子有12只，鸡有23只
4抬腿法法假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。
笼
子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就
是兔子的只数。
法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94-35X2=24只脚，这时鸡
是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24+2=12只兔子，就有35-12=23只鸡5列表法腿数鸡（只数）兔（只数）
6详解
中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。
这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。
鸡兔总的脚数是
35X2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。
现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即
70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2,2……,一直继续下去，直至增加24,因此兔子数：
24-2=12（只），
从而鸡有35-12=23（只）。
我们来总结一下这道题的解题思路：
如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只
兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。
概括起来，解
鸡兔同笼题的基本关系式是：
兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总数）+（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。
类似地，也可以假设全是兔子。
我们也可以采用列方程的办法：
设兔子的数量为X,鸡的数量为y
那么：
x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：
兔子有12只，鸡有23只。
7详细解法
基本问题
"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。
最早出现在《孙子算经》
中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求解。
因此很有必要学会它的解法和思路
例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只
解：
我们设想，每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着；而每只兔子都用
两条后腿，像人一样用两只脚站着。
现在，地面上出现脚的总数的一半，•也就是
244-2=122（只）.
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。
因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），
有34只兔子.当然鸡就有54只。
答：
有兔子34只,鸡54只。
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数+2-总头数二兔子数.总头数-兔子数二鸡数
特殊算法上面的解法是《孙子算经》中记载的。
做一次除法和一次减法，马上
"脚
能求出兔子数，多简单！
能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。
因此，我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4X88只脚，比244只脚多了88X4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡
（88X4-244）-（4-2）=54（只）.
说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。
而是鸡.因此可以
列出公式鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）一（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2X88=176（只）,比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，68-2=34（只）.
说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公式
兔数二（总脚数-鸡脚数X总头数）+（兔脚数-鸡脚数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"假设
法".
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。
例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16
支，花了2.80元。
问红，蓝铅笔各买几支？
解：
以"分"作为钱的单位.我们设想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，280只脚。
现在已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公
式，就有
蓝笔数=（19X16-280）-（19-11）
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答：
买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚
数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"兔子",8只是
"鸡",根据这一设想，脚数是8X（11+19）=240（支）。
比280少40.
40-（19-11）=5（支）。
就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"（蓝铅笔）数是3.
30X8比19X16或11X16要容易计算些。
利用已知数的特殊性，靠
心算来完成计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。
例如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有脚数19X10+11X6=256.
比280少24.
24-（19-11）=3,
就知道设想6只"鸡",要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领
面再举四个稍有难度的例子。
例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，
现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。
甲
打字用了多少小时？
解：
我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲
每小时打30-6=5（份），乙每小时打30-10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间看成"鸡"头数，总
头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3，总脚数是30，就把问题转
化成"鸡兔同笼"问题了。
根据前面的公式
"兔"数=（30-3X7）-（5-3）=4.5,"鸡"数=7-4.5=2.5,
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。
答：
甲打字用了4小时30分.
例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和
是17岁。
四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
解：
4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父
母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄
看作"兔"头数。
25是"总头数".86是"总脚数".根据公式，兄的年龄是
（25X4-86）-（4-3）=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
（25-14）X4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
（40-10）-（3-1）=15（岁）.
这是2003年。
答：
公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。
现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各
几只？
解：
因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫
分成"8条腿"与"6条腿"两种。
利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=（118-6X18）-（8-6）=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。
再利用一次公式
蝉数=（13X2-20）-（2-1）=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：
有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做
对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：
对2道，3道，4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1X7-5X6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5
道题的人（（2+3）+2=2.5）这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5,
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
（144-2.5X39）+（4-2.5）=31（人）.
答：
做对4道题的有31人。
以例1为例有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和
兔各有多少只？
以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设
兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。
解：
设兔为X只。
则鸡为（88-X）只。
4X+2X（88-X）=244
上列的方程解释为：
兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。
4X就是兔子的脚数，2X（88-X）就是鸡的脚数。
4X+2X88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=68
X=34
即兔子为34只，总数是88只，则鸡：
88-34=54只。
答：
兔子有34只，鸡有54只。
习题一
1．龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只？
2．学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。
象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？
3．一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分
硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？
4．某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。
那么2元，5元，10元各有多少张？
5．一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16
天.甲先做了多少天？
6．摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段
中，有的是由一段上坡路（3千米），一段平路（4千米），一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米），一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的。
已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？
7．用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角
的邮票多少张？
二、"两数之差"的问题
鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。
已知8分的邮票比4
分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？
解一：
如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数
就一样多.
（680-8X40）-（8+4）=30（张）,这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。
因此8分邮票有
40+30=70（张）.
答：
买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。
也可以用任意假设一个数的办法.
解二：
譬如，假设有20张4分，根据条件"8分比4分多40张",那么
应有60张8分。
以"分"作为计算单位，此时邮票总值是4X20+8X60=560.
比680少，因此还要增加邮票。
为了保持"差"是40，每增加1张4
分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是（680-4X20-8X60）-（4+8）=10（张）.
因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.
例8一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。
倘若下雨，雨天比晴天多3天，工程要多少天才能完成解：
类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-8X3）-（10+8）=7（天）.
雨天是7+3=10天，总共
7+10=17（天）.
答：
这项工程17天完成。
请注意，如果把"雨天比晴天多3天"去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就
能推算出另一个。
这说明了例7，例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢
例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
解一：
假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28-2=14（只），鸡与
兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4-2=2（倍），于是鸡的只数是兔的
只数的2倍。
兔的只数是
（100+28-2）-（2+1）=38（只）.
鸡是100-38=62（只）.
答：
鸡62只，兔38只。
当然也可以去掉兔28-4=7（只）.兔的只数是（100-28-4）-（2+1）+7=38（只）.
也可以用任意假设一个数的办法。
解二：
假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是4X50-2X50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6
只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是（100-28）-（4+2）=12（只）.
兔只数是50-12=38（只）.
另外，还存在下面这样的问题：
总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".
例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。
有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多
13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
解一：
如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差
13X5X4+20=280（字）.
每首字数相差7X4-5X4=8（字）.
因此，七言绝句有280-（28-20）=35（首）.
五言绝句有35+13=48（首）.
答：
五言绝句48首，七言绝句35首。
解二：
假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10
首.字数分别是20X23=460（字），28X10=280（字），五言绝句的字数，反而多了
460-280=180（字）.与题目中"少20字"相差180+20=200（字）.
七言绝句有10+25=35（首）.
在写出"鸡兔同笼"公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于
例7，例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。
现在来具体做一下，把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下，就会发现非常
有趣的事.
例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是
（680-8X40）-（8+4）=30（张）.
例9，假设都是兔，鸡的只数是
（100X4-28）-（4+2）=62（只）.
10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
（20X13+20）-（28-20）=35（首）.
首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与"鸡兔同笼"公式
比较，这三个算式只是有一处"-"成了"+".其奥妙何在呢
当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。
例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1
元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？
解：
如果没有破损，运费应是400元。
但破损一只要减少1+0.2=1.2
（元）.因此破损只数是（400-379.6）宁（1+0.2）=17（只）.
答：
这次搬运中破损了17只玻璃瓶。
请你想一想，这是"鸡兔同笼"同一类型的问题吗
例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包
含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
解一：
如果小明第一次测验24题全对，得5X24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8X6-2X（15-6）=30（分）.
两次相差120-30=90（分）.
比题目中条件相差10分，多了80分。
说明假设的第一次答对题数多
了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对
增加一题
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