10．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x－4）＝f（x），且在区间[0,2]上，f（x）＝x，若关于x的方程f（x）＝logax有三个不同的根，则a的取值范围为（ ）
A．（2,4）B．（2,2
）
C．（
，2
）D．（
，
）
11．若曲线C1：
y＝ax2（x>0）与曲线C2：
y＝ex存在公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
12．定义全集U的子集P的特征函数fP（x）＝
已知P⊆U，Q⊆U，给出下列命题：
①若P⊆Q，则对于任意x∈U，都有fP（x）≤fQ（x）；
②对于任意x∈U，都有f∁UP（x）＝1－fP（x）；
③对于任意x∈U，都有fP∩Q（x）＝fP（x）·fQ（x）；
④对于任意x∈U，都有fP∪Q（x）＝fP（x）＋fQ（x）．
其中正确的命题是（ ）
A．①②③B．①②④
C．①③④D．②③④
二、填空题
13．设全集为R，集合M＝{x|x2≤4}，N＝{x|log2x≥1}，则（∁RM）∩N＝________.
14．已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln
＋
的图象分别与直线y＝m交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
15．设a，b∈Z，已知函数f（x）＝log2（4－|x|）的定义域为[a，b]，其值域为[0,2]，若方程
|x|＋a＋1＝0恰有一个解，则b－a＝________.
16．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝e－x（x－1）．给出以下命题：
①当x<0时，f（x）＝ex（x＋1）；
②函数f（x）有五个零点；
③若关于x的方程f（x）＝m有解，则实数m的取值范围是f（－2）≤m≤f
（2）；
④对∀x1，x2∈R，|f（x2）－f（x1）|<2恒成立．
其中，正确命题的序号是________．
三、解答题
17．已知集合A是函数y＝lg（20＋8x－x2）的定义域，集合B是不等式x2－2x＋1－a2≥0（a>0）的解集，p：
x∈A，q：
x∈B.
（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围；
（2）若綈p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
18．设命题p：
关于x的二次方程x2＋（a＋1）x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零；命题q：
不等式2x2＋x>2＋ax对∀x∈（－∞，－1）恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，
命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）＝alnx（a>0），求证f（x）≥a（1－
）．
20．定义在R上的单调函数f（x）满足f
（2）＝
，且对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）．
（1）求证：
f（x）为奇函数；
（2）若f（k·3x）＋f（3x－9x－2）<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
21.为了缓解城市交通压力，某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥，两端的桥墩现已建好，已知这两桥墩相距m米，“余下的工程”只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2＋
）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记“余下工程”的费用为y万元．
（1）试写出工程费用y关于x的函数关系式；
（2）当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使工程费用y最小？
并求出其最小值．
22．已知函数f（x）＝ex－ax2（x∈R），e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在点P（0,1）处的切线方程；
（2）若函数f（x）为R上的单调递增函数，试求实数a的取值范围．
答案精析
1．C [由题意知x2－x>0，解得x>1或x<0，所以函数f（x）＝ln（x2－x）的定义域为（－∞，0）∪（1，＋∞）．]
2．C [对于A，因为Δ＝22－12<0，所以不存在x0∈R，使x
＋2x0＋3＝0，所以选项A错误；对于B，当x＝1时，13＝12，所以选项B错误；对于C，x>1可推出x2>1，x2>1可推出x>1或x<－1，所以x>1是x2>1的充分不必要条件，所以选项C正确；对于D，当a＝0，b＝－1时，a23．A [因为函数是偶函数，所以f（－2）＝f
（2），f（－3）＝f（3），又函数在[0，＋∞）上是增函数，所以f
（2）4．B [f（
）＝2＋
＝2＋2＝4，
则f（f（
））＝f（4）＝
4＝
（
）－2＝－2.]
5．D [由f（－x）＝f（x）知函数f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，排除选项A、C；当x＝0时，f（x）＝1，排除选项B.]
6．A [因为f′（x）＝－3x2＋2ax＋b，函数f（x）的图象与x轴相切于原点，
所以f′（0）＝0，即b＝0，所以f（x）＝－x3＋ax2，令f（x）＝0，得x＝0或x＝a（a<0），因为函数f（x）的图象与x轴所围成区域的面积为
，
所以
（－x3＋ax2）dx＝－
，所以
＝－
，
所以a＝－1或a＝1（舍去）．]
7．C [因为f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，则f（x）在R上是增函数，所以不存在极值点．]
8．C [因为f（x）＝1＋
＋tanx，
所以f（－x）＝1＋
＋tan（－x）＝1＋
－tanx，
则f（x）＋f（－x）＝2＋
＋
＝4.
又f（x）＝1＋
＋tanx在区间[－1,1]上是一个增函数，其值域为[m，n]，
所以m＋n＝f（－1）＋f
（1）＝4.故选C.]
9．A [依题意，f（0）＝－3<0，f
（1）＝e－2>0，且函数f（x）是增函数，因此函数f（x）的零点在区间（0,1）内，即0（1）＝－3<0，g
（2）＝ln2＋3>0，且函数g（x）在（0，＋∞）内单调递增，所以函数g（x）的零点在区间（1,2）内，即1f
（1）>0，g（a）（1）<0，所以g（a）<010．D [由f（x－4）＝f（x），知f（x）的周期为4，又f（x）为偶函数，所以f（x－4）＝f（x）＝f（4－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，作出函数y＝f（x）与y＝logax的图象如图所示，要使方程f（x）＝logax有三个不同的根，则
解得
，选D.]
11．C [根据题意，函数y＝ax2与y＝ex的图象在（0，＋∞）上有公共点，
令ax2＝ex，得a＝
（x>0）．
设f（x）＝
（x>0），
则f′（x）＝
，
由f′（x）＝0，得x＝2.
当0在区间（0,2）上是减函数；
当x>2时，f′（x）>0，函数f（x）＝
在区间（2，＋∞）上是增函数．
所以当x＝2时，函数f（x）＝
在（0，＋∞）上有最小值f
（2）＝
，所以a≥
.故选C.]
12．A [令U＝{1,2,3}，P＝{1}，Q＝{1,2}．
对于①，fP
（1）＝1＝fQ
（1），fP
（2）＝0（2）＝1，
fP（3）＝fQ（3）＝0，可知①正确；
对于②，有fP
（1）＝1，fP
（2）＝0，fP（3）＝0，f∁UP
（1）＝0，
f∁UP
（2）＝1，f∁UP（3）＝1，可知②正确；
对于③，有fP
（1）＝1，fP
（2）＝0，fP（3）＝0，fQ
（1）＝1，fQ
（2）＝1，fQ（3）＝0，fP∩Q
（1）＝1，fP∩Q
（2）＝0，fP∩Q（3）＝0，可知③正确；
对于④，有fP
（1）＝1，fP
（2）＝0，fP（3）＝0，fQ
（1）＝1，fQ
（2）＝1，fQ（3）＝0，fP∪Q
（1）＝1，fP∪Q
（2）＝1，fP∪Q（3）＝0，可知④不正确．]
13．（2，＋∞）
解析 由M＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}＝[－2,2]，可得∁RM＝（－∞，－2）∪（2，＋∞），又N＝{x|log2x≥1}＝{x|x≥2}＝[2，＋∞），则（∁RM）∩N＝（2，＋∞）．
14．2＋ln2
解析 显然m>0，由ex＝m，得x＝lnm，
由ln
＋
＝m，得x＝2
，
则|AB|＝2
－lnm.
令h（m）＝2
－lnm，
由h′（m）＝2
－
＝0，求得m＝
.
当0时，h′（m）<0，
函数h（m）在
上单调递减；
当m>
时，h′（m）>0，
函数h（m）在
上单调递增．
所以h（m）min＝h
＝2＋ln2，因此|AB|的最小值为2＋ln2.
15．5
解析 由方程
|x|＋a＋1＝0恰有一个解，得a＝－2.
又
解得－3≤x≤3，所以b＝3.
所以b－a＝3－（－2）＝5.
16．①④
解析 当x<0时，－x>0，所以f（－x）＝ex（－x－1）＝－f（x），所以f（x）＝ex（x＋1），故①正确；当x<0时，f′（x）＝ex（x＋1）＋ex，令f′（x）＝0，所以x＝－2，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2,0）上单调递增，而在（－∞，－1）上，f（x）<0，在（－1,0）上，f（x）>0，所以f（x）在（－∞，0）上仅有一个零点，由对称性可知，f（x）在（0，＋∞）上也有一个零点，又f（0）＝0，故该函数有三个零点，故②错误；因为当x<0时，f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，0）上单调递增，且当x<－1时，f（x）<0，当－10，所以当x<0时，f（－2）≤f（x）<1，即－
≤f（x）<1，由对称性可知，当x>0时，－1，又f（0）＝0，故当x∈（－∞，＋∞）时，f（x）∈（－1,1），若关于x的方程f（x）＝m有解，则－1
升级会员 