李思其的初中数学组卷.docx
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李思其的初中数学组卷
2013年7月李思其的初中数学组卷
2013年7月李思其的初中数学组卷
一．解答题（共9小题）
1．（2011•深圳模拟）已知：
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：
△MED为等腰三角形；
（2）求证：
∠EMD=2∠DAC．
2．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：
△AEF是等腰三角形．
3．（2010•临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？
并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？
并给予证明．
4．（2009•河北）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：
FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：
△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？
（不必说明理由）
5．（2009•东城区二模）点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．
（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°（图1），则△MBN是 _________ 三角形；
（2）在△ABE和△BCF中，若BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC=α，（图2），则△MBN是 _________ 三角形，且∠MBN= _________ ；
（3）若将
（2）中的△ABE绕点B旋转一定角度，（图3），其他条件不变，那么
（2）中的结论是否成立？
若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明．
6．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP=
AB•PE，S△ACP=
AC•PF，S△ABC=
AB•CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴
AB•PE+
AC•PF=
AB•CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：
若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．
7．（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：
DC=AB．
8．（2012•潮安县模拟）如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别为BC，AB上的高，F为AC的中点，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．
9．（2009•大兴区一模）已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，过点D作DP⊥BC，分别交BA，CA或它们的延长线于点P，Q．
求证：
DP+DQ是定值．
2013年7月李思其的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共9小题）
1．（2011•深圳模拟）已知：
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：
△MED为等腰三角形；
（2）求证：
∠EMD=2∠DAC．
考点：
等腰三角形的判定；三角形中位线定理．342401
专题：
证明题．
分析：
（1）由于AD⊥BC，BE⊥AC，所以△ADB和△ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以ME=MD=
AB，所以△MED为等腰三角形；
（2）利用三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和这样推论，可知∠BME=2∠MAE，∠BMD=2∠MAD，作差即可证得结论．
解答：
证明：
（1）∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴ME=
AB，MD=
AB，
∴ME=MD，
∴△MED为等腰三角形；
（2）∵ME=
AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=
AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME﹣∠BMD=2∠MAE﹣2∠MAD=2∠DAC．
点评：
本题反复运用了“等边对等角”这一判定定理，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质来证得结论．
2．（2011•龙岩质检）如图，AD是△ABC的平分线，DE，DF分别垂直AB、AC于E、F，连接EF，求证：
△AEF是等腰三角形．
考点：
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．342401
专题：
证明题．
分析：
根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD；然后根据已知条件“DE，DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°；再加上公共边AD=AD，从而证明，△ADE≌△ADF；最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等，所以△AEF是等腰三角形．
解答：
证明：
∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，（3分）
又∵DE，DF分别垂直AB、AC于E，F
∴∠DEA=∠DFA=90°（6分）
又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF．（8分）
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形（10分）
点评：
本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质．解答此题时，根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF．
3．（2010•临沂）如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB=2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？
并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？
并给予证明．
考点：
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．342401
专题：
证明题；几何综合题；压轴题；探究型．
分析：
（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可判断△ABC的形状；
（2）（3）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系．
解答：
解：
（1）△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
在△ADC与△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AC=BC，∠DCA=∠ECB．
∵AB=2AD=DE，DC=CE，
∴AD=DC，
∴∠DCA=45°，
∴∠ECB=45°，
∴∠ACB=180°﹣∠DCA﹣∠ECB=90°．
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）DE=AD+BE．理由如下：
在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°﹣∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC﹣CE=BE﹣AD，
即DE=AD+BE．
（3）DE=BE﹣AD．理由如下：
在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°﹣∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD=CE，DC=EB．
∴DC﹣CE=BE﹣AD，
即DE=BE﹣AD．
点评：
本题考查了等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大．
4．（2009•河北）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：
FM=MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：
△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？
（不必说明理由）
考点：
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．342401
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）本题主要利用重合的性质来证明．
（2）首先要连接MB、MD，然后证明△FBM≌△MDH，从而求出两角相等，且有一角为90°．
（3）根据
（2）的证明过程，中△FBM≌△MDH仍然成立即可证明．
解答：
（1）证明：
∵四边形BCGF为正方形
∴BF=BM=MN，∠FBM=90°
∵四边形CDHN为正方形
∴DM=DH=MN，∠HDM=90°
∵BF=BM=MN，DM=DH=MN
∴BF=BM=DM=DH
∵BF=DH，∠FBM=∠HDM，BM=DM
∴△FBM≌△HDM
∴FM=MH，
∵∠FMB=∠DMH=45°，
∴∠FMH=90度，
∴FM⊥HM．
（2）证明：
连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，
∴MD∥BC，且MD=
AC=BC=BF；
MB∥CD，且MB=
CE=CD=DH（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
又∵∠FBP=∠HDC，
∴∠FBM=∠MDH，
∴△FBM≌△MDH，
∴FM=MH，且∠FMB=∠MHD，∠BFM=∠HMD．
∴∠FMB+∠HMD=180°﹣∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB=∠E，
同理：
∠DME=∠A．
∴∠AMB+∠DME=∠A+∠AMB=∠CBM．
由已知可得：
BM=
CE=AB=BF，
∴∠A=∠BMA，∠BMF=∠BFM，
∴∠FMH=180°﹣（∠FMB+∠HMD）﹣（∠AMB+∠DME），
=180°﹣（180°﹣∠FBM）﹣∠CBM，
=∠FBM﹣∠CBM，
=∠FBC=90°．
∴△FMH是等腰直角三角形．
（3）解：
△FMH还是等腰直角三角形．
点评：
本题综合考查了等腰三角形的判定，偏难，学生要综合运用学过的几何知识来证明．
5．（2009•东城区二模）点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．
（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°（图1），则△MBN是 等腰直角 三角形；
（2）在△ABE和△BCF中，若BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC=α，（图2），则△MBN是 等腰 三角形，且∠MBN= α ；
（3）若将
（2）中的△ABE绕点B旋转一定角度，（图3），其他条件不变，那么
（2）中的结论是否成立？
若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明．
考点：
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．342401
专题：
综合题．
分析：
（1）根据题意可知△ABF，△EBC的关系可看作△EBC是由△ABF绕点B顺时针旋转90度得到的，所以BM=BN，BM⊥BN，即△MBN是等腰直角三角形；
（2）根据题意可知△ABF≌△EBC，根据全等三角形的性质可知对应中线相等，所以MB=NB，即△MBN是等腰三角形，所以△BMN∽△BEA，则∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；
（3）结论仍然成立，先根据条件证明△ABF≌△EBC，得到AF=CE．∠AFB=∠ECB，从而证明△MFB≌△NCB，所以BM=BN，∠MBF=∠NBC，则∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．
解答：
解：
（1）∵BM=BN，BM⊥BN，
∴△MBN是等腰直角三角形；
（2）∵∠ABE=∠FBC=α，
∴∠ABF=∠EBC，
又∵BA=BE，BC=BF，
∴△ABF≌△EBC，
∴MB=NB，即△MBN是等腰三角形，
∴△BMN∽△BEA，则∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；
（3）结论仍然成立．
证明：
在△ABF和△EBC中，
（SAS），
∴△ABF≌△EBC，
∴AF=CE，∠AFB=∠ECB．
∵M，N分别是AF、CE的中点，
∴FM=CN，
∴△MFB≌△NCB，
∴BM=BN，∠MBF=∠NBC，
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．
点评：
主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
6．（2012•牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：
如图①，连接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP=
AB•PE，S△ACP=
AC•PF，S△ABC=
AB•CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴
AB•PE+
AC•PF=
AB•CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．
（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：
若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．
考点：
等腰三角形的性质；三角形的面积．342401
专题：
几何综合题．
分析：
（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；
（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：
①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．
解答：
解：
（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S△ABP=
AB•PE，S△ACP=
AC•PF，S△ABC=
AB•CH，
∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，
∴
AB•PE=
AC•PF+
AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵S△ABC=
AB•CH，AB=AC，
∴
×2CH•CH=49，
∴CH=7．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，
（2）中分情况讨论是解题的关键．
7．（2011•沈阳）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求证：
DC=AB．
考点：
等腰三角形的性质．342401
专题：
计算题．
分析：
（1）由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；
（2）根据三角形外角性质和得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由
（1）得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
解答：
（1）解：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；
（2）证明：
∵∠DAB=45°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∴DC=AB．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：
等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理．
8．（2012•潮安县模拟）如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD，CE分别为BC，AB上的高，F为AC的中点，试判断△DEF的形状，并证明你的结论．
考点：
等边三角形的判定；相似三角形的判定．342401
专题：
证明题．
分析：
已知∠ABC=60°，则根据三角函数求得
，又因为有公共角∠B，从而得到△BDE∽△BAC，根据对应边成比例可得到DE=
AC，同理可求得DF=
AC，EF=
AC，所以DE=DF=EF，即△DEF为等边三角形．
解答：
解：
连接EF，△DEF为等边三角形，由∠ABC=60°，
易得：
．
∴△BDE∽△BAC，
∴
，
∴DE=
AC．
又∵F为中点，
∴在Rt△ADC中，DF=
AC，在Rt△ACE中，EF=
AC．
所以DE=DF=EF．
即：
△DEF为等边三角形．
点评：
此题主要考查学生对相似三角形的判定和性质的应用，以及等边三角形的判定方法的理解及运用能力．
9．（2009•大兴区一模）已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，过点D作DP⊥BC，分别交BA，CA或它们的延长线于点P，Q．
求证：
DP+DQ是定值．
考点：
等腰三角形的性质；矩形的判定与性质．342401
分析：
过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥DQ于点N，然后判定△AQP为等腰三角形，从而证明DP+DQ=2AM，问题得证．
解答：
证明：
过点A作AM⊥BC于点M，作AN⊥DQ于点N，（2分）
∴四边形AMDN为矩形．
∴AM=DN．
∵DP⊥BC，
∴∠B+∠P=90°．
∴∠C+∠DQC=90°．
又∵∠C=∠B，∠DQC=∠PQA
∴∠AQM=∠P．
∴△AQP为等腰三角形．
∴PN=QN．（4分）
∴DP+DQ=DN+NP+DQ
=DN+NQ+DQ
=2AM，（5分）
即DP+DQ是定值．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，证明线段的和为定值的问题比较少见．
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