数学建模期末复习.docx
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数学建模期末复习
一、线性规划
1．求解下列线性规划问题：
共20分
maxz=2x1+7x2-3x3
x1+3x2+4x3≤30（第一种资源限制约束）
x1+4x2-x3≤10（第二种资源限制约束）
x1、x2、x3≥0
（1）求出该问题的最优解和最优值；
（2）第二种资源限量由10变为20，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解；
（3）增加一个新变量x6，其目标函数系数为3，技术消耗系数为，最优解是否改变；若改变请求出新的最优解。
解：
（1）lingo程序max=2*x1+7*x2-3*x3;
x1+3*x2+4*x3<=30;
x1+4*x2-x3<=10;
最优解（x1x2x3）=（1000）
最优值=20
（2）max=2*x1+7*x2-3*x3;
x1+3*x2+4*x3<=30;
x1+4*x2-x3<=20;
最优解（x1x2x3）=（2000）
最优值=40
或对第一题进行灵敏度分析（第二种资源限量可以在0到30范围内变化，最优基解不变最优解（x1x2x3）=（2000）最优值=40）
（3）max=2*x1+7*x2-3*x3+3*x4;
x1+3*x2+4*x3+x4<=30;
x1+4*x2-x3+2*x4<=10;
求解得到最优解（x1x2x3x4）=（10000）
最优值=20
2．某校基金会有一笔数额为5000万元的基金，打算将其存入银行。
当前银行存款的利率见下表2。
取款政策与银行的现行政策相同，定期存款不提前取，活期存款可任意支取。
校基金会计划在5年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在5年末仍保留原基金数额。
校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。
请你帮助校基金会设计一个基金最佳使用方案，试建立其模型。
（15分）
表2
银行存款税后年利率（%）
活期
0.792
半年期
1.664
一年期
1.800
二年期
1.944
三年期
2.160
五年期
2.304
3、某公司打算在三个不同的地区设置4个销售点，根据市场预测部门估计，在不同的地区设置不同的数量的销售点，每月可得到的利润如表2所示。
试问在各个地区应如何设置销售点，才能使每月获得的总利润最大？
其最大利润是多少？
并给出最优方案。
（15分）
表2
销售点
利润
地区
0
1
2
3
4
1
0
16
25
30
32
2
0
12
17
21
22
3
0
10
14
16
17
解：
变量为0,1变量xij≥0,（i=1,2,3；j=1,2,3,4,5）
目标函数：
Max
约束条件：
Cij=016253032
012172122
010141617
程序：
model:
sets:
s/1..3/;
d/1..5/;
link（s,d）:
c,x;
Endsets
max=@sum（link:
c*x）;
!
min=@sum（s（i）:
@sum（d（j）:
c（i,j）*x（i,j）））;!
同上面相同的目标函数;
@for（s（i）:
@sum（d（j）:
x（i,j））=1）;
@sum（s（i）:
@sum（d（j）:
（j-1）*x（i,j）））=4;
data:
c=016253032
012172122
010141617;
Enddata
结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
47.00000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
X（1,3）1.0000000.000000
X（2,2）1.0000000.000000
X（3,2）1.0000000.000000
答：
地区1设2个销售点，地区2、3个设1个销售点，最大利润为47
4．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。
已知该公司仓库的最大储存量为20万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。
已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如表1所示。
表1
季度
买进价（万元/万米3）
卖出价（万元/万米3）
预计销售量（万米3）
冬
410
425
100
春
430
440
140
夏
460
465
200
秋
450
455
160
由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。
为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
（15分）
解：
xij:
第i季度买进，第j季度卖出，（i<=j）
目标函数：
Max=x11*（425-410）+x12*（440-410）+x22*（440-430）+x13*（465-410）+x23*（465-430）+x33*（465-460）+x14*（455-410）+x24*（455-430）+x34*（455-460）+x44*（455-450）-x12*（70+100*1）*0.1-x13*（70+100*2）*0.1-x14*（70+100*3）*0.1-x23*（70+100*1）*0.1-x24*（70+100*2）*0.1-x34*（70+100*1）*0.1
约束条件：
X11=100
X12+x22=140
X13+x23+x33=200
X14+x24+x34+x44=160
X12+x13+x14<=20
X13+x14+x23+x24<=20
X14+x24+x34<=20
模型：
Max=x11*（425-410）+x12*（440-410）+x22*（440-430）+x13*（465-410）+x23*（465-430）+x33*（465-460）+x14*（455-410）+x24*（455-430）+x34*（455-460）+x44*（455-450）-x12*（70+100*1）*0.1-x13*（70+100*2）*0.1-x14*（70+100*3）*0.1-x23*（70+100*1）*0.1-x24*（70+100*2）*0.1-x34*（70+100*1）*0.1;
X11=100;
X12+x22=140;
X13+x23+x33=200;
X14+x24+x34+x44=160;
X12+x13+x14<=20;
X13+x14+x23+x24<=20;
X14+x24+x34<=20;
结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
5160.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X11100.00000.000000
X120.0000000.000000
X22140.00000.000000
X1320.000000.000000
X230.0000007.000000
X33180.00000.000000
X140.00000020.00000
X240.00000027.00000
X340.00000027.00000
X44160.00000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
15160.0001.000000
20.00000015.00000
30.00000010.00000
40.0000005.000000
50.0000005.000000
60.0000003.000000
70.00000020.00000
820.000000.000000
答：
最大利润为：
5160，季度冬买进120，本季度卖出100，等到季度夏卖出20
季度春买进140，本季度卖出140
季度秋买进180本季度卖出140
季度秋买进160本季度卖出160
二、对偶分析
1、求解下列线性规划问题：
共25分
maxz=4x1+x2+2x3
8x1+3x2+x3≤2（第一种资源限制约束）
6x1+x2+x3≤8（第二种资源限制约束）
x1、x2、、x3≥0
（1）求出该问题的最优解和最优值；
（2）第一种资源限量由2变为4，最优解是否改变，若改变请求出新的最优解；
（3）现有新产品丁，每单位产品需消耗第一种资源2单位，消耗第二种资源3单位，问该产品的售价至少为多少时才值得生产？
（4）由于资源缺乏，现有第三种原来并不受约束资源现在受到限制，限制方程为：
，问此时最优解是否受到影响，若需要改变，请求出新的最优解
解：
（1）最优解x1=x2=0,x3=2,最优值为4
程序：
max=4*x1+x2+2*x3;
8*x1+3*x2+x3<=2;
6*x1+x2+x3<=8;
结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4.000000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X32.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
20.0000002.000000
（2）
法一：
第一题进行灵敏度分析（第二种资源限量可以在0到8范围内变化，最优基解不变最优解（x1x2x3）=004）最优值=8）
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X14.00000012.00000INFINITY
X21.0000005.000000INFINITY
X32.000000INFINITY1.500000
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
22.0000006.0000002.000000
38.000000INFINITY6.000000
法二：
程序：
max=4*x1+x2+2*x3;
8*x1+3*x2+x3<=4;
6*x1+x2+x3<=8;
结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
8.000000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X10.00000012.00000
升级会员 