初一七年级下册第五讲相交线与平行线知识点总结.docx
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初一七年级下册第五讲相交线与平行线知识点总结
认识平行线、相交线、垂线在同一平面内的表示及画法
掌握在同一平面内被第三条直线所截的性质
本章重点：
利用平行、相交、垂直、的性质作图；并会证明一些理论
会画被平移后的图形。
[相交线与平行线]
[千里之行始于足下懒散必失败勤奋定成功]
学校：
班级：
姓名：
[2014-03-10]
第五讲《相交线与平行线》知识点汇总
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意点：
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
2、垂线
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
符号语言记作：
如图所示：
AB⊥CD，垂足为O
⑵垂线性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）
⑶垂线性质2：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：
垂线段最短。
3、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：
①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
画法：
⑴一靠：
用三角尺一条直角边靠在已知直线上，⑵二移：
移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，⑶三画：
沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。
4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
分析它们的联系与区别
1线与垂线段区别：
垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。
联系：
具有垂直于已知直线的共同特征。
（垂直的性质）
⑵两点间距离与点到直线的距离区别：
两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。
联系：
都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
5.2平行线
1、平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线
与直线
互相平行，记作
∥
。
2、两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：
⑴相交；⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：
①有且只有一个公共点，两直线相交；
②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
如左图所示，∵
∥
，
∥
∴
∥
注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。
5、三线八角
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线
被直线
所截
①∠1与∠5在截线
的同侧，同在被截直线
的上方，
叫做同位角（位置相同）
②∠5与∠3在截线
的两旁（交错），在被截直线
之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
③∠5与∠4在截线
的同侧，在被截直线
之间（内），叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。
6、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。
例如：
如图，判断下列各对角的位置关系：
⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。
如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。
注意：
图中∠2与∠9，它们是同位角吗？
不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。
7、两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：
同位角相等，两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：
内错角相等，两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
简称：
同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
请注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。
平行线的判定是写角相等，然后写平行。
注意：
⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。
上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。
⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：
①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。
②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
典型例题：
判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。
2一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答：
⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。
“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。
⑵正确⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。
因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。
典型例题：
如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？
解答：
⑴由∠2＝∠B可判定AB∥DE，根据是同位角相等，两直线平行；
⑵由∠1＝∠D可判定AC∥DF，根据是内错角相等，两直线平行；
⑶由∠3＋∠F＝180°可判定AC∥DF，根据同旁内角互补，两直线平行。
5.3平行线的性质
1、平行线的性质：
性质1：
两直线平行，同位角相等；
性质2：
两直线平行，内错角相等；
性质3：
两直线平行，同旁内角互补。
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
2、两条平行线的距离
如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意：
直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
3、命题：
⑴命题的概念：
判断一件事情的语句，叫做命题。
⑵命题的组成
每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。
命题常写成“如果……，那么……”的形式。
具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。
对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。
注意：
命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
4、平行线的性质与判定
①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行 同位角相等；
两直线平行 内错角相等；
两直线平行 同旁内角互补。
其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。
典型例题：
已知∠1＝∠B，求证：
∠2＝∠C
证明：
∵∠1＝∠B（已知）
∴DE∥BC（同位角相等，
两直线平行）
∴∠2＝∠C（两直线平行
同位角相等）
注意，在了DE∥BC，不需要再写一次了，得到了DE∥BC，这可以把它当作条件来用了。
典型例题：
如图，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°
求∠2、∠3的度数
解答：
∵DE∥BC（已知）
∴∠2＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥DF（已知）
∴AB∥DF（已知）
∴∠3＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°
5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征：
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。
A
D
B
E
C
F
典型例题：
如图，△ABC经过平移之后成为△DEF，那么：
⑴点A的对应点是点＿＿＿＿＿＿＿＿＿；⑵点B的对应点是点＿＿＿＿＿＿。
⑶点＿＿＿＿＿的对应点是点F；⑷线段AB的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；
⑸线段BC的对应线段是线段＿＿＿＿＿＿＿；⑹∠A的对应角是＿＿＿＿＿＿。
⑺＿＿＿＿的对应角是∠F。
解答：
⑴D；⑵E；⑶C；⑷DE；⑸EF；⑹∠D；⑺∠ACB。
思维方式：
利用平移特征：
平移前后对应线段相等，对应点的连线段平行或在同一直线上解答。
（一）相交线同步练习
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数是（ ）
（1）相等且互补的两个角都是直角;
（2）互补角的平分线互相垂直．
（3）邻补角的平分线互相垂直;（4）一个角的两个邻补角是对顶角．
（Ａ）１． （Ｂ）２． （Ｃ）３． （Ｄ）４．
２．下列说法正确的是（ ）
（A）垂直于同一直线的两条直线互相垂直．
（B）平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（C）平面内两个角相等，则他们的两边分别平行．
（D）两条直线被第三条直线所截，那么有两对同位角相等．
３．如果α和β是同旁内角，且α=55°，则β等于（）（第4题图）
（A）55°． （B）125°． （C）55°或125°． （D）无法确定．
４．如图，AB⊥CD，垂足为B，EF是经过B点的一条直线，已知∠EBD=145°，则∠CBE，∠ABF的度数分别为（）（A）55°，35°; （B）35°，55°;（C）45°，45°;（D）25°，55°．
５．如图所示，图中有（）对同旁内角．
（A）3对．（B）4对．（C）5对．（D）6对．
二、填空题
6．自钝角的顶点引角的一边的垂线，把这个钝角分成两个角的度数之比是3∶1，则这个钝角的度数是___________．
7．如图BE，CF相交于O，OA，OD是射线，其中构成对顶角的角是____________
（第7题图）（第8题图）
８．如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOC=35°，则∠BOD=___________．
９．如图，∠1的同位角是，∠2的内错角是.
10．如图，直线AB和CD相交于点O，则∠3的对顶角是，∠2的邻补角是，若∠2=120°，则∠1=，∠4=.
11．如图，∠1的同位角是，∠1的内错角是，∠1的同旁内角是.
（第9题图）（第10题图）（第11题图）
三、解答题
12．如图，画出直线AE⊥CD，直线AF⊥BC，垂足分别为E、F．
13．如图，将长方形纸片折叠后再展开，折痕的夹角是多少？
14．如图，能否在△ABC所在平面画一条直线使图形中与∠B成为同旁内角的角有3个？
4个？
能否多于4个？
15．已知：
如图，AB，CD，EF三直线相交于一点O，且OE⊥AB，
∠COE=20°，OG平分∠BOD，求∠BOG的度数．
1６.如图，直线AB和CD相交于点O，FO⊥CD于点O，∠BOF=∠EOD，试说明:
EO⊥AB．
17．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，OF⊥AB于O，∠1=65°，求∠BOE的度数．
（二）相交线同步练习
一、判断
1.顶点相同并且相等的两个角是对顶角.（）
2.相交直线构成的四个角中若有一个角是直角,就称这两条直线互相垂直.（）
3.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离.（）
4.如图1,∠2和∠8是对顶角.（）
5.如图1,∠2和∠4是同位角.（）
6.如图1,∠1和∠3是同位角.（）
7.如图1,∠9和∠10是同旁内角,∠1和∠7也是同旁内角.（）
8.如图1,∠2和∠10是内错角.（）
9.O是直线AB上一点,D分别在AB的两侧,且∠DOB=∠AOC,
则C,O,D三点在同一条直线上.（）
10.如图2,其中共有4对同位角,4对内错角,4对同旁内角.（）
二、填空
11.如图3,直线L截直线a,b所得的同位角有______对,它们是______;内错有___对,它们是______;同旁内角有______对,它们是______;对顶角_____对,它们是_______.
12.如图4,∠1的同位角是________,∠1的内错角是________,∠1的同旁内角是_______.
13.如图5,直线AB,CD相交于O,OE平分∠AOD,FO⊥OD于O,∠1=40°,则∠2=_____,∠4=______.
14.如图6,AB⊥CD于O,EF为过点O的直线,MN平分∠AOC,若∠EON=100°,那么
∠EOB=_____,∠BOM=_____.
15.如图7,AB是一直线,OM为∠AOC的角平分线,ON为∠BOC的角平分线,则OM,ON的位置关系是_______.
16.直线外一点与直线上各点连结的线段中,以_________为最短.
17.从直线外一点到这条直线的________叫做这点到直线的距离.
18.经过直线外或直线上一点,有且只有______直线与已知直线垂直.
19.如图8,要证BO⊥OD,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据:
∵AO⊥CO,∴∠AOC=__________（___________）.又∵∠COD=40°（已知）,∴∠AOD=_______.∵∠BOC=∠AOD=50°（已知）,∴∠BOD=_______,∴_______⊥_______（__________）.
20.如图9,直线AB,CD被EF所截,∠1=∠2,要证∠2+∠4=180°,请完善证明过程,并在括号内填上相应依据.∵直线AB与EF相交,∴∠1=∠3=（__________）,又∵∠1+∠4=180°（___________）,∠1=∠2（已知）,∴∠2=∠3,∠2+∠4=180°（____________________）
三、选择.
21.下列语句正确的是（）
A.相等的角为对顶角B.不相等的角一定不是对顶角
C.不是对顶角的角都不相等
D.有公共顶点且和为180°的两个角为邻补角
22.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是（）
A.1B.2C.3或2D.1或2或3
23.如图10,PO⊥OR,OQ⊥PR,能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（）
A.1条B.2条C.3条D.5条
24.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,则（）
A.∠AOC=∠AODB.∠AOD=∠DOBC.∠AOC=∠BODD.以上结论都不对
25.下列说法正确的是（）
A.在同一平面内,过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
B.连结直线外一点和直线上任一点,使这条线段垂直于已知直线
C.作出点P到直线的距离
D.连结直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离
26.如图12,与∠C是同旁内角的有（）.
A.2B.3C.4D.5
27.下列说法正确的是（）.
A.两条直线相交成四个角,如果有三个角相等,那么这两条直线垂直.
B.两条直线相交成四个角,如果有两个角相等,那么这两条直线垂直.
C.两条直线相交成四个角,如果有一对对顶角互余,那么这两条直线垂直.
D.两条直线相交成四个角,如果有两个角互补,那么这两条直线垂直.
28.如果∠1与∠2互为补角,且∠1>∠2,那么∠2的余角是（）
A.
（∠1+∠2）B.
∠1C.
（∠1-∠2）D.
∠2
29.已知OA⊥OC,∠AOB:
∠AOC=2:
3,则∠BOC的度数是（）
A.30°B.150°C.30°或150°D.以上答案都不对
四、解答.
30.如图,已知∠ABC=90°,∠1=∠2,∠DCA=∠CAB,求证:
（1）CD⊥CB;
（2）CD平分∠ACE.
31.如图,已知AO⊥OB于O,∠2-∠1=20°,求∠1,∠2的度数.
32.如图,OE,OF分别是∠AOC与∠BOC的平分线,且OE⊥OF,求证:
A,O,B三点在同一直线上.
33.如图,按要求作出:
（1）AE⊥BC于E;
（2）AF⊥CD于F;（3）连结BC,作AG⊥BD于G.
（三）平行线的性质
典型例题
【例1】
（1）（2010北京）如图5-85，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=60°，则∠2=_________度.
（2）（2010浙江）如图5-86，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，如果∠1=50°，那么∠2的度数是_________度.
图5-85图5-86
【例2】如图5-87.∠1=75°,∠2=75°,∠3=65°,求∠4的度数.
图5-87
【例3】已知，如图5-88，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，∠1与∠2是什么关系?
并说明理由.
图5-88
一、填空题（每题5分.共50分）
1.如图5-89，若a∥b，∠1=50°，则∠2=__________度.
2.如图5-90，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角∠1=74°,那么吸管与易拉罐下部夹角∠2=____________度.
图5-89图5-90
3.如图5-91，已知AB∥CD,EF分别交AB、CD于点E、F，∠1=70°，则∠2的度数为_________.
4.如图5-92，若AB∥EF，BC∥DE,∠B=40°.则∠E=____________.
图5-91图5-92
5.如图5-93，AD⊥BC，DE∥AC，则∠C与∠ADE的度数之和为_____________.
图5-93图5-94
6.如图5-94，已知AB∥CD∥EF，∠B=62°，∠D=28°，则BE和ED的位置关系是__________.[来源:
中.考.资.源.网]
7.如图5-95，AB∥CD，EE平分∠ACD交AB于F，∠A=118°，则∠AEC等于_______度.
8.如图5-96，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有___________个，若∠1=50°，则∠AHG=_______________
图5-95图5-96
9.如图5-97，直线AB、CD与直线EF分别交于E、F点，已知:
AB∥CD，∠EFD的平分线FG交AB于点G，∠1=60°15′，则∠2=________________.
图5-97
10.如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角_______________.
二、选择题（每题5分，共10分）
11.（2010广东）如图5-98,AB∥CD，若∠2=135°，那么∠1的度数是（）
A.30°B.45°C.60°D.75°
12.（2010安徽）如图5-99，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=55°，则∠2的度数为（）
图5-98图5-99
A.35°B.45°C.55°D.125°
三、解答题:
（每题20分,共40分）
13.（2010浙江）已知:
如图5-100，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DEF的平分线相交于点P.求证∠P=90°.
图5-100
14.阅读：
如图5-101，CE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠B.∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B，这是一个有用的事实，请用这个事实，在如图5-102四边形ABCD内引一条和边平行的直
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