∴在甲处购买所花的费用少．
（3）设在乙处购买a株该种树苗，所花费用为w元．
则w=3.2（2500－a）+3.6a－540，
即w=0.4a+7460．
∵
∴1000≤a≤1500，且a为整数．
∵0.4>0，∴w随a增大而增大．
∴当a=1000时，w最小=7860．
2500－1000=1500（株）．
答：
至少需花费7860元，应在甲处购买1500株，在乙处购买1000株．
评析：
有关函数型的实际问题，也是考察数学建模的一种形式．它常常可以根据实际问题的意义通过建立一个二元方程的思想来获取函数解析式：
这种函数与方程相结合的思想也是中考中的一个热点．
探究实践
【问题】（海淀）已知：
抛物线y=x2－mx+m－2
（1）求证：
此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）若m是整数，抛物线y=x2－mx+m－2与x轴交于整数点，求m的值．
（3）在
（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B．若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标．
解题思路：
（1）证△>0；
（2）求方程x2－mx+m－2=0的整数解；（3）要考虑M点在x轴与y轴上两种情形．
解：
（1）△=m2－4m+8=（m－2）2+4>0，所以此抛物线与x轴有两个不同的交点．
（2）方程x2－mx+m－2=0的根为x=
由m为整数，当（m－2）2+4为完全平方数时，此抛物线与x轴才可能交于整数点．
设（m－2）2+4=n2（其中n为整数）．
所以[n+（m－2）][n－（m－2）]=4．
因为n+（m－2）与n－（m－2）的奇偶性相同，
所以
解得m=2．
经检验，m=2合题意．
（3）当m=2时，抛物线y=x2－2x，顶点A（1，－1），与x轴交点为O（0，0），B（2，0），易知△AOB为等腰直角三角形．∴M1（1，0）为所求的点．
若满足条件的点M2在y轴上时，设M2（0，y），作AN⊥y轴于N．
由M2A=M2B，得（y+1）2+12=y2+22，得y=1，
∴M2（0，1）也为所求的点．
综上所述满足条件的M点坐标为（1，0）或（0，1）．
评析：
一元二次方程有整数根，必须判别式△为完全平方数．用因式分解法、整数性质，求一元二次方程整数根是常用技巧．
◆中考演练
一、填空题
1．已知：
反比例函数y=
与一次函数y=2x+k的图象的一个交点的横坐标是－4，则k的值是________．
2．函数y=x2+2（a+2）x+a2的图象与x轴有两个交点，且都在x轴的负半轴上，则a的取值范围是________．
二、选择题
1．点P（a，b）是直线y=－x+5与双曲线y=
的一个交点，则以a、b为两实数根的一元二次方程是（）．
A．x2－5x+6=0B．x2+5x+6=0C．x2－5x－6=0D．x2+5x－6=0
2．关于x的一元二次方程x2－x－n=0没有实数根，则抛物线y=x2－x－n的顶点在（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
三、解答题
1．（济南）已知：
抛物线y=－
x2+（6－
）x+m－3与x轴有A、B两个交点，且A、B两点关于y轴对称．
（1）求m的值；
（2）写出抛物线解析式及顶点坐标；
（3）根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来．
2．已知c<0，且满足
=│2c+1│，抛物线y=ax2+bx+c经过正比例函数y=－4x与反比例函数y=－
的图象的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线顶点在直线y=mx+n上，此直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且OA：
OB=1：
2，求作一个以m和n为根的二次项系数为1的一元二次方程．
◆实战模拟
一、填空题
1．点P（a，b）在第二象限内，a，b是方程4x2－2x－15=0的两个实数根，则直线y=ax+b不经过第______象限．
2．已知：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象如图所示，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=_______．
3．已知：
二次函数y=2x2－4mx+m2的图象与x轴的两交点为A、B，顶点为C，若S△ABC=4
，则m=________．
二、选择题
1．抛物线y=x2－（2m－1）x－2m与x轴交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且
=1，则m的值为（）．
A．－
B．0C．±
D．
2．抛物线y=x2+bx+c交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C，若∠OBC=45°，则下列各式成立的是（）．
A．b－c－1=0B．b+c+1=0C．b－c+1=0D．b+c－1=0
3．（武汉）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x1=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）．
A．（2，－3）B．（2，1）C．（2，3）D．（3，2）
三、解答题
1．（海南）如图9－1－4，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的关系式；
（2）P为线段AB上一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？
若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（四川）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x1，0）和B（x2，0），与y轴的正半轴交于点C，如果x1、x2是方程x2－x－6=0的两个根（x1．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求直线AC和BC的方程；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合）过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？
若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
答案:
中考演练
一、1．－82．a>－1且a≠0
二、1．A2．A
三、1．
（1）m=6
（2）y=－
x2+3，顶点（0，3）
（3）方程－
x2+（6－
）x+m－3=0的两根互为相反数（或两根之和为零等）
2．
（1）=2x2－4x－2
（2）易得m+n=－4，A（
，0），B（0，n），m=±2，所求一元二次方程为x2+4x－12=0或x2+4x+4=0
实战模拟
一、1．三2．－3．33．±2
二、1．D2．B3．C
三、1．
（1）点A（3，4）在直线y=x+m上，∴4=3+m，m=1．
设二次函数为y=a（x－1）2，4=a（3－1）2，a=1
∴y=（x－1）2，即y=x2－2x+1
（2）设P、E两点的纵坐标分别为yP，yE，
PE=h=yP－yE=（x+1）－（x2－2x+1）=－x2+3x
即h=－x2+3x（0（3）∵PE=DC，点D在y=x+1上，∴点D坐标为（1，2）
∴－x2+3x=2，解得x1=2，x2=1（舍去）
∴当P点坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形
2．
（1）y=－
x2+
x+3
（2）直线AC方程为y=
x+3，直线BC方程为y=－x+3
（3）存在，设直线y=m与y轴交于点E（0，m），易知0①当PQ为等腰Rt△PQR的一腰时，作PR1⊥x轴于R1（如图1），由△CPQ∽△CAB，
，
∴R1（－
，0），作QR2⊥x轴于R2，则R2（
，0），
经检验知R1、R2是满足条件的点．
②当PQ为等腰Rt△PQR的底边时，取PQ的中点S，
过点S作SR3⊥PQ于R3（如图2），由△CPQ∽△CAB，有
，0），经检验可知R3合题意．
升级会员 