抽象函数的对称性.docx
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抽象函数的对称性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念：
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数
符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识
灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于f（x）定义域的每一个x,都存在非零常数T,使得f（xT）f（x）恒成立，则
称函数f（x）具有周期性，T叫做f（x）的一个周期，则kT（kZ,k0）也是f（x）的周
期，所有周期中的最小正数叫f（x）的最小正周期。
分段函数的周期：
设yf（x）是周期函数，在任意一个周期的图像为c：
yf（x）,
xa,b,Tba。
把yf（x）沿x轴平移KTK（ba）个单位即按向量
a（kT,0）平移，即得yf（x）在其他周期的图像：
yf（xkT）,xkTa,kTb。
f（x）
f（x）
a,b
f（xkT）
kTa,kTb
2、奇偶函数：
设yf（x）,xa,b或xb,aa,b
①若f（x）f（x），则称yf（x）为奇函数；
②若f（x）f（x）则称yf（x）为偶函数。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性：
（1）中心对称即点对称：
①点A（x,y）与B（2ax,2by）关于点（a,b）对称；
②点A（ax,by）与B（ax,by）关于（a,b）对称；
③函数yf（x）与2byf（2ax）关于点（a,b）成中心对称；
④函数byf（ax）与byf（ax）关于点（a,b）成中心对称;
⑤函数F（x,y）0与F（2ax,2by）0关于点（a,b）成中心对称。
（2）轴对称：
对称轴方程为:
AxByC0。
//2A（AxByC）2B（AxByC）、*工
①点A（x,y）与B（x,y）B（x——”一彳——,y——一彳——）关于
ABAB
直线AxByC0成轴对称;
2B（AxByC）-2A（AxByC）、――
②函数yf（x）与y—J-y-ff（x一'一y一0关于直线A2B2A2B2
AxByC0成轴对称。
2A（AxByC）2B（AxByC）、
③F（x,y）0与F（x—J—%--,y-J一\--）0关于直线A2B2A2B2
AxByC0成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数yf（x）图象本身的对称性（自身对称）
若f（xa）f（xb）,则f（x）具有周期性；若f（ax）f（b*）,则£仪）
具有对称性：
“同表示周期性，反表示对称性”。
1、f（ax）f（bx）yf（x）图象关于直线x（ax）（bx）a-^对称22
推论1：
f（ax）f（ax）yf（x）的图象关于直线xa对称
推论2、f（x）f（2ax）yf（x）的图象关于直线xa对称
推论3、f（x）f（2ax）yf（x）的图象关于直线xa对称
---…一一一一ab,一
2、f（ax）f（bx）2cyf（x）的图象关于点（，c）对称
2
推论1、f（ax）f（ax）2byf（x）的图象关于点（a,b）对称
推论2、f（x）f（2ax）2byf（x）的图象关于点（a,b）对称
推论3、f（x）f（2ax）2byf（x）的图象关于点（a,b）对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数y”*）与丫f（x）图象关于Y轴对称
2、奇函数y”*）与丫f（x）图象关于原点对称函数
3、函数yf（x）与yf（x）图象关于X轴对称
4、互为反函数yf（x）与函数yf1（x）图象关于直线yx对称
一.」_ba，一，
5.函数yf（ax）与yf（bx）图象关于直线x—乞对称
推论1：
函数yf（ax）与yf（ax）图象关于直线x0对称
推论2:
函数y”*）与丫f（2ax）图象关于直线xa对称
推论3:
函数yf（x）与yf（2ax）图象关于直线xa对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y=f（x）关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f（a+x）=f（a-x）
（2）f（2a-x）=f（x）（3）f（2a+x）=f（—x）
性质2若函数y=f（x）关于点（a,0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f（a+x）=-f（a-x）
（2）f（2a—x）=—f（x）（3）f（2a+x）=—f（—x）
易知，y=f（x）为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a=0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若对于定义域的任一变量x,均有f[g（—x）]=f[g（x）],则复数函数y
=f[g（x）]为偶函数。
定义2、若对于定义域的任一变量x,均有f[g（—x）]=—f[g（x）],则复合函
数y=f[g（x）]为奇函数。
说明:
（1）复数函数f[g（x）]为偶函数，则f[g（—x）]=f[g（x）]而不是f[—g（x）]=f[g（x）],复合函数y=f[g（x）]为奇函数,则f[g（—x）]=—f[g（x）]而不是f[—g（x）]=—f[g（x）]。
（2）两个特例：
y=f（x+a）为偶函数，则f（x+a）=f（—x+a）；y=f（x+a）为奇函数，则f（—x+a）=—f（a+x）
（3）y=f（x+a）为偶（或奇）函数，等价于单层函数y=f（x）关于直线x=a
轴对称（或关于点（a,0）中心对称）
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y=f（a+x^y=f（b—x）关于直线x=（b—a）/2轴对称
性质4、复合函数y=£但+乂）与y=—f（b—x）关于点（（b—a）/2,0）中心对称
推论1、复合函数丫=地+乂）与丫=皿—乂）关于y轴轴对称
推论2、复合函数丫=*2+乂）与y=—f（a—x）关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y=f（x）定义域的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y=f（x）是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f（x+a）=f（x—a）②f（x+a）=—f（x）
③f（x+a）=1/f（x）④f（x+a）=—1/f（x）
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y=f（x）同时关于直线乂=2与乂=b轴对称，则函数f（x）必为周期函数，且T=2|a-b|
性质6、若函数y=f（x）同时关于点（a,0）与点（b,0）中心对称，则函数f（x）必为周期函数，且T=2|a-b|
性质7、若函数y=f（x）既关于点（a,0）中心对称，又关于直线x=b轴对
称，则函数f（x）必为周期函数，且T=4|a—b|
6、函数对称性的应用
（1）若yf（x）关于点（h,k）对称，则xx/2h,yy/2k,即
f（x）f（x/）f（x）f（2hx）2k
f（xi）f（x2）f（xn）f（2hxn）f（2h41）f（2h%）2nk
（2）例题
ax,11、
1、f（x）0关于点（一，一）对称：
f（x）f（1x）1;
axa22
4x1
f（x）-27丁
2x1关于（0,1）
对称：
f（x）f（x）
f（x）
1（
、，一11一1
R,x0）关于（―,—）对称：
f（x）f（-）1
22x
2、奇函数的图像关于原点（
0,0）对称：
f（x）f（x）0。
3、若f（x）f（2ax）或f（ax）f（ax）,则yf（x）的图像关于直线xa对
称。
设f（x）0有n个不同的实数根，则
x1x2xnx1（2ax1）x2（2ax2）xn（2axn）na.
2，
（当n2k1时，必有x12ax1，x1a）
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、f（xT）f（x）（T0）yf（x）的周期为T,kT（kZ）也是函数的周期
2、f（xa）f（xb）
3、f（xa）f（x）
yf（x）的周期为Tba
4、f（xa）
yf（x）的周期为T2a
5、f（xa）
yf（x）的周期为T2a
6、f（xa）
1f（x）
1f（x）
yf（x）的周期为T3a
7、f（xa）
1
f（x）1
yf（x）的周期为T2a
8、f（xa）
1f（x）
1f（x）
yf（x）的周期为T4a
9、f（x2a）f（xa）f（x）
yf（x）的周期为T6a
yf（x）的周期为T2a
10、若pQf（px）f（px|）,则T:
11、yf（x）有两条对称轴xa和xb（ba）yf（x）周期T2（ba）
推论：
偶函数yf（x）满足f（ax）f（ax）yf（x）周期T2a
12、yf（x）有两个对称中心（a,0）和（b,0）（ba）yf（x）周期T2（ba）
推论：
奇函数yf（x）满足f（ax）f（ax）yf（x）周期T4a
13、yf（x）有一条对称轴xa和一个对称中心（b,0）（ba）f（x）的T4（ba）
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分
析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.（1996年高考题）设“*）是（，）上的奇函数，f（2x）f（x），当
0x1时，f（x）x,则f（7.5）等于（-0.5）
（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.
例2.（1989年市中学生数学竞赛题）已知f（x）是定义在实数集上的函数，且
f（x2）1f（x）1f（x）,f
（1）2d3,求f（1989）的值.f（1989）
2、比较函数值大小
例3.若f（x）（x
8）、嗒）、
解：
f（x）（x
11614
171915
R）是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f（x）
104、…,
f（）的大小.
15
1
x丽,试比较
R）是以2为周期的偶函数，又f（x）
11614101
1,f（-）f（-）f（-）,gPf（—
17191517
1
x碱在0,1上是增函数，且
f（98）f（104）.
1915
例4.（1989年高考题）
设f
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