第八讲三角形的重心.docx

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第八讲三角形的重心

第八讲三角形的重心、垂心、外心和内心

初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。

例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。

反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。

涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。

在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。

本节将对这些知识作较系统的阐述。

一、三角形的重心

如图8-1，在△ABC中，AD、BD是两条中线，记它们的交点为G，连接DE、DE是三角形的中位线。

∴DE∥AB，且

∴∠GAB=∠GDE，∠GBA=∠GED.

∴△AGB∽△DGE，且相似比为2：

1.

∴AG=2GD，BG=2GE.于是得到关于三角形中线的一个重要性质：

三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：

1的两段。

现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。

图8-1

图8-2

如图8-2，设△ABC的两条中线AD、BE交于G，中线CF、BE交于G′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE，且BG′=2G′E，CG′=2G′F.

∴G′与G重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：

1的两段，这个交点称为三角形的重心。

三角形的重心必在三角形的内部。

今后我们也常说：

三角形的重心把中线分成2：

1的两段。

例1如图8-3，已知E、F分别是平行四边形ABCD边AD、CD的中点，BE和BF分别交对角线AC于M、N，求证：

AM=MN=NC。

分析四边形问题常转化为三解形问题，连接BD，则BE、BF分别为△ABD、△CBD的中线，再利用中线、重心的性质问题，则问题迎刃而解。

证明连接BD，BD与AC交于O，根据平行四边形性质，O为BD的中点。

∵E为AD的中点，∴M是△ABD的重心，∴AM=2MO。

同理，CN=2NO，则，由于AO=CO，∴

图8-4

图8-3

例2求证：

两条中线相等的三角形是等腰三角形。

已知：

△ABC中，中线BE=CD

求证：

△ABC是等腰三角形

证明：

如图8-4，设中线BE、CD交于G，则G为△ABC的重心。

∴∵BE=CD，∴GB=CG

则∠GBC=∠GCB（同一三角形中，等边对等角）

又BC为△BEC和△CBD的公共边，

∴△EBC≌△DCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC

图8-5

故△ABC是等腰三角形。

一般地，涉及三角形中两条或三条中线关系的问题，应考虑利用三角形重心及其性质来解。

二、三角形的垂心

下面来研究三角形三条高所在直线的关系。

如图8-5，锐角三角形ABC中，BC、AC上的高AD、BE交于H。

试问：

AB上的高是否也过点H？

回答是肯定的。

连接CH并延长交AB于F，现在来证明CF就是AB上的高。

∵∠CEH=∠CDH=90°，∴以CH为直径作圆，D、E在这圆上，∴∠BCF∠DEB（对同弧）。

同理，D、E也在以AB为直径的圆上，∠DEB=∠DAB，∴∠BCF=∠DAB

又在△BCF、△BAD中，∠B为共公角，∴∠CFB=∠ADB=90°，即CF⊥AB，CF为AB上高。

则△ABC的三条高AD、BE、CF交于一点H。

对于锐角三角形来讲，这交点一定位于三角形内部。

图8-6

如图8-6，Rt△ABC中，∠C=90°，BC、AC上高是AC、BC，显然AB上高CF与前两条高相交于点C。

读者可以证明，钝角三角形的三条高在直线也相交于一点，这交点在三角形外部。

我们把三角形三条高或其延长线的交点称为三角形的垂心。

锐角三角形垂心在三角形形内；直角三角形垂心为这三角形的直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形形外（如图8-7所示）。

图8-7

例3如图8-8，△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H为△∠ABC的垂心，求∠BHC的度数。

解延长BH、CH分别交AC、AB于D、E

∵H为△ABC的垂心，∴∠ADB=∠AEC=90°

图8-8

在四边形ADHE中，∠A=180°－∠ABC－∠ACB=78°，

∠BHC=∠DHE=360°－∠ADB－∠AEC－∠A=102°

三、三角形的内心

在初中阶段已经学习了三角表外心的知识。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点称为三角形的外心，即三角形外接圆圆心。

如图8-9所示，我们还知道，锐角三角形外心在三角形形内；直角三角形外心为直角三角形斜边中点；钝角三角形外心在三角形形外。

图8-9

例4如图8-10，等腰三角形ABC外心为O，O到△ABC底边BC的距离为a，到顶点A的距离为R，求△ABC的各边长。

解∵等腰三角形底边上的高与中线两线合一，

∴等腰三角形外心O必在三角形底边上的高上，记高为AD，即O在AD上，连接OB，则OB=R，且已知OD=a，

图8-10

在Rt△BOD中，，则

在Rt△ABD中，

∴△ABC的腰长为，底边长为。

例5求证：

连接三角形三边中点所得三角形的重心是原三角形的外心。

已知：

△ABC各边中点D、E、F，连接ED、EF、FD。

求证：

△EDF的垂心是△ABC的外心。

证明如图8-11，设△DEF的垂心为O，连接OD、OE、OF，则OD⊥EF，OE⊥DF，OF⊥ED。

∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴OD⊥BC

同理，OE⊥AC，OF⊥AB

∵D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，

∴直线OD、OE、OF分别为BC、CA、AB的垂直平分线，则O是△ABC的外心。

四、三角形的内心

初中阶段也已经学习了三角形的内心知识。

三角形的内心指的是三角形三个内角平分线的交点，它具有到三角形三条边距离相等的性质，它就是三角形内切圆圆心。

因此称之为内心，如图8-12所示。

不论是锐角三角形，还是直角三角形、钝角三角形，它的内心都在三角形的内部。

如图8-12，设△ABC内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于M、N、S，根据圆的切线性质，知AS=AN，BS=BM，CM=CN，

∴

同理，

记BC=a，AC=b，AB=c，，则有

；；

上述结果在涉及三角形内心或内切圆问题时常用到。

图8-13

例6已知Rt△ABC中，两直角边BC、AC分别为5、12，求△ABC内切圆半径。

图8-13

解如图8-13，△ABC内心I，内切圆与三角形各边相切于D、E、F，连接ID、IE、IF，

∵∠C=90°，易知DIEC为正方形，

∴内切圆半径r=CD=CE=p－c，

其中c为三角表斜边=，

∴r=2。

例7求证：

内心与外心为同一点的三角形一定是正三角形。

已知：

△ABC的内心与外心同为O。

求证：

△ABC是正直角三角形。

证明：

如图8-14，∵O为△ABC的外心，

∴OB=OC=OA，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA

又O是△ABC的内心，∴∠OAB=∠OAC，

图8-14

∴∠OBA=∠OCA，∴∠AOB=AOC=180°－2∠OAB

∠△AOB≌△AOC，∴AB=AC，同理AB=BC

∴△ABC是正三角形。

本题有多种证法，同学们自己可试一试。

一般地还可以得到多个真命题：

“若三角形内心和重心为同一点，则这个三角形是正三角形”；“若三角形外心和重心为同一点，则这个三角形为正三角形”……同学们可自行探究。

当我们研究三角形的一个内角平分线与其他两个角的外角平分线的关系时，我们会发现这样的三条直线也会相交于一点，且这点到三角形各边或它的延长线等距离，如图8-15。

图8-15

△ABC中，∠A平分线、∠B、∠C的外角∠CBB′、∠BCC′的平分线（或其延长线）相交于一点I1，I1到BC、AB′、AC′的距离相等（图中I1D=I1E=I1F），那么以I1为圆心，以到三角形各边（或其延长线）的距离为半径的圆与三角形的三边（或其延长）均相切。

但这圆的圆心在三角形形外，有别于三角形的内切圆圆心，俗称旁心。

三角形有三个旁心。

练习

A组

1．如图，△ABC的重心为G，直线ι过顶点A，B、C到ι的距离分别为10cm、14cm，求重心G到ι的距离。

（第2题）

2．如图，△ABC的三条中线为AD、BE、CF，在中线BE、CF上分别取点M、N，使B，求证：

四边形EFMN是平行四边形。

3．如图，△ABC的外心为O，若∠ABC=40°，∠ACB=72°，求∠BOC。

（第3题）

4．如图，△ABC的内心为I，若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠BIC、∠CIA、∠AIB。

5．求证：

若三角形的垂心和重心为同一点，则该三角形为正三角形。

6．已知△ABC中，BC=3，AB=4，AC=5，求△ABC内切圆周长与面积。

B组

（第1题）

1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接BF、DE并分别交对角线AC于M、N，求证：

AM=MN=NC。

2．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，内切圆半径记为r，

求证：

（1）△ABC的面积S=rp；

（2），

（已知三角形面积公式，读者可考虑该公司如何证明）

3．求证：

直角三角形内切圆直径与外接圆直径的和等于两直角边的和。

4．设△ABC的外心为O，垂心为H，求证：

AH等于点O到边BC距离的2倍。

5．求证：

三角形的外心、重心、垂心在同一直线上。

阅读材料3平面几何有关的定理与性质

在高中向量、解析几何与立体几何学习中需要用到平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理以及圆中的垂径定理、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系等知识，因此有必要对这些知识进行归纳、整理。

本讲分两部分，第一部分从同学们熟悉的相似三角形知识入手，介绍平行线分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形中的射影定理；第二部分介绍与圆有关的定理：

垂径定理、相交弦定理、切割弦定理，同时探讨直线与圆、圆与圆的位置关系。

一、与比例线段有关的定理

1．平行线分线段成比例定理

如图1，在△ABC中，若DE∥BC，DE交AB于D，交AC于E，则△ADE∽△ABC。

因此，，利用比例的性质可以得到。

将此结论推广，可以得到平行线分线段成比例定理。

平行线分段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

图2

图1

如图2，ι1∥ι2∥ι3，则

分析为便于使用三角形中比例线段的性质，我们过点A作AH∥DF。

证明如图2，过A作AH∥D交ι2于点G，交ι3于点H，则AG=DE，GH=EF。

∵BG∥CH，∴，即

根据比例的性质可得其他的比例式，如等。

利用平行线分线段比例定理，可以将一条直线上的比例线段“移”到另一条直线上，它是解决有关比例线段问题的常用方法。

如，由平行线分线段成比例定理可推出三角形内角与外角平分线性质定理。

例1如图3，在△ABC中，若DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：

2，若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）

A．6B．8C．10D．12

图3

分析由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CFG∽△CAB，要求△CFG的面积S只需求出它们的相似比。

解∵DE∥AB∥FG，∴△CDE∽△CAS

∴

∵FG到DE、AB的距离之比为1：

2，∴

∴

∴

∴△CFG的面积S等于8，选B。

例2如图4，△ABC中，D、E分别在边BC、AB上，且∠1=