.ABC是边长为的等边三角形EF分别为ABAC的中点沿EF把AEF折起使点A翻折到点P的位置连接PBPC当四棱锥P-BCFE的外接球的表面积最小时四棱锥P-BCFE的体积为
A.53
B.
33
C.
6
D.
36
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第
22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.
13.随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000名高中男生的身高ξ(单位:
cm)服从正态分布N(172,σ2),且P(172<ξ≤180)=0.4,那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为.
14.春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发,为了打赢疫情防控阻击战,我省某医院选派2名医生,6名护士到湖北A、B两地参加疫情防控工作,每地一名医生,3名护士,其中甲乙两名护士不到同一地,共有种选派方法.
15.已知a、b为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a)2+(y-b)2=4所得的弦长为
22,则a+1的最小值为.
16.在△ABC中,B、C的坐标分别为(-22,0),(22,0),且满足sinB-sinC=2sinA,O
→→2
为坐标原点,若点P的坐标为(4,0),则AO·AP的取值范围为.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
已知数列{an}满足:
21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·an=(n-1)·2n+1+2对一切
n∈N∗成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{a
1
n·an+2
}的前n项和Sn.
18.
(本题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD中,△ABD为等边三角形,△BCD是等腰三角形,且顶角∠BCD=120°,PC⊥BD,平面PBD⊥平面ABCD,M为PA中点.
(1)求证:
DM∥平面PBC;
(2)若PD⊥PB,求二面角C-PA-B的余弦值大小.
19.(本题满分12分)
贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战,建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署,即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个销售季度内,每售出一吨该产品获利5万元,未售出的商品,每吨亏损2
万元.经统计A,B两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表:
A市场:
B市场:
把市场需求量的频率视为需求量的概率,设该厂在下个销售周期内生产n吨该产品,在A、B两市场同时销售,以X(单位:
吨)表示下一个销售周期两市场的需求量,Y(单位:
万元)表示下一个销售周期两市场的销售总利润.
(1)求X>200的概率;
(2)以销售利润的期望为决策依据,确定下个销售周期内生产量n=190吨还是n=200
吨?
并说明理由.
20.
5
(本题满分12分)
已知椭圆C:
a2
+y2b2
=1(a>b>0)的离心率为5,右焦点为抛物线y2=4x的焦点F.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)
O为坐标原点,过O作两条射线,分别交椭圆于M、N两点,若OM、ON斜率之积为-4
求证:
△MON的面积为定值.
21.(本题满分12分)
已知函数f(x)=eax-x(a∈R,e为自然对数的底数),g(x)=lnx+mx+1.
(1)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,x[f(x)+x]≥g(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数m的取值范
围.
请考生在22、23二题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第
一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本题满分10分)
已知点A为圆C:
(x-1)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,过P(0,4)作直线OA的垂线(当A、O重合时,直线OA约定为y轴),垂足为M,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)
求点M的轨迹的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π)=4,连接OA并延长交l于B,求
23.[选修4-5:
不等式选讲](本题满分10分)已知函数f(x)=x+1.
(1)求不等式f(x)≤4-2x-3的解集;
(2)若正数m、n满足m+2n=mn,求证:
f(m)+f(-2n)≥8.
的最大值.
德阳市高中2017级“二诊”试题
数学参考答案与评分标准
(理工农医类)
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
A
C
A
B
D
C
B
D
D
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.300014.2415.3+2216.(12,+∞).
三、解答题
17.解:
(1)∵21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·an=(n-1)·2n+1+2①
∴当n=1时,21·a1=2
∴a1=12分
当n≥2时,21·a1+22·a2+23·a3+…+2n-1·an-1=(n-2)·2n+2②
①-②得:
2n·an=n·2n
∴an=n
适合a1=1,故an=n6分
(2)a
1a+2=n(1+
=1(1n-n+12)
……………………………………8分
∴S=1⎡⎢1
-1)+(1
-1)+(1
-1)+…+(1-
+1)⎤⎥
2⎢⎣13
2435
n2⎥⎦
=1(1+1
-n+1
-+1)
221n2
=n(3n+5).4(n+1)(n+2)
…………………………………………………
12分
18.
(1)证明:
设AB中点为N,连接MN、DN
∵△ABD为等边三角形
∴DN⊥AB
∵DC=CB,∠DCB=120°
∴∠CBD=30°
∴∠ABC=60°+30°=90°即CB⊥AB
∵DN⊥AB∴DN∥BC
∵BC⊂平面PBC,DN⊄平面PBC
∴DN∥平面PBC2分
∵MN为△PAB的中位线
∴MN∥PB
∵PB⊂平面PBC,MN⊄平面PBC
∴MN∥平面PBC4分
∵MN、DN为平面DMN内二相交直线
∴平面DMN∥平面PBC
∵DM⊂平面DMN
∴DM∥平面PBC6分
(2)解:
设BD中点为O,连接AO、CO
∵△ABD为等边三角形,△BCD是等腰三角形,且顶角∠BCD=120°
∴AO⊥BD,CO⊥BD∴A、C、O共线
∵PC⊥BD,BD⊥CO,PC∩CO=C,PC,CO⊂平面PCO
∴BD⊥平面PCO7分
∵PO⊂平面PCO∴BD⊥PO
∵平面PBD⊥平面ABCD,交线为BD,PO⊂平面PBD
∴PO⊥平面ABCD8分
设AB=2,则AO=3
在△BCD中,由余弦定理,得:
BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD
又∵BC=CD∴22=2BC2-2BC2·cos120°
∴CB=CD=23,CO=3
33
∵PD⊥PB,O为BD中点
2
∴PO=1BD=1
建立直角坐标系O-xyz(如图),则
C(-3,0,0),P(0,0,1),A(3,0,0),
B(0,1,0)9分
∴B→A=(3,-1,0),P→A=(3,0,-1)
设平面PAB的法向量为→n=(x,y,z),则
{→n·P→A=0{
3x-y=0
3x-z=0
取x=1,则y=z=3
∴→n=(1,3,3)…………………………………………………………
10
分
平面PAC的法向量为O→B=(0,1,0)
cos<→n,O→B>=
=217
…………………………………
11
分
∵二面角C-PA-B为锐角
7
∴二面角C-PA-B的余弦值大小为21.……………………………
12分
19.解:
(1)设“A市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件A1,A2,A3,“B市场需求量为
90,100,110吨”分别记为事件B1,B2,B3,则P(A1)=0.2,P(A2)=0.5,P(A3)=0.3
P(B1)=0.1,P(B2)=0.6,P(B3)=0.3.P(X>200)=P(A2B3+A3B2+A3B3)
…………………………………2分
=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A3)P(B3)
=0.5×0.3+0.3×0.6+0.3×0.3=0.425分
(2)X可取180,190,200,210,220
P(X=180)=P(A1B1)=0.2×0.1=0.026分
P(X=190)=P(A2B1+A1B2)=0.5×0.1+0.2×0.6=0.17………7分
当n=190时,E(Y)=(180×5-10×2)×0.02+190×5×(1-0.02)=948.6
……………………………………………………………………………9分
当n=200时,E(Y)=(180×5-20×2)×0.02+(190×5-10×2)×
0.17+200×5×(1-0.02-0.17)=985.3
∵948.6<985.3
…………………………
11分
∴n=200时,平均利润大,所以下个销售周期内生产量n=200吨.
20.解:
(1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)
∴c=1
…12分
∵e=5
c=5
a5
∴a=5,b=2
∴椭圆方程为x2
+y2
4
=13分
(2)当MN与x轴垂直时,设直线MN的方程为:
xx2
代入5
+y2
4
=1得:
M(t,25-t2),N(t,-2)
∴k·k=
5-t2
5·
=-4·5-t2
12t
t5t2
∴-4·5-t2=-4
解得:
t2=5
5
∴S△MON
t2
=1
2
5
t·4
2
=54分
当MN与x轴不垂直时,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的方程为y=kx+m
⎧⎪y=kx+m
⎪
由⎨x2
⎪⎩5
y2=1
⇒(4+5k2)x2+10kmx+5m2-20=0
……………5分
由△>0⇒5k2+4>m2①
x1+x2
=-10km
4+5k2
x1·x2
=5m2-206分
∵k·k
=-4
∴y1·y2
=-4
∴5yy
+4xx
=0……7分
OMON5
x1x25
1212
即(5k2+4)x1·x2+5mk(x1+x2)+5m2=0
∴(5k2+4)·5m2-20+5mk·(-10km)+5m2=0
4+5k2
整理得:
2m2=5k2+4
代入①得:
m≠0
4+5k2
…………………………………………………9分
MN=1+k2(x1+x2)2-4x1·x2
=1+k2·
10km
4+5k2
25m2-20
4+5k2
4+52k
=451+k25k2+4-m2
………………………………
10
分
O到MN的距离d=m
1+k2
…………………………………………
11
分
1
MON2
MNd
=25
=25
=5
m
4+5k2
m
2m2
综上:
S△MON=5为定值.………………………………………………
21.解:
(1)f(x)有两个零点⇔关于x的方程eax=x有两个相异实根由eax>0,知x>0
12
分
∴f(x)有两个零点⇔a=lnx有两个相异实根.
令G(x)=lnx,则G′(x)=1-lnx
…………………………1分
xx2
由G′(x)>0得:
0x>e
∴G(x)在(0,e)单调递增,在(e,+∞)单调递减
∴G(x)max=G(e)=1e2分
又∵G
(1)=0∴当01时,G(x)>0
当x→+∞时,G(x)→03分
∴f(x)有两个零点时,实数a的取值范围为(0,1e)4分
(2)当a=1时,f(x)=ex-x
∴原命题等价于xex≥lnx+mx+1对一切x∈(0,+∞)恒成立
⇔m≤ex-lnx-1对一切x∈(0,+∞)恒成立5分
令F(x)=ex-lnx-1(x>0)∴m≤F(x)min
xx
F′(x)=ex+lnx=x2ex+lnx
x2x2
令h(x)=x2ex+lnx,x∈(0,+∞),则
h′(x)=2xex+x2ex+1x>0
∴h(x)在(0,+∞)上单增
e
又h
(1)=e>0,h
(1)=e1e-2-1∴∃x0∈(1e,1),使h(x0)=0即x2ex0+lnx0=0①当x∈(0,x0)时,h(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0即F(x)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增
…………7分
∴F(x)min=F(x0)=ex0-lnx0-1
………………………………………8分
x0x0
由①知x2ex0=-lnx∴xex0=-lnx0=1ln1
=(ln1)elnx1
000
0
x0x0x00
∵函数φ(x)=xex在(0,+∞)单调递增
∴x0=lnx1即x0=-lnx0…………………………………………………
10
分
∴F(x)
=e-lnx0--x0-1
=1
+1-1=1
………………………
11
分
min
∴m≤1
x0x0x0x0
∴实数m的取值范围为(-∞,1]12分
22.解:
(1)设M的极坐标为(ρ,θ),在△OPM中,有ρ=4sinθ
∴点M的轨迹的极坐标方程为ρ=4sinθ4分
(2)设射线OA:
θ=α,α∈(-π,π),圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ
2
由ρ=2cosθ得OA=ρθ=α1
⎧⎪ρsin(θ+π)=4
2
=2cosα5分
由⎪3
得:
OB=ρ2=
………………………6分
⎪⎩θ=α
∴
=2cosα
sin(α+3)
4
sin(α+π
=1cosα·sin(α+π)
2
=1cosα(sinαcosπ
3
+cosαsinπ)
233
=1sinαcosα+3cos2α
44
=1sin2α+3(cos2α+1)
88
=1sin(2α+π)+3
…………………………………………8分
438
∵α∈(-π,π)∴-2π<2α+π<4π
22333
∴当2α+π=π,即α=π时,(OA)=2+39分
3212
OBmax8
∴的最大值为2+3..…………………………………………
10分
-(+--x1)(2x3)≤4
23.解:
(1)f(x)≤4-2x-3等价于{x<-1或
⎧⎪-1≤x≤3
⎧⎪x>3
⎪
⎨
⎪2或⎨2
⎪⎩(x+1)