初中数学中空间与图形学习的难点与解决策略.docx
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初中数学中空间与图形学习的难点与解决策略
专题讲座
罗琳
序号
主要环节
讲座内容
（文字中加入下划线的都是PPT里面需打出的字幕内容）
时长
1
引入
字幕：
PPT1（出现讲座题目）
老师们，大家好！
数学是一门严谨的学科，它对逻辑推理能力的培养起着独特的作用，经过严格的训练，可以使人清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据，正如加里宁所说的那样：
“数学是思维的体操.”初中数学中，空间与图形的学习从“图形的认识”、“图形与变换”、“图形与坐标”、“图形与证明”四个方面展开学习.空间与图形的学习更能突出对学生逻辑推理能力的培养.但逻辑推理能力的培养要有一个循序渐进的过程，不能一蹴而就，弄得不好，有可能出现大面积的分化现象.因此，对于初中数学空间与图形的学习，很多教师感到难教，学生感到难学.
本节课我们研究的主要内容是“初中数学中空间与图形学习的难点和解决策略”．
今天，我们主要从以下三个方面来进行具体研究：
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（一）空间与图形学习难点产生的主要方面
（二）空间与图形学习难点产生的主要原因
（三）空间与图形学习难点解决的主要策略
30秒
2
（一）
《空间与图形学习难点产生的主要方面》
首先，我来谈谈初中阶段空间与图形的学习究竟难在什么地方呢？
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（一）空间与图形学习难点产生的主要方面
初中学生开始学习空间与图形的相关知识时确实存在很多困难，概念集中又抽象，难理解；由“数”转入“形”，难适应；推理论证逻辑性强，难下手.具体表现在：
1、不会说――不会用几何语言进行描述；
常用的几何语言，如“两两（相交）”、“任意（取）画”、“任何一个”、“有且只有”等，学生常常不能正确理解这些语言.又如“任意画一条直线垂直于已知直线”这句话中，“任意”画并不完全是“任意取”的意思.对此，学生有时分不清楚.
表示图形位置或大小关系的词语，如“相邻”、“互相”、“互为”、“等角”、“等边”等，学生则常常分不清这些词语表述几个图形或几个量.如分不清“互为余角”表示的是两个角（不是一个角，也不是多于两个角）的关系.
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2、不会画――不会正确画出合乎要求的几何图形；
表示画图的语言.如直线AB与CD相交于B点，学生们总在一条直线上标出两个B点.再如“过点×作直线××，使它平行（垂直）于直线××”等，学生难以根据这类文字语言做出正确的画图动作；把画图过程表述为文字语言时，又往往不会使用规范的语句.
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3、不会想――不会根据题意分析探索解题途径；
对于几何推理的思考，对学生是一个很大的挑战.学生如何将学习过的定理应用于证明过程中，如何在一个几何图形中寻找到熟悉的基本图形，如何去解决图形运动后的变化，都是在几何推理中遇到的困难.
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4、不会写――不会合乎逻辑地有条理的写出解题过程.
如何将几何证明推理过程书写清楚、准确，对学生是一个更大的挑战.过分专业而严密的叙述要求是不少学生无法逾越的语言表述的障碍.本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了.
3分
3
（二）
《空间与图形学习难点产生的主要原因》
很多学生一见几何就发怵，久而久之一部分学生放弃了几何的学习.要搞好初中数学中空间与图形的教学，了解学生学习难点产生的原因是关键.初中数学中几何难学的症结究竟在哪里呢？
我认为主要由以下三方面原因造成：
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（二）空间与图形学习难点产生的主要原因
1、学科内容变了，而学生的学习方法没变.
在小学数学和初中代数的学习阶段，主要是研究数与式的计算和恒等变形，始终围绕着数量关系进行，虽然也有对图形面积的计算，但仍是对几何量的运算.在学习方法上，以模仿、反复训练为主，达到熟练掌握的目的.学生往往比较重视运算的结果，而对为什么这样计算重视不够.而初中增加了平面几何以后，研究对象由研究“数与式的运算”为主，转到研究“图形性质”为主，不但要得到结论，更要说明道理.要学习大量的几何概念和几何定理，需要逐字逐句的理解，理解定理的证明和作用；还要接触大量的几何图形，需要观察图形的特点，认识图形的性质；使用的语言由以“代数语言”为主，转到了以“几何语言”为主，要学会使用几何语言对命题进行有条理清晰的论证.学生对由数到形，由计算到推理的变化开始很不适应.这是学生认为几何难学的原因之一.
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2、思维特点变了，而学生的思维方法没变.
学生在小学的几何学习分为两个阶段，小学的第一学段研究简单图形主要是通过实物和模型辨认简单几何体和平面图形，感受图形变换现象，学习描述物体相对位置的一些方法，进行一些简单的测量活动.
小学的第二学段主要是了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，进行一些观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，并侧重于面积和体积的计算.对一些图形性质的认识往往通过观察、实验操作等手段获得，在思维方法上以形象思维为主.
而初中平面几何却不但要“知其然”，还要“知其所以然”，要从逻辑关系上来认识图形的性质.在这一学段学生将探索基本图形的基本性质和相互关系，要通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；在探索图形性质中，发展合情推理，要学习有条理地思考与表达，能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；要从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，体会证明的必要性，理解证明的基本过程.
在思维方法上转到以抽象思维为主.从通过观察、实验操作获得一些图形性质的认识到通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明获得图形的性质，学生对这一变化开始很不适应，对逻辑关系搞不清楚，抓不住要领，表达混乱.这是学生认为几何难学的原因之二.
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3、学生年龄特点变了，教材及教法不适应.
初中学生的好奇心、好强心明显增加，但又不稳定，常常随着兴趣而转移.刚开始学习平面几何时，有新奇感，并表现出一定的兴趣.但几何入门阶段概念多，学生容易感到枯燥无味，加之难度不大，因而往往在学习中掉以轻心；由于部分教师驾驭教材的能力不够，不能对教材进行再加工，照本宣科，不能把知识讲活、讲出趣味，从概念到概念，从定理到定理，讲得枯燥乏味，无法激发学生的学习兴趣.老师们也常常感到起始阶段内容零碎，对这些零碎的几何知识的重要性认识不够，因而压缩教学时数，尽早进入平面几何的推理阶段.也是造成几何难学困难的一个原因.
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（三）
《空间与图形学习难点解决的主要策略》
由平面几何学科特点，在不同的学习阶段学生会遇到不同困难，但这些困难是可以克服的，只要处理得法，不但使学生克服了畏难情绪，而且学习几何的积极性大大提高，学习的效果也十分明显.
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（三）空间与图形学习难点解决的主要策略
1、精心设计，激发兴趣.
在初中数学中，几何主要研究图形的形状、大小和位置关系，虽然小学阶段学生接触过一些简单的几何图形，但比较粗浅，属于感性认识阶段.升入中学后，学生开始系统地学习几何图形，教师要千方百计在教学中精心设计教学环节，从激发兴趣入手，唤起学生的求知欲.
利用动手实践活动可以消除学生对几何的畏惧感，一开始就乐学.实践活动留给学生的感受和印象是深刻的，在学习平面几何的教学过程中，教师要充分利用实践活动，注意对学生非智力因素的开发，用具有趣味性、启发性、思考性和知识性的活动，叩开学生思维的大门.
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（1）找中学.
初中数学中许多几何概念的学习，一般都可从生活实例中引入.学习概念之初，可以让学生找一找生活中见到的和概念相关的几何图形，如衣服上纽扣的形状、茶几面的形状、建筑物的形状、交通标识、国旗图案、钟表形状、花瓶形状、花瓣形状等等，让学生感受到我们周围存在着千千万万美丽而神奇的图形，帮助学生消除对几何的距离感.
对于学生来说，认识并了解一个几何知识的内涵和性质也许并不困难，困难的是在复杂几何图形中识别基本图形，应用相关性质解题.“找中学”还可以体现在几何知识的应用上.
《三角形中位线》的教学环节里，在学生理解了三角形中位线的定义、证明了三角形中位线定理的基础上，我设计了一道例题：
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PPT19-21
例题：
如图，AF=FD=DB，FG∥DE∥BC，
（1）请找出图中所有的中点；
（点F、点D、点、点E、点P）
提问：
为什么点G是线段AE的中点？
（2）请找出图中的三角形中位线；
（三角形中位线FG、三角形中位线DP、三角形中位线PE）
提问：
DE是三角形中位线吗？
（3）如果PE=1.5，你可以求出哪些线段的长度？
这个看似简单的例题，起点很低，可以满足不同层次学生的学习需求.此外，三个问题层层递进，培养学生从复杂图形中分离基本图形的能力，结论的发散又培养了学生思考问题的周密性和严谨性.
在学生一次次寻找求解的过程中，熟悉了三角形中位线的定义和性质，同时进行了“概念对比”（“三角形中位线”和“梯形中位线”）和“定理对比”（“过三角形一边的中点做另外一边的平行线，必平分第三边”和“三角形中位线定理”），用类比学习的方法很自然地让学生理解了两个概念、两个定理之间的区别和联系.
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PPT22-31
（2）拼中学。
初中学生喜欢动手，教学中教师要给他们创造动手的机会。
例如：
七巧板是我国古代发明的一种拼图游戏，通过拼图可以发展学生的思维能力、开发智力。
七巧板是由七块图形组成的，有5个三角形、1个正方形和1个平行四边形。
学生用它们可以拼出平面图形。
如三角形、平行四边形、长方形、等腰梯形。
也可以拼出特殊图形，比如动物：
“拼中学”还可以应用在重要几何定理的证明上。
例如，在《勾股定理》的教学中，安排下面的一个学生活动：
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动手拼一拼：
用四个全等的直角三角形拼一拼，在拼出的图形中，能否同时得到两个正方形，其中一个是以斜边C为边长的正方形？
学生用课前准备的直角三角形分小组活动，教师巡视指导。
活动结束后，两个小组的学生代表发言，教师把两种不同的拼法展示在黑板上，并提出新的问题：
能否用两种方法表示这个以斜边C为边长的正方形的面积？
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（3）折中学。
几张纸片，一把剪刀，简单的工具包含丰富的内涵。
图形折叠，它主要培养学生的动手操作与空间想象能力，培养学生的创新精神和实践能力。
图形的折叠实际上就是对称变换，或者说是翻折，以折痕为载体，内容丰富，变化多端，解法灵活，具有开放性。
在几何教学中，充分利用图形的折叠，可以突破教学的难点。
例如：
在《梯形
（1）》的教学中，完成梯形定义的学习后，教师安排了一组学生活动，通过折叠、剪拼，增强学生对三角形、四边形与梯形之间关系的认识，从而引出梯形中一些常见的辅助线，为后面的教学突破了难点。
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活动一：
由三角形、四边形得到梯形。
①三角形（含等腰三角形、直角三角形）
学生活动1：
将三角形纸片折叠一次得到梯形，说明操作方法。
并思考由特殊三角形能得到特殊梯形吗？
说明操作方法及理由。
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②四边形（含平行四边形、矩形等）
学生活动2：
将特殊四边形转化成特殊梯形（以平行四边形和矩形为例）
平行四边形—直角梯形、等腰梯形
矩形—直角梯形、等腰梯形
教师巡视、指导，学生可利用对称性和基本作图可以获得多种转化的方法。
教师强调：
由特殊四边形得到特殊梯形关键是把握二者的定义，保留共性、改变区别。
-----一保留、一破坏、一建立。
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活动二：
由梯形得到三角形、平行四边形（含特殊）
学生活动3：
给你一个一般的梯形，你能将其转化为我们熟悉的三角形或平行四边形吗？
教师巡视指导，学生感到困难时教师引导：
分为分割图形与补全图形两类进行探索。
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①已知一个梯形，在其内部进行分割从而转化为我们熟悉的三角形、平行四边形.
教师引导：
对已知梯形进行分割.
②已知一个梯形，可以将其补全为三角形或平行四边形.
教师引导学生思考：
按照前面的作法反推回去.
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③已知一个梯形，可以将其分割后再拼接成三角形或平行四边形.
与中点有关：
（此类辅助线根据学生情况机动处理、不特意给出）
教师提问：
能否根据辅助线的不同作法将上述图形进行归类？
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活动三：
根据折叠、分割、补全等操作方法进行归类---即梯形中常见的辅助线。
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①平移梯形的一腰：
转化为平行四边形和三角形
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②做梯形的高线：
转化为矩形和三角形
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③联结或延长，转化为三角形
教师小结：
将新图形转化为已知的、熟悉的、简单的图形体现了数学中重要的转化思想，利用这种方法可以解决很多与梯形有关的问题。
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例：
在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=16，AB=24，∠B=60°，∠A=30°，则BC=______.
教师引导：
观察图中的已知条件之间没有直接联系，已知与所求之间的关系也不明确.因此考虑如何添加辅助线可使分散的条件集中到一起？
方法1：
平移一腰构成直角三角形和平行四边形；
方法2：
延长梯形的两腰交于一点，转化为两个直角三角形；
方法3：
作梯形的两条高，转化为矩形和两个直角三角形.
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PPT45-51
（4）玩中学。
学生身边都有火柴棍，教师可以让学生用它做拼图游戏。
在《三角形边的性质》的教学中，教师提出问题：
（1）拼一个三角形至少要几根火柴棍?
（2）用4根火柴棍能不能拼成一个三角形?
（3）用5根火柴棍能不能拼成一个三角形呢?
学生通过动手拼图，很快可以发现答案。
教师继续提出问题：
（4）其中两条边都用2根，第三条边最多要几根?
（5）要用5根拼成两个各边都相等的三角形，如何拼?
（6）用6根如何拼出4个三角形呢？
动手试一试。
最后这个问题有的学生自己解决有点难度，教师可以让学生通过小组合作交流、讨论，得出答案。
让学习程度好点的学生当小老师教给其他同学。
这样做的目的是使学生通过拼图，培养学生合作交流意识，并加深对平面图形和立体图形的初步认识。
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（5）画中学。
在《平移变换》例题教学中，为了让学生能进一步多角度地认识平移图形的形成过程，培养学生的发散思维能力，我设计了一道开放性的课堂例题．
[拓展练习]如图这是由一个边长为a的正方形沿水平方向平移
得到的图形.
∙数一数这个图案中共有几个正方形；
②若按此方法连续做2次平移，可得怎样的图案？
该图案中共有几个正方形？
若按此方法连续平移3次呢？
4次呢？
5次呢？
n次呢？
③我们知道，对一个图形进行平移，可按不同方向、移不同距离.现有一个边长为a的正方形，请你将这个正方形连续平移3次，可得怎样的图案？
你能给这个图案起个名字吗？
答案：
①3（见图1）；②7（见图2）；11（见图3）；15（见图4）；（4n-1）；
③将这个正方形连续平移3次，可得到图案：
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2、培养能力，循序渐进。
当学生有了强烈的求知欲望，便会在教师的指导下，在几何的王国中漫游。
但能力的培养还有待于深化和提高，是贯穿几何教学的一个重要方面。
下面谈谈在平面几何教学中如何培养学生的能力。
我在平面几何教学中意识到，一方面要激发学生的学习兴趣，另一方面，要循序渐进的引领学生走进推理之门。
这需要一个过程，于是,我不失时机地结合教学内容,注重不同能力的培养，开发学生的智力。
接下来，我将结合教学实践从观察能力、归纳能力、分类思想以及推理能力的培养加以说明。
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（1）观察能力的培养。
观察是人们认识事物的重要方法，在现实生活以及数学中应用十分广泛。
锐敏的观察力能使学生抓住本质，产生联想，发现解决问题的途径；还能启发学生辩证思考，展开创造性思维活动．
我以实际生活中的日历为背景，为学生设计了“看一看，说一说”的活动，通过提问学生“用方框框出日历中的四个数之间有什么数量关系？
”。
组织学生充分讨论，通过交流不同的想法，使学生认识到可以从不同角度进行观察。
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接着我又为学生设计了“看一看，数一数”的活动。
通过向学生提问“观察图中共有多少条线段？
”我注意到学生的观察过程与方法不尽相同。
于是，我引导学生提炼出有序的计数方法，从而使学生认识到观察是有顺序和规律的，也为归纳能力的培养做好铺垫。
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我还为学生创设了“看一看，拼一拼”的情境。
两位同学分别用七巧板拼人物，拼好后，一同学发现左图中的人少了一只脚，问题出在哪里呢？
通过此例，让学生意识到单靠观察解决问题会产生困难，可以借助动手操作辅助解决问题，从而渗透了操作意识。
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最后，我在“看一看，量一量”的教学环节中，让学生通过观察，比较图中两条线段的长短，再用刻度尺度量，检验观察结果，使学生达成共识：
观察是获得感性认识的重要途径，但观察得到的结果是否正确，还需要经过验证。
正如恩格斯所说：
“单凭观察所得的经验，是绝不能充分证明它的必然性的。
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（2）归纳能力的培养。
归纳是一种推理方法。
包括不完全归纳法和完全归纳法（又称枚举法）。
平面几何阶段侧重于引导学生用不完全归纳法找出图形间的内在规律去解决问题。
我在教学时特别注重引导学生参与归纳的过程，逐步熟悉和掌握这种归纳方法。
还以数线段问题为例。
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在线段AB上取99个点，一共可以得到多少条线段（包括线段AB在内）？
此例与在观察能力的渗透中所选用的数线段问题相比复杂多了。
我在教学时为学生铺设了五个台阶，让学生逐步适应不完全归纳法。
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台阶一：
从一开始，复杂问题简单化。
由于在观察能力的渗透中已经铺垫了数线段方法，我引导学生分别在线段AB上取一个点、两个点、三个点时，数出图中的线段数，让学生学会把复杂问题简单化。
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台阶二：
关注计数过程，用算式表示结果。
我通过引导学生用算式表示计数的结果，让学生感受到过程对发现规律重要性。
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台阶三：
应用所得规律，解决相应问题。
在这个环节中，我组织学生自主活动，照此规律，在线段AB上取4个点、9个点乃至99个点的问题都迎刃而解了。
我还鼓励学生畅谈心得，让学生深刻体会到归纳是帮助我们利用由一般与特殊的相互转化解决复杂问题的有效途径。
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PPT71--72
台阶四：
由特殊到一般，用数学语言揭示规律。
我组织学生先用文字语言表述一般规律，再利用符号语言进行表达。
我还鼓励其他学生修改完善，使学生感受到归纳是一个由特殊到一般的抽象过程。
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台阶五：
类比图形归纳，建立图形之间的内在联系。
在收获数线段的规律后，数角、数三角形以及数矩形等计数问题都可以类比数线段的规律归纳得到。
总之，归纳可以升华学生的认识，增强学习的动力。
数线段的例子实际上是按照华罗庚教授提出的“先退后进”的思想去操作的。
意思是说：
先退,退到不能退,又不失本质为止,得到结论；然后再进,总结出规律；最后解决最初提出的问题。
这个问题就是由最初的线段上有99个点的问题先退到线段上有1个点，逐个增加到2个点、3个点后发现规律，最后解决线段上有4个点、9个点、99个点等问题。
当线段上有n个点时，共得到多少条线断呢？
这个问题要根据学生的实际情况安排。
其实，几何学习中，“一题多解”也是对学生归纳能力的渗透和培养。
字幕：
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例题：
在ΔABC中，∠A=30º，∠B=45º，AC=8，求AB的长.
学生发现这个三角形不是直角三角形，如何求解呢？
教师要引导学生考虑：
能否把未知边放到直角三角形中求解.
学生经过思考想到：
可以通过作高把斜三角形问题转化为直角三角形问题.教师要展示学生添加的不同的辅助线，让学生自己发现作出AB边上的高线时求解最方便，因为这时30º、45º和8的条件都可直接使用.
字幕：
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对一个斜三角形，通常可以通过作一条高，而将斜三角形转化为两个直角三角形，并且要尽量使直角三角形中含有特殊的锐角（如30º、45º、60º的角），然后通过解直角三角形而得到原来斜三角形的边、角信息，这就体现了化归的数学思想.
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（3）分类思想的培养。
由于平面几何的研究对象主要是图形之间的数量关系和位置关系。
不同位置往往决定了不同的数量。
按照图形的位置进行分类是十分必要的。
我通过提问学生“平面上有四个点，过每两点画一条直线，那么一共可以画多少条直线？
”引导学生考虑这个问题时，要将平面上四点按其不同的分布位置加以分类才能得到不重不漏的结论。
这样，正确的答案应为一条、四条或六条。
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分类讨论思想的培养，是平时几何教学中的难点，应注意一题多变，铺好台阶，让学生循序渐进地体会、感悟、理解、掌握这个重要的数学思想方法。
例如，在学完“线段中点”的相关知识后，很多教师都会选用下面这道典型例题：
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已知：
点C是线段AB上任意一点，D、E分别是线段AC、BC的中点，AC=10，BC=6.
求：
DE的长.
（学生很容易画出图形，利用线段中点得出DE的长.）
图1
教师可出示不同的变式题目：
变式一：
已知：
点C是射线AB上一点，D、E分别是线段AC、BC的中点，AC=10，BC=6.
求：
DE的长.
分析：
此题应分成两种情况讨论，点C在点B的左侧或点C在点B的右侧，从而得到两个答案。
变式二：
已知：
点C是直线AB上一点，D、E分别是线段AC、BC的中点，AC=10，BC=6.
求：
DE的长.
分析：
此题应分成三种情况讨论，点C在点A的左侧、点C在线段AB内或点C在点B的右侧，再结合线段AC和BC的长度，排除点C在点A的左侧的情况，从而得到两个答案。
这样的例子在几何的教学中特别多。
遵循“不重不漏”的原则进行分类，这对培养学生思维的严谨性颇有益处。
另外从初中几何学习的起始阶段，就要训练学生从不同的角度思考问题，注重分类思想的培养。
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（4）推理能力的培养.
数学思维能力是数学素质的重要表现，如何在几何课中培养学生的逻辑推理能力是需要
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