三年级奥数盈亏问题.docx

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三年级奥数盈亏问题

盈亏问题

知识结构

盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余（也就是盈），如果每人多分，则物品就不足（也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．

可以得出盈亏问题的基本关系式：

人数或单位数人数或单位数人数或单位数

（盈亏）两次分得之差

（盈盈）两次分得之差

（亏亏）两次分得之差

注意：

1.条件转换；2.关系互换.

物品数可由其中一种分法和人数求出

情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”

.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种

例题精讲

【例1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则

少2块砖．这个班少先队有几个人？

要搬的砖共有多少块？

【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：

每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块．这两

次搬砖，每人相差541（块）．第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：

729（块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员919（人）．共有砖：

49743（块）．

【答案】9人，搬43块

巩固】把一堆糖果分给小朋友们，如果每人2块，将剩余12块；每人3块，将缺少2块，那么小朋友

共有人。

题型】填空

考点】盈亏问题【难度】1星

关键词】2004年，第2届，希望杯，4年级，1试解析】盈亏问题：

（12+2）÷（3-2）=14人答案】14人

例2】王老师去琴行买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还多30

元，问儿童小提琴多少钱一把？

王老师一共带了多少钱？

考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答

解析】本题购物的两个方案，第一个方案：

买7把差110元，第二个方案：

买5把还多30元，从买7

把变成买5把，少买了752（把），而钱的差额为：

11030140（元），即140元可以买2把小提琴，可见小提琴的单价是每把70元，王老师一共带了707110380（元）.

答案】小提琴单价70元，共带380元

巩固】小明的妈妈去买苹果，想买3千克，付钱时发现还少3元，结果买了2千克，又剩下7元，小明妈妈一共带了钱．

考点】盈亏问题【难度】1星【题型】填空

关键词】2010年，学而思杯，1年级

解析】由题意可知，1千克苹果是7310元，妈妈一共带了1010727（元）钱．答案】27元

例3】猪妈妈带着孩子去野餐，如果每张餐布周围坐4只小猪就有6只小猪没地方坐，如果每张餐布周围多坐一只小猪就会余出4个空位子，问：

一共有多少只小猪，猪妈妈一共带了多少张餐布？

解析】每张餐布周围多坐一只小猪就是坐5只小猪，余出4个空位子就是少4只小猪，所以原问题可以转化为：

如果每张餐布周围坐4只小猪，则多出6只没处坐；如果每张餐布周围坐5只，还少4只，求有多少只小猪多少张餐布？

所以餐布数是：

（6+4）÷1=1（0张），有小猪：

10×4+6=46（只）.答案】10张餐布，46只小猪

巩固】某校安排学生宿舍，如果每间住5人则有14人没有床位；如果每间住7人，则多出4个床位，问宿舍几间?

住宿生几人?

考点】盈亏问题【难度】2星【题型】解答解析】由已知条件

每间5人少14个床位

每间7人多4个床位比较两次分配的方案，可以看出，由于第二种方案比第一种每间多住（75）2人，一共要多出（144）18个床位，根据两种方案每间住的人数的差和床位差，可以求出宿舍间数，然后根据已知条件可求出住宿生人数．（414）（75）=9（间），591459（人），或79459（人）

答案】9间教室，59人

例4】小强由家里到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。

小强家到学校的路程是多少米？

考点】盈亏问题【难度】2星【题型】解答解析】迟到3分钟转化成米数：

503150（米），提前2分钟到校转化成米数：

602120（米），距

离上课时间为：

（150120）（6050）27（分钟），家到学校的路程为：

50（273）1500（米）．答案】1500米

巩固】东东从家去学校，如果每分走80米，结果比上课提前6分到校，如果每分走50米，则要迟到3

分，那么东东家到学校的路程是米．

考点】盈亏问题【难度】2星【题型】填空

解析】这道题看似行程问题，实质却可以用盈亏问题来解.先求出东东从家到学校路上要用多长时间，根据已知，（806503）（8050）6303021（分钟），然后可求东东家离校的路程为：

80（216）1200（米）．

答案】1200米

例5】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4

元．那么有多少个同学去买蛋糕？

这个蛋糕的价钱是多少？

考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答

解析】“多8元”与“多4元”两者相差844（元），每个人要多出871（元），因此就知道，共有414（人），蛋糕价钱是84824（元）．

答案】有4人买蛋糕，蛋糕价钱为24元

巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？

老猴子一共有多少个桃子？

【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答【解析】老猴子的第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和是927（个），两次分配Page3of9

717（只），老猴子有710979

之差是11101（个），由盈亏问题公式得，有小猴子：

（个）桃子.

答案】小猴子7只，老猴子有79个桃子

例6】学而思学校新买来一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本，每人发9本，

还差2本，请问有多少老师？

多少本书？

考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答

解析】“差9本”和“差2本”两者相差927（本），每个人要多发1091（本），因此就知道，共有老师717（人），书有710961（本）．

答案】老师7人，书有61本

巩固】幼儿园给获奖的小朋友发糖，如果每人发6块就少12块，如果每人发9块就少24块，总共有多少块糖呢？

考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答解析】由题意知：

两次的分配结果相差：

241212（块），这是因为第一次与第二次分配中每人相差：

963（块），多少人相差12块呢？

1234（人），糖果数是：

641212（块）（或942412）．

答案】12块

例7】学而思学校三年级基础班的一部分同学分小玩具，如果每人分4个就少9个，如果每人分3个

正好分完，问：

有多少位同学分多少个小玩具？

考点】盈亏问题【难度】2星【题型】解答解析】第一种分配方案亏9个小玩具，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是9个，两次分配之差是：

431（个），由盈亏问题公式得，参与分玩具的同学有：

919（人），有小玩具9327（个）．答案】9个学生分27个玩具

巩固】学而思学校买来一批小足球分给各班：

如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？

买来多少个足球？

解析】第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是422（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：

66233（个）班，买来足球33266（个）.

答案】共有33个班，足球66个

例8】实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，

恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？

考点】盈亏问题【难度】3星【题型】解答

解析】没辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：

（65+15）÷5=80÷5=1（6辆）.学生人数为：

60×（16-1）+15=60×15+15=900+15=915（人）.答案】车16辆，人数915人

巩固】阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？

考点】盈亏问题【难度】3星【题型】解答

解析】每车多坐5人，实际是每车可坐56570（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，

即70人．因而原问题转化为：

如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？

车数是（5565）515（辆），人数是65155980（人）或（565）（151）980（人）．

答案】汽车15辆，学生980人

例9】幸福小学少先队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出7人，若每条长椅上多坐4

人则多出3条长椅．问：

到会议室开会的少先队员有多少人？

考点】盈亏问题【难度】3星【题型】解答解析】第二个条件可转化为：

“每条长椅上坐7个人，则少21个人”，“多7人”与“少21人”两者相差

72128（人），每条长椅要多坐734（人），因此就知道，共有2847（条）长椅，人数是73728（人）．

答案】28人

巩固】学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间．问宿舍有多少间？

新生有多少人？

考点】盈亏问题【难度】3星【题型】解答

解析】每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5315（人），由此可见，每一个房间增加532（人）．两次安排人数总共相差231538（人），因此，房间总数是：

38÷2＝19（间），学生总数是：

3192380（人），或者5195380（人）．

答案】宿舍19间，新生80人

课堂检测

【随练1】智康学校三年级精英班的一部分同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒则少6粒，问：

有多少位同学分多少粒糖果？

【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答

【解析】由题目条件知道，同学的人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，第一种每人分4粒就多9粒，第二种每人分5粒则少6粒，两种不同方案一多一少差9+6=15（粒），相差原因在于两种方案分配数不同，两次分配数之差为：

5-4=1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分糖果的同学的人数是15÷1=15（位），糖果的粒数为：

4×15+9=69（粒）.

【答案】15位同学分69粒糖

【随练2】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班

有多少学生，多少练习本呢？

【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答

【解析】由题意知：

第一种方案：

每人发5本多出70本；第二种方案：

每人发7本多出10本；两种方案分配结果相差：

701060（本），这是因为两次分配中每人所发的本数相差：

752（本），

相差60本的学生有：

60230（人）．练习本有：

30570220（本）（或30710220）．

【答案】30人，220本练习本

【随练3】学校为新生分配宿舍．每个房间住3人，则多出22人；每个房间多住5人，则空1个房间．问

宿舍有多少间？

新生有多少人？

【考点】盈亏问题【难度】3星【题型】解答

解析】每个房间住3人，则多出22人，每个房间多住5人，意味着就是每个房间住8个人,则空出1个房间，这1个房间如果住满人应该是188（人），由此可见，每一个房间增加835（人）．两次安排人数总共相差22830（人），因此，房间总数是：

3056（间），学生总数是：

362240（人）．

答案】宿舍6间，新生40人

家庭作业

【作业1】秋天到了，小白兔收获了一筐萝卜，它按照计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出

48个萝卜；如果每天吃6个，则又少8个萝卜．那么小白兔买回的萝卜有多少个？

计划吃多少天？

考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答

解析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个萝卜；每天吃6个，少8个萝卜．观察每天吃的个数与萝卜剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，萝卜从多

出48个到少8个，也就是所需的萝卜总数要相差48＋8＝56（个）．从这个对应的变化中可以看

出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个萝卜了．吃的天数：

（48＋8）÷（6－4）＝56÷2＝28（天），萝卜数：

6×28－8＝160（个）或4×28＋48＝160（个）．

答案】160个萝卜吃28天

如果买每本3.5元的日记本，将剩余2.5元；

2.4元。

那么班长计划买本日记本。

【题型】填空

24题

作业2】班长计划用班费买一些日记本作为文娱活动的奖品，如果买每本4.2元的同样数量的日记本，将缺少

【考点】盈亏问题【难度】2星

关键词】2004年，希望杯，第二届，五年级，一试，第解析】（2.5+2.4）÷（4.2-3.5）=（7本）

答案】7本

作业3】王老师由家里到学校，

如果每分钟骑车500米，上课就要迟到3分钟；如果每分钟骑车600米，

就可以比上课时间提前

2分钟到校.王老师家到学校的路程是多少米？

考点】盈亏问题

【难度】2星【题型】解答

解析】迟到3分钟转化成米数：

500×3=1500（米），提前两分钟到校转化成米数：

600×2＝1200（米）王

老师家到学校需要（1500＋1200）÷（60-50）=270（分钟），王老师家到学校的路程：

500×（270+3）

＝136500（米）

答案】136500米

作业4】智康小合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则

多出3人.问：

合唱队有多少人？

考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答

解析】“多9人”与“多3人”两者相差9－3＝6（人），每条长椅要多座4－3＝1（人），因此就知道，共有6÷1＝6（条）长椅，人数是6×3+9＝27（人）．

答案】27人

作业5】某学校组织师生去春游，准备租用如图1示的两种客车。

若租若干辆车45座的客车，则有15

人没有座位；若租60座的客车，则可少租一辆且恰好全部坐满。

按照最省钱的方案租车，租金至少需元。

【考点】盈亏问题【难度】3星【题型】填空

【关键词】2007年，希望杯，第五届，四年级，二试，第9题

【解析】租60座的客车的话，原来多出的一车人和另外15人共计45+15=60人，被前面几辆车都消化掉了，所以60座的客车租了60÷（60-45）=4辆，所以一共有60×4=240人，由于45座的车单座价格比60座的单座价格便宜，所以尽量使用45座车，如果全用那么需要6辆，其中一辆只装了15人.如果用一辆60座的，则剩下180人正好装180÷45=4辆，相比较后一种省钱，所以租金至少为300+215×4=1160元.

【答案】1160元

【作业6】甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2张信纸，乙每封信用3张

信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20张信纸，乙用完所有信纸还剩下10个信封，则他们每人各买了多少张信纸？

【考点】盈亏问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为（20＋30）张信

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纸，两次分配的差为（3－2）张信纸，所以有信封（20＋30）÷（3－2）＝50（个），有信纸2×50＋20＝120（张）．

【答案】120张

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