实验设计课复习题.docx
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实验设计课复习题
一、测量误差的基本概念
1.算术平均值（arithmeticmean）
在相同的实验条件下，如果实验值选择服从正态分布，那么可以采用算术平均值即所有数据的和平均；
2.加权平均值：
权的选取非常重要
3.真值：
任何实验都离不开对量的测量，被测量的量在某一时刻、某一位置或某一状态下的客观真实的大小，称为被测量的真值。
1）理论值：
例如三角形的内角之和为180。
，等边三角形的内角为60’，同一真值的自身之差为零而自身之比为15对理想的电容和电感，其电压与电流的相位差为90。
。
此外，还有许多理论设计值和理论公式的表达值。
2）约定真值：
约定真值通常是由国际计量大会确定j得到国际上公认的各种基准或标准的指示值。
国际计量大会把国际单位制的基本单位，6国际计量大会对“米”的定义作，光在真空中在1／299792458s的时间间隔内所经历路程的长度为1米。
水三相点热力学温度的1／273．15为1开尔文。
3）实际值：
实际值可定义为，在满足实际需要的前提下，相对于实际测量所考虑的精度，其测量误差可以忽赂的测量结果。
常以直接上级的标准器量值当做实际值，或者准确度高的仪器所测得的值相对于准确度较差的仪器所测得的值。
4.绝对误差
绝对误差=实验值-真值
5.相对误差
相对误差=绝对误差/真值
相对误差还有一个应用形式：
引用误差
6.引用误差=
7.
算术平均误差
8.
标准误差
9.或然误差γ
在一组测量中，误差落在（-γ，+γ）之间的概率为50%获得。
10.极限误差
通常定义极限误差为标准误差的3倍。
在一组测量中，误差落在（-3σ，+3σ）之间的概率为99.7%，超出此范围的可能性已经很小，所以定义为极限误差。
三误差关系：
•在正态分布中标准误差σ，或然误差γ和算术平均误差△的关系
γ=0.6745σ，△=0.7979σσ>△>γ
二、等精度测量：
在同样的条件下，用同样的仪器对随测对象进行重复测量称为等精度测量。
1.采用精密度，准确度和精确度来表征误差性质
1）精密度
反映了随机误差大小程度，指在一定的试验条件下多次试验获得的所有试验数据彼此符合的程度。
是与测量值彼此的比较。
2）正确度
是大量测试结果的平均值与真值或者参照标准之间的一致程度，反映的是系统误差的大小。
3）精确度
是系统误差和随机误差的综合，在工业试验中也叫精度，标志了每个试验结果与真值或者标准值的一致程度。
a）图的数据集中程度很高，表示精密度好，但是这些数据的平均值偏离真值或者标准值很大，图（b）试验数据的平均值接近真值，但是数据分散，精密度不高，正确度高，图（c）数据集中，平均值很接近真值，正确度和精密度都很好。
2.不确定度：
由于测量误差的存在而对被测量量不能肯定的程度。
按照估值的不同方法分为A，B类不确定度，经过多次重复测量后，用统计的方法计算出的标准误差称为A类不确定度，而采用其他的方法估计出的近似的标准误差为B类不确定度。
3.什么是有效数字？
能够表示一定物理量的数字是有效数字。
实验数据总是以一定位数的数字来表示，最后一位数字往往是估计值，有一定的误差，但是数据总是需要限定位数，因此该误差总是存在。
有效数字是反映试验的精度或者表示了测量仪表的精度，所以是确定的不能任意增加位数。
有效数字有以下特点：
1）数据中小数点的位置不影响有效数字的位数：
2）对于0，在第1个非零数字前面的0不代表有效数字
3）在标准值后面可以根据需要在小数点后增加0作为有效数字的位数。
4）还有有效数字位数是无限的，如π，可以根据实际需要决定位数。
三、测量误差的形成和分类
1、系统误差：
系统误差是在重复性条件下，对同一被测量对象进行无限多次测量所得结果的平均值与真值之差。
其大小和方向都是不变的或者按照一定规律变化，是由固定因素引起的误差，可以发现也可以设法消除。
系统误差又有常值系统误差和变值系统误差。
1.1系统误差主要有以下几种来源：
1）测量装置：
仪表本身的精度，测试元器件的零点漂移，为测量装置提供的电源不稳定；
2）环境问题：
试验进行中的环境往往不能完全控制在相同的条件下，温度，气压，湿度，环境风速都会产生影响，传感器对测试点条件变化的误差；
3）测量方法：
仪表测点布置，测量中个点采用的平均值还是近似值，测点的数量等；
4）记录不准：
仪表通过有线或者无线传输数据受到电磁干扰，人工记录时人为习惯。
1.2系统误差的消除或者减小的方法
1）在每次试验前仔细检查各个环境，测点是否固定，有没有浮动，试验用介质是否按照大纲要求配置和储存，零位调整，量程设定，检查电源的输入和输出，所有试验设备是否正常，仪表是否正常；
2）测量值修正：
在正式试验前将固定的误差鉴定出来，作为固定修正值修正到实验结果或者实验过程中，该修正可以使固定的数据，也可以使线性或非线性标定得到的多项式，在试验中修正近期可以在试验中对结果进行判断，而不需要在试验结束后才可能判断出实验条件的合适与否，如温度传感器的修正，在试验中设定的温度为5℃，而如果无难度传感器的漂移达到±1.5℃时，这次试验就没有意义了。
3）减小常值误差的方法：
抵消法（如天平的不等臂），也可以将常值修正到实验数据的采集中。
4）变值误差的消除方法：
将仪表进行标定，标定后的结果作为仪表的新定的输入和输出关系应用到采集数据之中；
1.3检查系统误差的方法
1）实验比较法：
类似于标定的方法，在试验中用的传感器进行多次同一条件下的试验得到基本消除随机误差的实验结果，在用高精度的仪表同样进行多次试验，比较两次实验得到的均值，两者很接近可以认为已经基本不含系统误差；
2）观察法：
如果实验数据的误差大小和符号变化不大，基本可以认为不含系统误差，但是不排除有常值误差；如果有规律的变化，可以认为有周期性的误差，如按照误差一个方向变化那么可以认为有线性系统误差存在，这些需要加上经验才能有效判断出误差的来源；
3）数据比较法：
比较任选两组数据的统计量。
2、随机误差
1）随机现象：
在完全相同的条件下，并不是总出现相同结果的现象称为随机现象，如掷一颗骰子出现的点数；
2）随机误差的定义：
随机变量与真值之差为随机误差，即测量结果与在重复性实验条件下，对同一个被测量进行无限多次试验所得到结果的平均值之差。
随机误差的大小和方向是不确定的，也没有一个确定的规律。
随机误差只能做定性分析不能做定量分析，是无法消除的，是设备，人员，材料，方法，测量和环境等因素造成的不确定性，无确定的规律可遵循，运用概率统计学的方法对其进行分析也是一种估计，这种估计被定义在一个概率区间内，即任何结论是和其波动范围同时给出的。
3）随机误差的特征：
（1）对称性，在多次试验中绝对值相同的正负误差出现的次数相等；
（2）单峰性，绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大，最小误差出现的概率最大；
（3）有界性，测得数据的绝对值不可能无限大或者无线小。
随机误差的的绝对值不会超出一个界限。
（4）抵偿性，在多次重复测量中，由于绝对值相同的正负误差出现的次数相等，所以全部误差的算术平均值随着测试次数的增加而趋于零。
随机误差的特征也叫正态分布的四大分配律。
四、误差理论
1、等精度测量中的最可信赖值
在同样的条件下，用同样的仪器对随测对象进行重复测量称为等精度测量。
即在一组测量中，如果测量的全部条件相同，那么测量结果都同样可信，各个值之间是等价的，也即凡是相等的测量都是等精度测量。
等精度测量的权相同。
由于真值是很难获得的，因此工程中以出现次数最多的值作为最佳值。
涉及：
算术平均值，标准误差，算术平均值的误差
2、不等精度测量中的最可信赖值
试验次数越多，精度越高，因此在本节中采用最常用的试验次数作为权选取的基础
加权算术平均值
五、误差的统计意义
1、统计量：
若样本的函数不含任何未知数，称此函数为统计量，统计量也是随机量；测量得到的值都是统计量。
2、样本标准误差和总体标准误差：
样本的算术平均值和总体的算术平均值是相同的。
样本的标准误差不等于总体的标准误差，而是其1/n的平方根倍
误差的统计意义：
一切的测量结果为在一定的置信概率下，以子样平均值为中心，以置信区间半长为界限的量，这就是误差统计意义所在。
3、自由度：
f=n-1，在子样容量为n时，在n各重复测量的数据之间，他们要受到子样平均值的约束，n各数据中有一个是不独立的，因此自由度为f=n-1。
4、小子样误差的t分布性质
t分布有如下性质：
①单峰分布，曲线在t＝0处最高，并以t＝0为中心左右对称
②与正态分布相比，曲线最高处较矮，两尾部翘得高（见绿线）
③随自由度增大，曲线逐渐接近正态分布；分布的极限为标准正态分布。
5、试验误差的合成方法
在正常测试中出现的误差有固定系统误差，未定系统误差和随机误差。
一般情况下后两个误差的大小和符号都是未知的。
对于随机误差，可以通过多次测量的方法估算出他的标准误差或者极限误差也叫随机不确定度；对于未定系统误差，只能估计他的误差界限也叫系统不确定度，采用统计的理论和方法合成
六、间接测量中误差的数学处理
1.误差传递公式
对于函数关系：
y=f（u,v,w）
误差传递公式为：
重要结论：
a）在间接测量中，函数的最可信赖值即算术平均值只要将各个独立的直接测量量的算术平均值代入间接测量的函数关系即可以求得；
b）被测量值的绝对标准误差是各个独立变量的部分绝对标准误差平方和的平方根。
注意：
1）绝对标准误差；
2）绝对标准误差是有量纲的，与原变量单位一致而不是与被测量的单位相同，如与u的单位相同。
3）部分绝对误差与测量量有相同的单位，如Du与有相同的单位
2、间接测量误差传递定律的应用
3、测量误差分析及处理原则
1常数项的处理
常数不存在误差，但是对于许多无理数存在有效数字位数的选取。
如等等，根据需要取足够多的位数参与计算，以保证准确度，在最后的结果中根据有效数字原则定最后的结果
3一次测量物理量误差计算原则
对于绝大多数一侧测量，通常其最大可能的测量误差是已知的，按照误差原理完成介于标准误差的3倍的概率达到99.97%，所以最大可能的绝对误差就是标准误差的3倍，最大绝对误差通常可以根据仪表上注明的精度或者仪器的最小刻度作为单次测量误差的依据。
在不知道精度但是直到仪器的刻度时，绝对误差的计算值通常取最小刻度的一半。
4查阅图表时物理量的误差处理
与上面的原则一样，标准误差取最大绝对误差的1/3，而最大绝对误差的大小取图表上最末一位有效数字单位值的1/2。
4、提高分析结果准确度的方法:
1）选择合适的分析方法
2）减小测量误差
3）减小随机误差
4）消除系统误差
A.对照试验
B.空白试验
C.校准仪器
D.分析结果校正
5、通过误差计算选择仪表
1仪表的量程
满量程一般在被测量量的1.5~2倍，一般选取1.5倍，在变化比较大时选2倍，最小测量量不能低于量程的1/3。
2仪表的精度
根据被测量量的允许误差，还有附加误差来选择仪表的精度。
附加误差一般由于温度的变化而产生。
已知被测气体的压力为7Mpa，温度40℃，要求测量误差不大于±1%，选取压力表。
（压力对温度的影响为
，考虑温度引起的附加误差）
解：
（1）量程：
1.5zx7=10.5Mpa，所以选用0-10Mpa的压力表；
（2）计算误差：
绝对误差△=0.01x7=0.07Mpa;
（3）计算附加误差，考虑温度引起的附加误差，温度对压力的影响：
（4）仪表的允许绝对误差
△=△P+△P40,
△P=△-△P40=0.07-0.014=0.056Mpa;
（5）所选用压力表的准确度等级
选用0.5级的仪表可以满足精度要求。
所选压力表为量程0-10Mpa，精度0.5级
七、统计假设检验
其性质为：
1）随即误差或者偶然误差引起的差异和波动；
2）生产或者试验条件发生变化而引起的差异
这两种误差交叉混杂在一起，统计检验是采用科学的方法分辨和处理着两种不同性质差异的方法。
统计假设——通过实际观察或理论分析对总体分布形式或对总体分布形式中的某些参数作出某种假设
假设检验——根据问题的要求提出假设，构造适当的统计量，按照样本提供的信息，以及一定的规则，对假设的正确性进行判断。
假设检验是用来判断样本与样本，样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。
注意：
“接受H0”，并不意味着H0一定为真；“拒绝H0”也不意味着H0一定不真。
•u检验的应用条件：
–σ已知或σ未知但n足够大
•t检验的应用条件：
–σ未知n较小
–样本来自正态总体
–两样本均数比较时还要求两个总体方差相等
检验的基本步骤，构造统计量
F检验和Х2检验，步骤
设有两组数据：
x1
（1）,x2
（1）,…xn
（1）和x1
（2）,x2
（2）,…xn（n）,两组数据服从正态分布，样本方差为s12,s22,则服从第一自由度f1=n1-1,第一自由度f2=n2-1的F分布，对于给定的显著性水平，将所计算的F值与临界值进行比较，即可以做出结论。
八、试验设计
1）实验设计与数据处理是研究随机现象中的变量之间关系的一种数理统计方法。
2）实验设计着重研究如何科学地设计试验方案，正确的分析试验结果，从而寻求最佳生产条件和工艺参数，以开发新产品和改进产品的生产工艺，达到提高产品质量和经济效益的目的.
3）数据处理主要通过生产和科研中的实验数据，进行点或区间的估计，分析各因素对考察指标的影响的显著性，寻求经验公式，制定产品的新标准，探索新工艺和新配方，研究气象与地震预报以及建立生产过程自动控制中数学模型等方面的研究.
1.实验设计是有目的、有策划和有大纲的实践的总称，试验仅是实验设计中的一部分内容.
2.实验设计包含的三个内容:
1）工况选择---因素和水平的选取方法；
2）误差控制——试验方案的制定；
3）数据处理——分析试验结果
因此一个试验组织必须是
1）实验次数尽可能少；
2）便于分析和处理数据；
3）能够得到满意的符合试验目的的试验结果。
3、报告格式：
一个报告的基本内容必须包括：
实验进行的场所和时间，实验条件，实验方法，测试手段，数据处理的方法，实验结论，误差分析，结果的应用条件。
4、指标：
用于衡量实验结果好坏的特征值。
又称响应变量。
定量指标：
用测量结果表示的指标，（用测量仪器）如电阻器的电阻、橡胶件的温度、粮食的产量。
定性指标：
用等级评分等表示的指标。
（组织专家评判组）如药物的疗效，布料的柔软度，平面的光滑度。
5、因子：
影响实验结果的因素，常用A，B，C等表示。
6、水平：
因子所处的状态。
常用A1，A2，B1，B2等表示
4.实验设计三大基本原则
1）重复试验：
指一个实验点在相同条件下进行若干次重复实验.
设在某实验点上进行n次重复实验，实验结果记为y1,y2,…,yn.
2）随机化：
机化是指实验材料的分配，人员安排和各实验点的实验次序都要随机确定.
3）分区组：
区组是指把所有实验单元分为若干小组（即区组），使每组内的实验条件相同或近似相同，而组间在实验条件上允许有较大的差异，组的目的是为了把区组的差异估计出来，从而把区组对实验结果的干扰排除或减少到最低限度。
5.实验误差
1）测量值y与真值μ之间的偏差ε=y–μ称为实验误差，简称误差.
y=μ+ε.
2）误差是不可避免的，它时大时小，时正时负，时隐时现.以不可预测的方式出现，故误差ε是一个随机变量.
九、试验的方差分析
1.单因素试验方差分析基本步骤
1）计算平均值
2）偏差平方和
偏差平方和可以分解为组间偏差平方和与组内偏差平方和SST＝SSA+Sse
3）自由度
自由度就是独立的数据个数。
它是与试验数据有关的一个统计量。
如果平方和是由m项组成．它的自由度就是m-1，如果一个平方和是由几部分的平方和组成，则总的自由度等于几部分自由度之和
自由度之间的关系:
dfT=dfA+dfe
4）计算均方
5）F检验
6）列方差分析表
7）结论
2、双因素试验方差分析
2.1双因素无重复试验的方差分析步骤
2.2双因素重复试验的方差分析步骤
一十、试验数据的回归分析
什么叫回归分析：
简单的说，回归分析就是一种处理变量之间相关关系的最常用的统计方法，可以利用该方法寻找隐藏在随机性后面的统计规律。
回归分析主要解决以下几方面的问题：
（1）确定几个特定变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出它们之间合适的数学表达式
（2）根据一个或几个变量的值，预报或控制另一个变量的取值，并且要知道这种预报或控制的精确度
（3）进行因素分析，确定因素的主次以及因素之间的相互关系等等
1、一元线性回归步骤：
1）根据实验数据划出散点图；
2）确定检验公式的函数类型（一般通过看散点图就可以判断）；
3）通过最小二乘法得到正规方程组（可以直接求解a,b）；
4）得到回归方程
5）一元线性回归效果检验，F检验和相关系数检验法
6）预报与控制问题
2、多元线性回归方法和步骤，显著性检验
3、非线性回归方法和步骤，显著性检验】
一十一、优选法
1、单因素优选法以及应用
来回调试法，黄金分割法（0.618法），分数法（菲波那契数列法）、均分法、、对分法，抛物线法，比例分割法
2、双因素优选法以及应用
对开法，，旋升法，平行线法
0.618法是利用计算机求单峰函数的极值时常用的一种计算方法
一十二、正交试验设计
全面试验，单因子轮换法试验，正交试验三者联系和区别
1.正交试验设计的优点
1）能在所有试验方案中均匀地挑选出代表性强的少数试验方案。
2）通过对这些少数试验方案的试验结果进行统计分析，可以推出较优的方案，而且所得到的较优方案往往不包含在这些少数试验方案中。
3）对试验结果作进一步的分析，可以得到试验结果之外的更多信息。
例如，各试验因素对试验结果影响的重要程度、各因素对试验结果的影响趋势等。
2.L8（4x24）说明其表示的意义
3.正交表具有正交性，这是指它有如下两个特征：
（1）每列中不同的数字重复次数相同。
（2）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。
正交试验设计和直观分析法
1、单指标的正交试验设计和直观分析法步骤
1）明确试验目的，明确试验指标
2）确定因子与水平，各因素的水平组合要随机化
3）选正交表
4）表头设计
5）明确试验方案
6）按规定的方案进行试验，得到试验结果
7）计算极差确定因素的主次
8）优方案确定
9）验证试验进一步分析
2、多指标的正交试验设计和直观分析法
常用的方法有两种，综合平衡法和综合评分法
3、有交互作用的正交试验设计和直观分析法
交互作用：
一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一因子水平制约的情况，称为因子A与B的交互作用，记为A×B或AB
根据制定的因素水平表和选定的正交表来安排试验时，一般原则如下；
①如果各因素之间无交互作用，按照因素水平表中固定下来的因素次序，顺序地放到正交表的纵列上，每一列放一种因素。
②如果不能排除因素之间的交互作用，则应避免将因素的主效应安排在正交表的交互效应列内，以妨碍对因素主效应的判断。
⑧把各因素的水平按照因素水平表中所确定的关系，对号入座后，试验方案随即确定。
混杂现象:
在正交表上作表头设计时，如果同一列上安排两个以上的因素或交互作用，则称为发生效应之间的“效应混杂”。
表头设计的原则是不能出现混杂
效应:
3、混合水平正交试验设计和直观分析法
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