创意平板桌建模.docx
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创意平板桌建模
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
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）
日期：
2015年8月20日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
创意平板折叠桌的最优设计
摘要
本文讨论了某公司的新型产品创意平板折叠桌的设计问题。
从易到难，将问题一步步深化，从各项设计参数已知到客户提出各种需求参数，我们给出最优设计的数学模型。
首先，在平板尺寸、钢筋位置、桌子高度和桌面形状大小均已知的情况下，我们对数据进行计算，给出包括各木条长度、木条开槽长度等的设计加工参数，利用CAD和MATLAB分别绘制出设计图纸及桌角边缘线的四分之一和整体板被切割的图形。
建立数学模型，通过讨论桌子在不同高度时的状态，给出对创意平板折叠桌动态变化过程的描述。
进而，在仅知桌面高度和桌面形状大小的情况下，我们综合考虑成本、产品稳固性和加工简便性，寻找板的最小面积与桌腿所形成的形状（正方形时产品稳固性最好），找到它们其中同时的最优解，再求出在最优解情况下的开槽长度。
通过对未知的设计参数进行字母设定，以实用和美观为原则，对各项参数给以适当的取值范围，得到平板折叠桌体积的表达式。
为将成本用料和产品稳固性综合考虑，我们去寻找同时到达的最小方差，利用Lingo软件，当其比值最大时，找到了综合考虑成本和产品稳固性的最优解。
在最优解各项设计参数已知后，按照几何关系列式求出相应的开槽长度。
最后，在平板折叠桌的外观要求全部由顾客制定时，我们建立数学模型将平板折叠桌分为三大类，桌面形状分为凸形、凹形和凹凸结合性。
对于每一类，制定不同的平板处理方法，在确定一些满足桌子实用性和美观性基本要求的设计参数的取值范围后，我们给出相应的设计参数最优解的求解步骤。
再利用我们所设计的数学模型结合CAD绘图，给出一种个性设计的创意平板折叠桌的动态变化图示。
关键词：
平板折叠桌、最优设计、数学模型、多目标优化、压杆稳定、AutoCAD、MATLAB、Lingo
一.问题重述
1.1背景
某公司生产了一种平板折叠桌，为了增大有效使用面积,设计师以长方形木板的宽为直径截取了一个圆形作为桌面,又将木板剩余的面积切割成了若干个长短不一的木梁,每个木梁的长度为宽到圆上一点的距离,分别用两根全属棒贯穿两侧的木条。
操作简单，外形美观，具有创意性。
为进一步开发这种新型平板折叠桌的价值，我们需要综合考虑该产品的生产成本以及其稳定性和适用性。
因此，有必要研发一款设计软件，来指导我们如何根据不同的板材规格和不同的顾客需求来设计产品，令平板折叠桌在市场中占有一席之地。
1.2需要解决的问题
问题一：
若已知长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。
在以上数据的基础上，建立数学模型来描述折叠桌的动态变化过程并给出具体的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
问题二：
若仅知桌子的高度为70cm，圆形桌面的直径为80cm，从产品稳固性、加工简便性和材料节省性三个角度，确定最优的设计加工参数。
问题三：
构建一个设计软件的数学模型，使得该设计软件可以根据客户任意给出的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，计算出所需平板材料的形状尺寸和最优设计。
二.问题分析
如图，由于桌腿与地面接触时产生的下部三角形空间2和上部三角形空间1相抵消，所以桌子腿的厚度可以忽略不计，故在以下的讨论中将桌子腿看作一条无厚度线段。
问题一：
由于折叠桌的桌面形状为近似圆形，木板材料的长宽高、每根木条的宽度、桌面高度及钢筋固定点均为已知值，故可直接通过计算来得出设计加工的各项参数，进而利用CAD和MATLAB绘制出大致的设计图纸和桌角边缘线。
由于在产品由平板动态变化至桌子的过程中，桌面高度不断变化，故引入桌面高度这一参数，建立方程，从而得到对创意平板折叠桌的动态过程的描述。
问题二：
本问题中，将用料成本、产品稳定性首先纳入考虑。
由于用料体积需由平板折叠桌的各项设计参数得出，故将未知量用字母表示，进而列式。
以用料体积、稳定安全因数分别作为其代表参数，用稳定安全因数和用料体积之比作为综合考虑用料成本和产品稳定性的标准值，利用Lingo软件得出最优解。
在表达稳定安全因数时，为得出临界压力，选用一种确定木材考虑问题，实际压力则可直接给定。
在得出最优解后，计算出开槽长度。
问题三：
在客户提出各种创意平板折叠桌的尺寸参数的情况下，通过将各种设计分为三类，即桌面形状为凸形、凹形和凹凸结合形，并给出分类的数学模型依据，再根据分类结果设定不同的平板处理方法。
满足了客户对平板折叠桌外观的要求后，对处理后的平板按照第二问的思路，设置为了满足平板折叠桌基本的实用性和美观性而产生的各项设计参数的取值范围，从用料成本和稳定性的角度用Lingo软件求出稳定安全因数和用料体积之比的最优解，在最优解的数据基础上，用MATLAB计算出各项设计参数。
最后自行设计三种平板折叠桌样式，对于每种设计给出三张动态变化图。
三.问题假设
3.1假设忽略各桌子腿之间的间隙距离。
3.2假设钢筋的大小粗细不计。
3.3用料体积由整块平板体积决定（不受切割部分影响）
3.4最长腿与桌面相连部分与桌面中心边缘距离为3cm。
四.符号说明
五.模型的建立与求解
5.1关于问题一的模型建立与求解
由问题一题设知：
以平板中心为原点，图一所示X、Y方向为X、Y轴正向，竖直向上为Z轴正向，建立空间直角坐标系。
由于平板的结构的轴对称性，故以下只截取其右下四分之一部分进行计算。
5.1.1木条长度
为求各根木条的长度，在X轴正方向取每根木条的中点位置，即从x=0cm处每隔
取值，得到
。
由勾股定理公式：
易得到各根木条的长度。
x（cm）
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25.00
根数（个）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
l（cm）
35.13
35.51
36.15
37.35
38.35
40.00
42.15
45.00
49.11
57
由CAD绘制的整体平板折叠桌设计平面草图如下：
由CAD绘图得到的桌子腿立体效果图如下：
5.1.2木条开槽长度
由公式：
解得，
。
综合图一和图二的几何关系，由公式：
c=
即可计算出各根木条的开槽长度。
利用附件8.1附录一中MATLAB示例程序一得出木条开槽长度的计算结果如下：
x（cm）
2.50
5.00
7.50
10.00
12.50
c（cm）
19.68
19.18
18.36
16.85
15.64
x（cm）
15.00
17.50
20.00
22.50
25.00
c（cm）
13.72
11.27
8.56
4.36
0.00
5.1.3桌角边缘线
由5.1.2中已得结果和图二中
所在三角形的相似关系，列式得：
Z=
由上式给出的关系，利用附件8.1附录一中MATLAB示例程序二绘出的四分之一部分桌角边缘线如图：
5.1.4动态描述
当平板折叠桌形态动态变化时，其桌面高度不断变化，
故引入参数h，列出如下方程：
y=
Z=
此方程即为对平板折叠桌动态变化过程的数学描述。
5.2关于问题二的模型建立与求解
由问题二题设知：
5.2.1从产品稳固性、加工简便性和材料节省性三个角度出发寻找最佳解
，假设所用板的长为a，x为最长腿与桌面接触处的两边的距离,h为桌面底部到地面的距离。
如图中为最长腿与桌面形成的侧面图形。
由图形可得：
最长腿到地面的投影长度：
两腿的跨长：
即，使跨长最长（y值最大）解得：
又知：
而且，当桌腿与地面形成的图形为正方形时，此桌子的稳固性最好：
又得：
即，解得：
而且为了使用料最少，则使a值最小。
从实用性的角度，桌面宽度不得大于等于10cm，则h在70〉h〉60。
去特殊值：
h/cm
61
62
63
64
65
66
67
68
69
小值/cm
140.87
143.18
145.49
147.80
150.11
152.42
154.73
157.04
159.35
大值/cm
145.89
147.56
149.25
150.94
152.64
154.64
156.06
157.78
159.51
差/cm
5.02
4.38
3.45
3.14
2.53
1.93
1.33
0.74
0.16
即，得到差值的平均值恰好为2.53cm，则取h=65cm,也得a=152cm。
由此得解达到最佳解。
即x=2.53cm,得
根据上题的公式与方法，
5.2.2木条长度
为求各根木条的长度，在X轴正方向取每根木条的中点位置，即从x=0cm处每隔4cm取值，得到
。
由勾股定理公式：
l=76-D
木条的长度。
x（cm）
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
根数（个）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
l（cm）
36.20
36.81
37.84
39.34
41.36
44.00
47.43
52
58.56
74.24
5.2.3开槽长度
由几何关系列式：
c=
即可计算出各根木条的开槽长度：
根数（个）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
c（cm）
35.00
34.91
34.66
33.44
31.53
29.87
23.38
17.9
11.14
0
5.3关于问题三的模型建立与求解
为了满足形成桌子，并可以稳定的置放于地面上，规定桌面图形必须关于横、纵两条轴对称。
设长方形平板的宽度为
，为了满足桌子的基本使用功能和美观性，每根桌腿的宽度不小于
，桌面高度不小于
，最长桌腿不短于
。
、
假设桌面上物体的质量为
，每条支撑桌腿平均承受
。
计算
从
至
时
的值，
值分别为
，将连续的曲线化为阶梯形。
钢筋位置为距长方形纵向对称轴y0（cm），其中
由于其轴对称性，在计算时只考虑右下四分之一块木板。
以下对于客户的需求将桌面图形分为三种进行讨论：
5.3.1凸形
若
则桌面图形为凸形，
根据第二问的思路。
由简单的几何关系，平板折叠桌的体积可表示为：
桌面压力由四分之一块平板所有木条的重力和桌面上物体重力的四分之一构成：
根据问题二中给出的截面临界压力公式，最外侧木条的临界压力：
其中最外侧木条的截面惯性矩为：
根据问题二中给出的稳定安全因数公式，结合三角形相似关系，稳定安全因数为：
依然由稳定安全因数和用料体积的比值作为最优解的标准值，用Lingo软件解得
在
条件下，使
取得最大值时的重要参数。
再利用得到的设计参数，由MATLAB得出详细的设计数据。
在此种情况下，若客户给定桌角边缘线，可在除最外侧桌腿外的桌腿部分按要求剪切。
5.3.2凹形
若
则桌面图形为凹形，此时将长方形左右两边截去部分，且截取图形与桌面图形中凹陷部分相同，并处于同一水平线上，最外侧两根木条不进行截取，保留原长。
CAD平板处理例子图示如下：
以下计算步骤与凸形情况相同。
若客户给出桌角边缘线，则在已裁减好的部分除最外侧桌腿外按要求剪切。
5.3.3凹凸结合形
若前两种情况均不符合，则将阶梯曲线分为数段，分为凸起段与凹陷段，其中凸起段按照情况5.3.1进行处理，凹陷段按照情况5.3.2处理，最后最外侧两根木条不进行截取，保留原长。
凹凸结合形的y-x曲线图象示例如图：
以下计算步骤与前两种情况相同。
5.3.4平板折叠桌动态变化图
设计一：
A．
B．
C．
六.模型评价与应用
如今经济体系日趋多元化、丰富化，顾客的需求多种多样。
公司产品若想开辟一片市场，必须把握好生产成本和需求迎合这两大问题。
本模型对某公司的新产品平板折叠桌的设计和生产具有指导作用。
6.1优点
在考虑平板折叠桌稳定性时，引入了材料力学中的概念，对稳定性有了量化的解释。
原理与建模思想具有一定的普适性，不仅便于小规模的家具、文具产品设计，也易将模型合理地迁移到原理类似的产品上，如大型工农业机械等。
从几何的角度考虑稳固性，充分地保证了平板折叠桌的承重能力。
在探求最优解的过程中，充分联系美观性和人体舒适程度，对变量进行了取值范围的规定，与用料成本相结合，给出了具有一定精度的最优解。
在设计桌面时充分考虑到客户需求，将所有可能设计出图形进行适当分类，进行列式求解。
多目标优化，在设定目标函数时巧妙采用了比值法，将多个目标化为单一目标，便于进行编程与计算。
6.2缺点
由于在设计过程中忽略了各条桌腿间的缝隙，虽然缝隙长度总和为毫米量级，但其设计参数的误差仍难以避免，且平板折叠桌的体积越小，其偏差越大。
在此种情况下即要求稳固性又要求减少用料和减少工作量，对于用料成本和加工时间的优化要求加强，偶时候不可能达到同时的最佳解，所以只能寻找相比较的最佳解，因此最优化结果有偏差。
在设计桌面的形状时，未从原曲线本身的性质进行考虑，可能产生误差。
仅仅从几何的角度分析稳固性，不够全面。
七.参考文献
[1]DuaneHanselmanBruseLittlefield,《精通MATLAB》，西安：
西安交通大学出版社，1998
[2]周凯宋军全邬学军，《数学建模竞赛入门与提高》，杭州：
浙江大学出版社，2012
[3]王兵团，《数学建模简明教程》，北京：
清华大学出版社北京交通大学出版社，2012
[4]赵罘赵楠张剑锋，《AutoCAD2014机械制图从基础到实训》，北京：
机械工业出版社，2014
[5]闫晓鹏武瑛，《材料力学》，北京：
清华大学出版社，2013
[6]维基百科，铁杉，http:
//zh.wikipedia.org/wiki/铁杉，2014年9月13日
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