边界元及有限元.docx

边界元及有限元.docx

《边界元及有限元.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《边界元及有限元.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

边界元及有限元

边界元与有限元

边界元法boundaryelementmethod

概念：

将力学中的微分方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，再通过边界的离散化与待定函数的分片插值求解的数值方式。

所属学科：

水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）

边界元法（boundaryelementmethod）是一种继有限元法以后进展起来的一种新数值方式，与有限元法在持续体域内划分单元的大体思想不同，边界元法是只在概念域的边界上划分单元,用知足操纵方程的函数去逼近边界条件。

因此边界元法与有限元相较，具有单元个数少,数据预备简单等优势.但用边界元法解非线性问题时，碰到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点周围有强烈的奇异性，使求解碰到困难。

简介

　　边界元法是在有限元法以后进展起来的一种较精准有效的工程数值分析方式。

又称边界积分方程-边界元法。

它以概念在边界上的边界积分方程为操纵方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。

它与基于偏微分方程的区域解法相较，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终取得阶数较低的线性代数方程组。

又由于它利用微分算子的解析的大体解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。

专门是关于边界变量转变梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量显现奇异性的裂纹问题，边界元法被公以为比有限元法加倍精准高效。

由于边界元法所利用的微分算子大体解能自动知足无穷远处的条件，因此边界元法专门便于处置无穷域和半无穷域问题。

边界元法的要紧缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的大体解为前提，关于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法普遍，而且通常由它成立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。

对一样的非线性问题，由于在方程中会显现域内积分项，从而部份抵消了边界元法只要离散边界的优势。

边界元法的基础

　　边界元法是基于操纵微分方程的大体解来成立相应的边界积分方程，再结合边界的剖分而取得的离散算式。

　　Jaswon和Symm于1963年用间接边界元法求解了位势问题；Rizzo[3]于1967年用直接边界元法求解了二维线弹性问题；Cruse[4]于1969年将此法推行到三维弹性力学问题。

1978年，Brebbia用加权余量法推导出了边界积分方程，他指出加权余量法是最普遍的数值方式，若是以Kelvin解作为加权函数，从加权余量法中导出的将是边界积分方程——边界元法，从而初步形成了边界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。

边界元法的进展

　　通过近40年的研究和进展，边界元法已经成为一种精准高效的工程数值分析方式。

在数学方面，不仅在必然程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析和各类不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和靠得住性提供了理论基础。

在方式与应用方面，此刻，边界元法已应用到工程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经标准化；对非线性问题，其方式亦趋于成熟。

在软件应用方面，边界元法应用软件已由原先的解决单一问题的计算程序向具有前后处置功能、能够解决多种问题的边界元法程序包进展。

　　我国约在1978年开始进行边界元法的研究，目前，我国的学者在求解各类问题的边界元法的研究方面做了很多的工作，而且进展了相应的计算软件，有些已经应用于工程实际问题，并收到了良好的成效。

有限单元法

有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方式。

其基础是变分原理和加权余量法，其大体求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每一个单元内，选择一些适合的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采纳不同的权函数和插值函数形式，便组成不同的有限元方式。

有限元方式最先应用于结构力学，后来随着运算机的进展慢慢用于流体力学的数值模拟。

简介

　　在有限元方式中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且彼此连接的单元，在每一个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上整体的基函数能够看为由每一个单元基函数组成的，那么整个计算域内的解能够看做是由所有单元上的近似解组成。

在河道数值模拟中，常见的有限元计算方式是由变分法和加权余量法进展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。

依照所采纳的权函数和插值函数的不同，有限元方式也分为多种计算格式。

从权函数的选择来讲，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合一样组成不同的有限元计算格式。

关于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值那么为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。

令近似解在选定的N个配置点上严格知足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。

插值函数一样由不同次幂的多项式组成，但也有采纳三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最经常使用的多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。

单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。

常采纳的无因次坐标是一种局部坐标系，它的概念取决于单元的几何形状，一维看做长度比，二维看做面积比，三维看做体积比。

在二维有限元中，三角形单元应用的最先，近来四边形等参元的应用也愈来愈广。

关于二维三角形和四边形电源单元，常采纳的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。

其大体思路和解题步骤

（1）成立积分方程，

　　依照变分原理或方程余量与权函数正交化原理，成立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的起点。

（2）区域单元剖分，

　　依照求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为假设干彼此连接、不重叠的单元。

区域单元划分是采纳有限元方式的前期预备工作，这部份工作量比较大，除给计算单元和节点进行编号和确信彼此之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

（3）确信单元基函数，

　　依照单元中节点数量及对近似解精度的要求，选择知足必然插值条件的插值函数作为单元基函数。

有限元方式中的基函数是在单元当选取的，由于各单元具有规那么的几何形状，在选取基函数时可遵循必然的法那么。

（4）单元分析：

　　将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再快要似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可取得含有待定系数（即单元中各节点的参数值）的代数方程组，称为单元有限元方程。

（5）整体合成：

　　在得出单元有限元方程以后，将区域中所有单元有限元方程按必然法那么进行累加，形成整体有限元方程。

（6）边界条件的处置：

　　一样边界条件有三种形式，分为本质边界条件（狄里克雷边界条件）、自然边界条件（黎曼边界条件）、混合边界条件（柯西边界条件）。

关于自然边界条件，一样在积分表达式中可自动取得知足。

关于本质边界条件和混合边界条件，需按必然法那么对整体有限元方程进行修正知足。

（7）解有限元方程：

　　依照边界条件修正的整体有限元方程组，是含所有待定未知量的封锁方程组，采纳适当的数值计算方式求解，可求得各节点的函数值。

有限元

有限元法（FEA，FiniteElementAnalysis）的大体概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个适合的（较简单的）近似解，然后推导求解那个域总的知足条件（如结构的平稳条件），从而取得问题的解。

那个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以取得准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各类复杂形状，因此成为行之有效的工程分析手腕。

简介FiniteElement

　　有限单元法是随着电子运算机的进展而迅速进展起来的一种现代计算方式。

它是50年代第一在持续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方式，随后专门快普遍的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等持续性问题。

　　有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：

1）物体离散化

　　将某个工程结构离散为由各类单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。

离散后单元与单元之间利用单元的节点彼此连接起来；单元节点的设置、性质、数量等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定（一样情形单元划分越细那么描述变形情形越精准，即越接近实际变形，但计算量越大）。

因此有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以必然方式连接成的离散物体。

如此，用有限元分析计算所取得的结果只是近似的。

若是划分单元数量超级多而又合理，那么所取得的结果就与实际情形相符合。

2）单元特性分析

　　A、选择位移模式　　在有限单元法中，选择节点位移作为大体未知量时称为位移法；选择节点力作为大体未知量时称为力法；取一部份节点力和一部份节点位移作为大体未知量时称为混合法。

位移法易于实现计算自动化，因此，在有限单元法中位移法应用范围最广。

　　当采纳位移法时，物体或结构物离散化以后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。

这时能够对单元中位移的散布采纳一些能逼近原函数的近似函数予以描述。

通常，有限元法咱们就将位移表示为坐标变量的简单函数。

这种函数称为位移模式或位移函数。

　　B、分析单元的力学性质　　依照单元的材料性质、形状、尺寸、节点数量、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。

现在需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来成立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的大体步骤之一。

　　C、计算等效节点力　　物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。

可是，关于实际的持续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。

因此，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也确实是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

3）单元组集

　　利用结构力的平稳条件和边界条件把各个单元按原先的结构从头连接起来，形成整体的有限元方程　　（1-1）　　式中，K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移列阵；f是载荷列阵。

4）求解未知节点位移

　　解有限元方程式（1-1）得出位移。

那个地址，能够依照方程组的具体特点来选择适合的计算方式。

　　通过上述分析，能够看出，有限单元法的大体思想是"一分一合"，分是为了就进行单元分析，合那么为了对整体结构进行综合分析。

　　有限元的进展概况　　1943年courant在论文中取概念在三角形域上分片持续函数，利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题。

　　1960年clough的平面弹性论文顶用“有限元法”那个名称。

　　1965年冯康发表了论文“基于变分原理的差分格式”，这篇论文是国际学术界承认我国独立进展有限元方式的要紧依据。

　　1970年随着运算机和软件的进展，有限元进展起来。

　　涉及的内容：

有限元所依据的理论，单元的划分原那么，形状函数的选取及和谐性。

　　有限元法涉及：

数值计算方式及其误差、收敛性和稳固性。

　　应用范围：

固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学　　求解的情形：

杆、梁、板、壳、块体等各类单元组成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）。

能求解各类场散布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题），水流管路、电路、润滑、噪声和固体、流体、温度彼此作用的问题。

有限元法

有限元法英文名称：

finiteelementmethod

概念：

一种将持续体离散化为假设干个有限大小的单元体的集合，以求解持续体力学问题的数值方式。

所属学科：

水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）

有限元法（finiteelementmethod）是一种高效能、经常使用的计算方式。

有限元法在初期是以变分原理为基础进展起来的，因此它普遍地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这种场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。

自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法（Galerkin）或最小二乘法等一样取得了有限元方程，因此有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而再也不要求这种物理场和泛函的极值问题有所联系。

大体思想：

由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

原理

　　将持续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每一个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。

从而使一个持续的无穷自由度问题变成离散的有限自由度问题。

运用步骤

　　步骤1：

剖分:

　　将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合．元素（单元）的形状原那么上是任意的．二维问题一样采纳三角形单元或矩形单元，三维空间可采纳四面体或多面体等．每一个单元的极点称为节点（或结点）．　　步骤2：

单元分析:

　　进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即成立一个线性插值函数　　步骤3：

求解近似变分方程　　用有限个单元将持续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各类力学、物理问题的一种数值方式。

有限元法把持续体离散成有限个单元：

杆系结构的单元是每一个杆件；持续体的单元是各类形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。

每一个单元的场函数是只包括有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能够近似代表整个持续体的场函数。

依照能量方程或加权残量方程可成立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就取得有限元法的数值解。

有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并成立了各类有限元模型，如和谐、不和谐、混合、杂交、拟和谐元等。

有限元法十分有效、通用性强、应用普遍，已有许多大型或专用程序系统供工程设计利用。

结合运算机辅助设计技术，有限元法也被用于运算机辅助制造中。

　　有限单元法最先可上溯到20世纪40年代。

Courant第一次应用概念在三角区域上的分片持续函数和最小位能原理来求解St.Venant扭转问题。

现代有限单元法的第一个成功的尝试是在1956年，Turner、Clough等人在分析飞机结构时，将钢架位移法推行应用于弹性力学平面问题，给出了用三角形单元求得平面应力问题的正确答案。

1960年，Clough进一步处置了平面弹性问题，并第一次提出了"有限单元法"，令人们熟悉到它的功效。

我国闻名力学家，教育家徐芝纶院士（河海大学教授）第一次将有限元法引入我国，对它的应用起了专门大的推动作用。

派生

　　从有限元的大体方式派生出来的方式很多，那么称为三维单元。

如有限条法、边界元法、杂交元法、非和谐元法和拟和谐元法等，用以解决特殊的问题。

有限元分析

有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）利用数学近似的方式对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。

还利用简单而又彼此作用的元素，即单元，就能够够用有限数量的未知量去逼近无穷未知量的真实系统。

简介

　　有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个适合的（较简单的）近似解，然后推导求解那个域总的知足条件（如结构的平稳条件），从而取得问题的解。

那个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以取得准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各类复杂形状，因此成为行之有效的工程分析手腕。

　　有限元是那些集合在一路能够表示实际持续域的离散单元。

有限元的概念早在几个世纪前就已产生并取得了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方式而被提出，那么是最近的事。

有限元法最初被称为矩阵近似方式，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、有效性和有效性而引发从事力学研究的科学家的浓厚爱好。

通太短短数十年的尽力，随着运算机技术的快速进展和普及，有限元方式迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰硕多彩、应用普遍而且有效高效的数值分析方式。

 特点

　　有限元方式与其他求解边值问题近似方式的全然区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

20世纪60年代初第一次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其刻画为：

“有限元法=RayleighRitz法＋分片函数”，即有限元法是RayleighRitz法的一种局部化情形。

不同于求解（往往是困难的）知足整个概念域边界条件的许诺函数的RayleighRitz法，有限元法将函数概念在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个概念域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方式的缘故之一。

步骤

　　关于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的大体步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。

有限元求解问题的大体步骤一样为：

　　第一步：

问题及求解域概念：

依如实际问题近似确信求解域的物理性质和几何区域。

　　第二步：

求解域离散化：

将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，适应上称为有限元网络划分。

显然单元越小（网络越细）那么离散域的近似程度越好，计算结果也越精准，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

　　第三步：

确信状态变量及操纵方式：

一个具体的物理问题通常能够用一组包括问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

　　第四步：

单元推导：

对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，成立单元试函数，以某种方式给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。

　　为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原那么要遵循。

对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。

例如，单元形状应以规那么为宜，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将致使无法求解。

　　第五步：

总装求解：

将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的持续性要知足必然的持续条件。

总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）持续性成立在结点处。

　　第六步：

联立方程组求解和结果说明：

有限元法最终致使联立方程组。

联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。

求解结果是单元结点处状态变量的近似值。

关于计算结果的质量，将通过与设计准那么提供的许诺值比较来评判并确信是不是需要重复计算。

　　简言之，有限元分析可分成三个时期，前处置、处置和后处置。

前处置是成立有限元模型，完成单元网格划分；后处置那么是搜集处置分析结果，利用户能简便提取信息，了解计算结果。

经常使用软件

　　大型通用有限元商业软件：

NASTRAN,ASKA,SAP,ANSYS,MARC,ABAQUS,JIFEX等。

有限单元法是当前工程技术领域中最经常使用最有效的数值计算方式，本书共有7章，依次介绍了有限单元法的理论基础、杆系结构单元、平面三角形单元、平面四边形等参数单元，并对有限元线性方程组的求解方式进行了介绍。

为了增强本书的有效性，最后用一章的篇幅介绍了在利用有限元时的相关注意问题。

本书可作为岩土工程、采矿工程、工程力学、机械工程、水利工程等工科专业硕士研究生和本科生教材，也可供从事相关专业工程人员参考。

目录1　绪论1.1　概述1.2　有限元法的分析进程1.3　有限元法的进展历程1.4　习题2　有限单元法理论基础2.1　有限元原理与变分原理的关系2.2　弹性力学大体方程　2.2.1　平稳方程物理方程2.3　虚功原理2.4　位移模式与形函数2.4.2　形函数2.5　刚度与刚度矩阵2.6　习题3　杆系结构单元3.1　引言3.2　简单杆系结构有限元分析3.3　平面杆单元刚度矩阵3.4　整体坐标系下的单元刚度矩阵3.5　结构的结点平稳方程3.6　算例分析及程序3.6.1　算例分析3.7　习题4　平面三角形单元4.1　简单三角形单元的位移模式4.1.2　位移函数的收敛条件4.2　应变矩阵、应力矩阵与单元刚度矩阵4.2.1单元应变，应变矩阵4.2.3　单元刚度矩阵4.2.4　单元刚度矩阵的性质4.3　等效结点载荷4.3.1　集中力的移置4.3.2　体力的移置4.4　整体分析4.5　位移边界条件的处置4.5.1　对角元素改1法4.6　计算步骤与算例分析4.6.2　算例分析4.7　计算功效的整理4.7.2　两单元平均法4.8　平面问题高次单元　……5　平面四边形等参数单元6　线性方程组的解法7　划分单元网格的注意事项要紧符号表参考文献

韩厚德教授是国内有限元领域的知名专家，在有限元方式、无穷元方式、边界元方式及无界区域上偏微分方程的数值解等领域中取得了一系列重要研究功效

有限差分法尽管历史久远，但由于理论比较完整，在目前的教科书中仍占有重腹地位。

它直接从微分方程动身，将求解区域划分成网格，近似地用差分、差商朝替微分、微商，于是无穷自由度的问题化成了有限自由度的问题。

这种方式在解决规那么边界的问题时极为方便，但也正是由于这种限制而增加了它的局限性，即关于非规那么边界的问题适用性较差。

有限元法的重要归化途径是从微分方程所对应的泛函动身，用变分原理结合区域剖分取得离散算式--代数方程组。

它克服了有限差分法对区域形状的限制，关于各类形状的边界都能灵活处置，有限元法是目前工程计算的要紧手腕，这种方式的要紧困难有两个：

一是要找出微分方程对应的变分式，二是由于区域的剖分随着网格的加细而使方程组的维数增大，尽管利用电子运算机仍不能达到快速、精准的要求。

工程师们正在期待着新一代计算方式的显现。

目录:

第一章边界元方式基础1.1定解问题1.2加权余量法1.3变分法概述1.4位势问题的加权余量法1.5Dirac-函数1.6大体解1.7积分方程1.8边界积分方程1.9格林公式及其应用1.10广义傅里叶展开1.11特点函数及大体解1.12积分的算术化1.13二重积分的离散计算第二章位势问题的边界元方式2.1积分方程的离散2.2边界积分的计算2.3一维数值积分2.4多表面问题与无穷域问题2.5泊松方程2.6二维数值积分2.7线性单元2.8高次单元2.9角点问题第三章流体力学的边界元方式3.1流体力学大体方程组3.2不可压粘性流体定常运动的边界元方式3.3二维粘性流动的内流问题3.4多体内流问题3.5二维低雷诺数无界粘性绕流问题3.6三维粘性流动的内流问题3.7三维无界粘性绕流问题3.8非线性问题3.9用边界元方式对润滑问题的研究3.10生物力学中片流问题3.11正交各向异性问题3.12变系数渗流场问题第四章弹性问题的边界元方式4.1张量符号4.2弹性