完整版第八章向量代数与空间解析几何教案同济大学版高数.docx
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完整版第八章向量代数与空间解析几何教案同济大学版高数
第八章向量代数与空间解析几何
第一节向量及其线性运算
教学目的：
将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点：
1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式
3.向量的概念
4.向量的运算
教学难点：
1.空间思想的建立
2.向量平行与垂直的关系
教学内容：
一、向量的概念
1．向量：
既有大小，又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向
量的大小，其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2．量的表示方法有:
a、i、F、OM等等。
3．向量相等ab：
如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
4．量的模：
向量的大小，记为a、OM。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
5．量平行a//b：
两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平行。
6．负向量：
大小相等但方向相反的向量，记为a
bc
a
二、向量的线性运算
1．加减法abc：
加法运算规律：
平行四边形法则（有
时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7
－4
2．abc即a（b）c
3．向量与数的乘法a：
设是一个数，向量a与的乘积a规定为
（1）
0时，
a与a同向，|a
（2）
0时，
a0
（3）
0时，
a与a反向，|a
其满足的运算规律有：
结合率、分配率。
设
|a|
||a|
a0表示与非零向量a同方向的单位向量，那么
a0
定理1：
设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：
存在唯一的实数λ，
使b＝a
例1：
在平行四边形ABCD中，设ABa，ADb，试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点。
（见图7－5）
图7－4
1
解：
abAC2AM，于是MA（ab）
2
1
由于MCMA，于是MC（ab）
1又由于abBD2MD，于是MD（ba）
2
1由于MBMD，于是MB（ba）
2
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
如图7－1，其符合右手规则。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度2转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：
x轴、y轴、z轴，坐标面分别
为xoy面、yoz面、zox面。
坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。
图7－1右手规则演示图
7－2空间直角坐标系图图7－3空间两点M1M2的距离图3．空间点M（x,y,z）的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。
注意：
特殊点的表示
a）在原点、坐标轴、坐标面上的点；
b）关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4．空间两点间的距离。
若
M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间任意两点，则M1M2的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为：
222
d2M1M22M1N2NM22
222
M1p2pN2NM22
而
M1P
x2x1
PN
y2y1
NM2
z2z1
所以
222dM1M2（x2x1）2（y2y1）2（z2z1）2
特殊地：
若两点分别为M（x,y,z），o（0,0,0）
doMx2y2z2
例1：
求证以M1（4,3,1）、M2（7,1,2）、M3（5,2,3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
2
证明:
M1M22（47）2（31）2（12）214
2222
M2M32（57）2（21）2（32）26
M3M12（54）2（23）2（31）26
由于M2M3M3M1，原结论成立。
例2：
设P在x轴上，它到P1（0,2,3）的距离为到点P2（0,1,1）的距离的两倍，求点P的坐标。
解：
因为P在x轴上，设P点坐标为（x,0,0）
PP1x2232x211PP2x21212x22
PP12PP2x2112x22
x1所求点为：
（1,0,0），（1,0,0）
四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向
量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的
点与有序数组之间建立了一一对应关
系，同样地，为了沟通数与向量的研
究，需要建立向量与有序数之间的对
应关系。
设a=M1M2是以M1（x1,y1,z1）为起点、M2（x2,y2,z2）为终点的向量，i、j、k分别表示图7－5
沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应
用向量的加法规则知：
M1M2（x2x1）i+（y2y1）j+（z2z1）k
或a=axi+ayj+azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为
a＝{ax，ay，az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为M1（x1,y1,z1）终点为M2（x2,y2,z2）的向量可以表示为
M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}特别地，点M（x,y,z）对于原点O的向径
OM{x,y,z}
注意：
向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、
ayj、
azk.
2．向量运算的坐标表示
设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}即aaxi
ayj
azk，bbxibyjbzk
（1）加法：
（axbx）i
（ayby）j
（az
bz）k
减法：
（ax
bx）i（ay
by）j（az
bz）k
乘数：
ax）i
（ay）j
（az）k
ab
{ax
bx,ayby,az
bz}
ab{ax
bx,ayby,az
bz}
a{ax,ay,az}
平行：
若a≠0时，向量b//a相当于b
a，即
{bx,by,bz}{ax,ay,az}
也相当于向量的对应坐标成比例即
bx
by
bz
axay
az
五、向量的模、方向角、投影
设a{ax,ay,az}，可以用它与三个
坐标轴的夹角
均大于等于0，
小于等于）来表示它的方向，称、
为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。
1．模
2ax
22ayaz
2．
方向余弦
ax
M1M2
cos
acos
由性质
知ay
az
例：
M1M2
cos
M1M2cos
cos
cos
cos
a
ax2
2
ay2
2az
ay
ay
a
ax2
2
ay2
2
az2
az
az
ax
2az
ax
22
xay
任意向量的方向余弦有性质：
cos2
与非零向量a同方向的单位向量为：
已知两点
acos，当aax2ay2az2
acos
cos2
cos21
0时，有
1
{ax,ay,az}{cos
a
cos,cos}
M1（2,2,2）、M2（1,3,0），
计算向量M1M2的模、方向余弦、
方向角以及与
M1M2同向的单位向量。
解：
M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，
M1M2
（
22
1）1
（2）2
1，
1
cos
cos
，cos
2
2
2
3
3
3，
4
1，-2}
2
2
2
设a0为与M1M2同向的单位向量，即得
由于a0
{cos,cos,cos}
3．向量在轴上的投影
（1）轴上有向线段的值：
设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足
AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫
做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。
设e是与u轴同方向的单位向量，则
ABe
（2）设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有ACABBC
（3）两向量夹角的概念：
设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作OAa，
OBb，规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为（a,b）
（4）空间一点A在轴u上的投影：
通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'叫做点A在轴u上的投影。
（5）向量AB在轴u上的投影：
设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别
为点A'和B'，那么轴u上的有向线段的值A'B'叫做向量AB在轴u上的投影，记做
PrjuAB。
2．投影定理
性质1：
向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：
PrjuABABcos
性质2：
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
Prju（a1a2）Prja1Prja2
性质3：
向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即
Prju（a）Prja
小结：
本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。
本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。
作业：
第二节数量积向量积
教学目的：
让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点：
1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式
2.向量平行、垂直的应用
教学难点：
1.活学活用数量积、向量积的各种形式
2.向量平行与垂直的相应结论
教学内容：
一、数量积：
a）定义：
ababcos，式中为向量a与b的夹角。
b）物理上：
物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为
WFscos
其中为F与s的夹角。
2
c）性质：
Ⅰ.aaa
Ⅱ.两个非零向量a与b垂直ab的充分必要条件为：
ab0
Ⅲ.abba
Ⅳ.（ab）cacbc
Ⅴ.（a）c（ac）为数
d）几个等价公式：
Ⅰ.坐标表示式：
设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}则
abaxbxaybyazbz
Ⅱ.投影表示式：
abaPrjabbPrjba
Ⅲ.两向量夹角可以由cos
ab
ab
式求解
e）例子：
已知三点M（1,1,1）、A（2,2,1）和B（2,1,2），求AMB
提示：
先求出向量MA及MA，应用上求夹角的公式。
、向量积：
a）概念：
设向量c是由向量a与b按下列方式定义：
c的模cabsin，式中为向量a与b的夹角。
c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b。
※注意：
数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。
b）
公式：
cab
f）
性质：
Ⅰ.aa
Ⅱ.两个非零向量
a与b平行a∥b的充分必要条件为：
ab0
Ⅲ.
ab
Ⅳ.
（ab）
Ⅴ.
（a）c
c）（ac）
为数
c）
几个等价公式：
Ⅰ.坐标表示式：
设
{ax,ay,az}，
b{bx,by,bz}则
d）
ab（aybz
azby）i（azbx
ij
Ⅱ.行列式表示式：
例子：
已知三角形
形ABC的面积。
解：
根据向量积的定义，
由于
AB＝{2,2,2}，
因此
ABAC
ab
axay
bxby
ABC的顶点分别为：
SABC
AC＝{1,2,4}
jk
22
4i
24
1
于是SABC
ABAC
ABC2
1
axbz）j（axbyaybx）k
az
bz
A（1,2,3）、
1ABACsin
2
6j2k
1242（6）222
B（3,4,5）和C（2,4,7），求三角
ABAC
2
14
注意共线、
小结：
向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）共面的条件）
作业：
第三节平面及其方程
教学目的：
介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
教学重点：
1.平面方程的求法
2.两平面的夹角
教学难点：
平面的几种表示及其应用
教学内容：
1．平面的法线向量定义：
垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
一、平面的点法式方程
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
2．平面的点法式方程
1）
已知平面上的一点M0（x0,y0,z0）和它的一个法线向量n{A,B,C}，对平面上的任一点
M（x,y,z），有向量M0Mn，即nM0M0
代入坐标式有
A（xx0）B（yy0）C（zz0）0
此即平面的点法式方程
例1：
求过三点M1（2，－1，4）、
M2（－1，3，－2）和M3（0，2，3）的平面方程。
i
j
k
nM1M2M1M3
3
4
6
2
3
1
解：
先找出这平面的法向量n，
14i9jk
由点法式方程得平面方程为
14（x2）9（y1）（z4）0
即：
14x9yz150
二、平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：
AxByCzD0
几个平面图形特点：
1）D＝0：
通过原点的平面。
2）A＝0：
法线向量垂直于x轴，表示一个平行于x轴的平面。
同理：
B＝0或C＝0：
分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A＝B＝0：
方程为CZD0，法线向量{0,0,C}，方程表示一个平行于xoy面的
平面。
同理：
AX
D0和BYD0分别表示平行于
yoz面和xoz面的平面。
4）反之：
任何的三元一次方程，例如：
5x6y7z110都表示一个平面，该平
面的法向量为n{5,6,7}
例2：
设平面过原点及点（6,3,2），且与平面4xy2z
8垂直，求此平面方程。
解：
设平面为AxByCzD0，由平面过原点知D0
由平面过点（6,3,2）知6A3B2C0，
n{4,1,2}4AB2C0
AB23C
所求平面方程为2x2y3z0三．两平面的夹角
定义：
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面
1:
A1xB1yC1zD10，2:
A2xB2yC2zD20
n1
{A1,B1,C1}，n2{A2,B2,C2}按照两向量夹角余弦公式有：
cos
|A1A2B1B2C1C2|A12B12C12A22B22C22
三、几个常用的结论
设平面1和平面
2的法向量依次为n1
{A1,B1,C1}和n2{A2,B2,C2}
1）
两平面垂直：
A1A2B1B2C1C2
0（法向量垂直）
2）
两平面平行：
C1
A2B2C2
A1B1
法向量平行）
3）
平面外一点到平面的距离公式：
设平面外的一点P0（x0,y0,z0），平面的方程为
AxByCzD0，则点到平面的距离为
dAx0By0Cz0D
A2B2C2
例3：
研究以下各组里两平面的位置关系：
（1）
x2yz
10,
y3z10
（2）2xyz1
0,
4x
2y
2z1
0
（3）2xyz1
0,
4x
2y
2z2
0
|1
02
11
3|
1
解：
（1）cos
32
（1）212
1）222
两平面相交，夹角
1
arccos
60
n1{2,1,1}，n2
4,2,2}
21
42
两平面平行
M（1,1,0）
M（1,1,0）
两平面平行但不重合。
3）
21
422
两平面平行
M（1,1,0）1M（1,1,0）
所以两平面重合小结：
平面的方程三种常用
表示法：
点法式方程，一般方程，截距式方程。
两平面的夹角以及点到平面的距离公式。
作业：
第四节空间直线及其方程
教学目的：
介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点：
1.直线方程
2.直线与平面的综合题教学难点：
1.直线的几种表达式
2.直线与平面的综合题教学内容：
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：
A1xB1yC1zD10
A2xB2yC2zD20
二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点M0（x0,y0,z0）和它的一方向向量s{m,n,p}，设直线上任一点为
M（x,y,z），那么M0M与s平行，由平行的坐标表示式有：
xx0yy0zz0
mnp此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设
xx0yy0zz0tmnp
就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）
xx0mt
yy0nt
zz0pt三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：
用对称式方程及参数方程表示直线xyz10
2xy3z40
解：
在直线上任取一点（x0,y0,z0），取
x0
yy003z0z02600解得
y00,z02，即直线上点坐标（1,0,
2）
因所求直线与两平面的法向量都垂直取
n1
n2{4,1,3}对称式方程为：
x1y0z2参数方程：
413
x1yz
4t
t
23t
例2
直线过点A（2,3,4），且和y轴垂直
相交，求其方程解：
因为直线和
y轴垂直相交,所以交点为B（0,3,0）
sBA{2,0,4}，
所求直线方程：
两直线的夹角
x2y
20
两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
设两直线L1和L2的方向向量依次为s1
{m1,n1,p1}和s2{m2,n2,p2}，两直线的
夹角可以按两向量夹角公式来计算
当直线与平面不垂直时，
直线与它在平面上的投影直线的夹角
（0
2）称为直线
cos
222m1n1p1
m22
2n2
2p2
两直线L1和L2垂直：
m1m2
n
1n2
p1p20（充分必要条件）
两直线L1和L2平行：
m1
n1
p1
（充分必要条件）
m2
n2
p2
3和2xy5z1的交线平行的直线方程
例3：
求过点（3,2,5）且与两平面
x
4z
解：
设所求直线的方向向量为
s
{m,n,p}
，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法
向量都垂直，所以可以取s
n1
n2
{4,3,1}所求直线的方程x3y2z
3
4
m1m2n1n2p1p2
三、直线与平面的夹角
与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为
设直线L的方向向量为s{m,n,p}，平面的法线向量为n{A,B,C}，直线与平面的夹角为，那么
sin
A2B2
AmBnCp
C2
直线与平面垂直：
s//n
A相当于Am
充分必要条件）
直线与平面平行：
相当于Am
Bn
Cp
充分必要条件）
平面束方程：
过平面直线
z1
z1
0的平面束方程为
0
（A1xB1yC1z
D1）
（A2x
B2yC2zD2）
四、杂例：
例1：
求与两平面x－4z＝3和2x－y－5z＝1的交线平行且过点（－3，2，5）的直线方程。
解：
由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两平面的法线向量垂直，所以
ijk
s104（4i3jk）
215
因此，所求直线的方程为
x3y2z5
431
例2：
求过点（2，1，3）且与直线x1y1z垂直相交的直线方程
321
解：
先作一平面过点（2，1，3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的
法线向量），这平面的方程为
3（x2）2（y1）（z3）0
再求已知直线与这平面的交点。
将已知直线改成参数方程形式为
x=-1+3ty=1+2tz=-t
32133
并代入上面的平面方程
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