高中数学《332均匀随机数的产生》教案设计新人教A版必修3.docx

高中数学《332均匀随机数的产生》教案设计新人教A版必修3.docx

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高中数学《332均匀随机数的产生》教案设计新人教A版必修3

2019-2020年高中数学《3.3.2均匀随机数的产生》教案设计新人教A版必修3

教学分析

本节在学生已经掌握几何概型的基础上,来学习解决几何概型问题的又一方法,本节课的教学对全面系统地理解掌握概率知识,对于培养学生自觉动手、动脑的习惯,对于学生辩证思想的进一步形成,具有良好的作用.

通过对本节例题的模拟试验,认识用计算机模拟试验解决概率问题的方法,体会到用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.

三维目标

1.通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,了解均匀随机数的概念；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；自觉养成动手、动脑的良好习惯.

2.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题,理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率.学习时养成勤学严谨的学习习惯,培养逻辑思维能力和探索创新能力.

重点难点

教学重点：

掌握［0,1］上均匀随机数的产生及［a,b］上均匀随机数的产生.学会采用适当的随机模拟法去估算几何概率.

教学难点：

利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1

在古典概型中我们可以利用（整数值）随机数来模拟古典概型的问题,那么在几何概型中我们能不能通过随机数来模拟试验呢？

如果能够我们如何产生随机数？

又如何利用随机数来模拟几何概型的试验呢？

引出本节课题：

均匀随机数的产生.

思路2

复习提问：

（1）什么是几何概型？

（2）几何概型的概率公式是怎样的？

（3）几何概型的特点是什么？

这节课我们接着学习下面的内容,均匀随机数的产生.

推进新课

新知探究

提出问题

（1）请说出古典概型的概念、特点和概率的计算公式？

（2）请说出几何概型的概念、特点和概率的计算公式？

（3）给出一个古典概型的问题,我们除了用概率的计算公式计算概率外,还可用什么方法得到概率？

对于几何概型我们是否也能有同样的处理方法呢？

（4）请你根据整数值随机数的产生,用计算器模拟产生［0,1］上的均匀随机数.

（5）请你根据整数值随机数的产生,用计算机模拟产生［0,1］上的均匀随机数.

（6）［a,b］上均匀随机数的产生.

活动：

学生回顾所学知识,相互交流,在教师的指导下,类比前面的试验,一一作出回答,教师及时提示引导.

讨论结果：

（1）在一个试验中如果

a.试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

b.每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability）,简称古典概型.

古典概型计算任何事件的概率计算公式为：

P（A）=

.

（2）对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.

几何概型的基本特点：

a.试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

b.每个基本事件出现的可能性相等.

几何概型的概率公式：

P（A）=

.

（3）我们可以用计算机或计算器模拟试验产生整数值随机数来近似地得到所求事件的概率,对于几何概型应当也可.

（4）我们常用的是［0,1］上的均匀随机数.可以利用计算器来产生0—1之间的均匀随机数（实数）,方法如下：

试验的结果是区间［0,1］内的任何一个实数,而且出现任何一个实数是等可能的,因此,就可以用上面的方法产生的0—1之间的均匀随机数进行随机模拟.

（5）a.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.

b.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.

（6）［a,b］上均匀随机数的产生：

利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数X=RAND,

然后利用伸缩和平移变换,X=X*（b-a）+a就可以得到［a,b］上的均匀随机数,试验结果是［a,b］内任何一实数,并且是等可能的.

这样我们就可以通过计算机或计算器产生的均匀随机数,用随机模拟的方法估计事件的概率.

应用示例

思路1

例1假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6：

30—7：

30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7：

00—8：

00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

活动：

用计算机产生随机数模拟试验,我们可以利用计算机产生0—1之间的均匀随机数,利用计算机产生B是0—1的均匀随机数,则送报人送报到家的时间为B+6.5,利用计算机产生A是0—1的均匀随机数,则父亲离家的时间为A+7,如果A+7＞B+6.5,即A＞B-0.5时,事件E={父亲离家前能得到报纸}发生.也可用几何概率的计算公式计算.

解法一：

1.选定A1格,键入“=RAND（）”,按Enter键,则在此格中的数是随机产生的［0,1］之间的均匀随机数.

2.选定A1格,按Ctrl+C快捷键,选定A2—A50,B1—B50,按Ctrl+V快捷键,则在A2—A50,B1—B50的数均为［0,1］之间的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间,B列的数加6.5表示报纸到达的时间.这样我们相当于做了50次随机试验.

3.如果A+7>B+6.5,即A-B>-0.5,则表示父亲在离开家前能得到报纸.

4.选定D1格,键入“=A1-B1”；再选定D1,按Ctrl+C,选定D2—D50,按Ctrl+V.

5.选定E1格,键入频数函数“=FREQUENCY（D1：

D50,-0.5）”,按Enter键,此数是统计D列中,比-0.5小的数的个数,即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.

6.选定F1格,键入“=1-E1/50”,按Enter键,此数是表示统计50次试验中,父亲在离开家前能得到报纸的频率.

解法二：

以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系,父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是下图：

由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即事件A发生,所以P（A）=.

例2在如下图的正方形中随机撒一把豆子,用计算机随机模拟的方法估算圆周率的值.

解法1：

随机撒一把豆子,每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即

.

假设正方形的边长为2,则

.

由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的,所以π≈

×4,

这样就得到了π的近似值.

解法2：

（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b1=RAND（）.

（2）经过平移和伸缩变换,a=（a1-0.5）*2,b=（b1-0.5）*2.

（3）数出落在圆x2+y2=1内的点（a,b）的个数N1,计算π=（N代表落在正方形中的点（a,b）的个数）.

点评：

可以发现,随着试验次数的增加,得到圆周率的近似值的精确度会越来越高,利用几何概型并通过随机模拟的方法可以近似计算不规则图形的面积.

例3利用随机模拟方法计算下图中阴影部分（y=1和y=x2所围成的部分）的面积.

分析：

师生共同讨论,在坐标系中画出矩形（x=1,x=-1,y=1和y=-1所围成的部分）,利用模拟的方法根据落在阴影部分的“豆子”数和落在矩形的“豆子”数的比值,等于阴影面积与矩形面积的比值.

解：

（1）用计算机产生两组［0,1］内均匀随机数a1=RAND（）,b=RAND（）.

（2）进行平移和伸缩变换,a=（a1-0.5）*2.

（3）数出落在阴影内（即满足00）的样本点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.

例如做1000次试验,即N=1000,模拟得到N1=698,所以S≈=1.396.

（N代表落在矩形中的点（a,b）的个数）.

思路2

例1取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？

分析：

在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应［0,3］上的均匀随机数,其中取得的［1,2］内的随机数就表示剪断位置与端点距离在［1,2］内,也就是剪得两段长都不小于1m.这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的个数之比就是事件A发生的概率.

解法一：

（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.

（2）经过伸缩变换,a=a1×3.

（3）统计出［1,2］内随机数的个数N1和［0,3］内随机数的个数N.

（4）计算频率fn（A）=即为概率P（A）的近似值.

解法二：

做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度［0,3］（这里3和0重合）.转动圆盘记下指针在［1,2］（表示剪断绳子位置在［1,2］范围内）的次数N1及试验总次数N,则fn（A）即为概率P（A）的近似值.

点评：

用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.解法2用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大;解法1用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.

例2利用随机模拟方法计算曲线y=,x=1,x=2和y=0所围成的图形的面积.

活动：

在直角坐标系中画出正方形（x=1,x=2,y=0,y=1所围成的部分）,用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.

解：

（1）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数,a1=RAND,b=RAND；

（2）进行平移变换：

a=a1+1；（其中a,b分别为随机点的横坐标和纵坐标）

（3）数出落在阴影内的点数N1,用几何概型公式计算阴影部分的面积.

例如,做1000次试验,即N=1000,模拟得到N1=689,

所以=0.689,即S≈0.689.

点评：

模拟计算的步骤：

（1）构造图形（作图）；

（2）模拟投点,计算落在阴影部分的点的频率；

（3）利用≈P（A）=算出相应的量.

变式训练

在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率.

分析：

正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M,求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率.

解：

（1）用计算机产生一组［0,1］内均匀随机数a1=RAND.

（2）经过伸缩变换,a=a1×12得到［0,12］内的均匀随机数.

（3）统计试验总次数N和［6,9］内随机数个数N1.

（4）计算频率.记事件A={面积介于36cm2与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间},则P（A）的近似值为fn（A）=.

知能训练

有一个半径为5的圆,现在将一枚半径为1的硬币向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况,试求硬币完全落入圆内的概率.

解：

由题意,如右图,因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的,所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O内,且只有中心落入与圆O同心且半径为4的圆内时,硬币才完全落入圆内.

记“硬币完全落入圆内”为事件A,则P（A）=.

答：

硬币完全落入圆内的概率为.

拓展提升

如右图,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,

试求：

（1）△AOC为钝角三角形的概率；

（2）△AOC为锐角三角形的概率.

解：

如右图,由平面几何知识：

当AD⊥OB时,OD=1；

当OA⊥AE时,OE=4,BE=1.

（1）当且仅当点C在线段OD或BE上时,△AOC为钝角三角形,

记“△AOC为钝角三角形”为事件M,则P（M）==0.4,

即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.

（2）当且仅当点C在线段DE上时,△AOC为锐角三角形,

记“△AOC为锐角三角形”为事件N,则P（N）==0.6,

即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.

课堂小结

均匀随机数在日常生活中有着广泛的应用,我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数,从而来模拟随机试验,其具体方法是：

建立一个概率模型,它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关,然后设计适当的试验,并通过这个试验的结果来确定这些量.

作业

课本习题3.3B组题.

设计感想

本节课我们根据问题的需要利用一组随机数进行模拟试验,也利用两组随机数进行模拟试验.用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识；相信通过本节的学习一定会提高同学们的应用能力,也能解决平常不能解决的一些问题.

2019-2020年高中数学《3.3.2简单的线性规划》教案1新人教A版必修5

高二数学教·学案

主备人：

执教者：

【学习目标】

1．知识与技能：

使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；

2．过程与方法：

经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；

3．情态与价值：

培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【学习重点】用图解法求线性目标函数的最值问题。

【学习难点】准确求得线性规划问题的最优解。

【授课类型】新授课

【学习方法】诱思探究

【学习过程】

1.课题导入

[复习提问]

1、二元一次不等式在平面直角坐标系中表示什么图形？

2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？

应注意哪些事项？

3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：

某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

（1）

（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：

当x,y满足不等式

（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？

把z=2x+3y变形为，这是斜率为，在y轴上的截距为的直线。

当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（），这说明，截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。

可以看到，直线与不等式组

（1）的区域的交点满足不等式组

（1），而且当截距最大时，z取得最大值。

因此，问题可以转化为当直线与不等式组

（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P，使直线经过点P时截距最大。

（5）获得结果：

由上图可以看出，当实现金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。

2、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：

在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

3、变换条件，加深理解

探究：

4、在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？

在换几组数据试试。

5、有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？

3.随堂练习

1．请同学们结合课本练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件

解：

不等式组表示的平面区域如图所示：

当x=0,y=0时，z=2x+y=0

点（0，0）在直线:

2x+y=0上.

作一组与直线平行的直线

:

2x+y=t,t∈R.

可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.

所以zmax=2×2-1=3.

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

解：

不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（）的直线所对应的t最大.

所以zmin=3×（-2）+５×（-1）=-11.

zmax=3×+5×=14

4.课时小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解

5.作业

同步学案3.3.2

（1）

个性设计

课后反思：