等额还款数学模型与计算.docx
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等额还款数学模型与计算
等额还款数学模型与计算
在银行贷款中，通常采用等额还款。
假定银行贷款的年利率为
，贷款
元，分
年采用每月等额还款方式还清。
问每月还款多少元？
总共还的钱是多少？
每月还款中还本金和利息各是多少元？
分别考虑每月等额还款和每月等额还本金方式。
并对比二者的不同。
如贷款160000元，分5年还清，年利率为4.032%。
给给出每种情况下每月的还款额，各自总共还款是多少？
方案一：
每月还总款等额
解：
设第
月还本金
元，月利率
。
每月还款都为
元。
第
月后所剩本金为
。
则第
月后所剩本金为
则第一月共还款为：
（1）
第二月还款满足：
（2）
第三月还款满足：
（3）
第
月还款满足：
（4）
第
月还款满足：
（5）
则
（1）-
（2）有：
（2）-（3）有：
（4）-（5）有：
贷款分
年还清，共
个月。
则有：
即
则：
所以：
每月还款
其中本金每月为
…,
利息每月为
，…,
总共还款
元
如贷款160000元，分5年还清，年利率为4.032%。
Matlab程序：
K=160000;%贷款金额
m=5;%还款年限
p=0.04032;%年利率
r=p/12;%月利率
n=m*12;
x=zeros（1,n）;%每月还本金
y=zeros（1,n）;%每月所剩本金
L=zeros（1,n）;%每月还利息
a=K*r*（1+r）^n/（（1+r）^n-1）;%每月等额还款
L
（1）=K*r;
x
（1）=a-L
（1）;
y
（1）=K-x
（1）;
fori=2:
n
L（i）=y（i-1）*r;
x（i）=a-L（i）;
y（i）=y（i-1）-x（i）;
end
fprintf（'贷款%6d元,总共还款%5.2f元\n\n',K,n*a）;
fprintf（'月还款金额还本金还利息余本金\n'）;
fori=1:
n
fprintf（'%2d%5.2f%5.2f%5.2f%5.2f\n',i,a,x（i）,L（i）,y（i））;
end
如贷款16000元，分5年还清，年利率为4.032%，则计算结果如下（银行的还款计划表）：
贷款160000元,总共还款176937.28元
月还款金额还本金还利息余本金
12948.952411.35537.60157588.65
22948.952419.46529.50155169.19
32948.952427.59521.37152741.60
42948.952435.74513.21150305.86
52948.952443.93505.03147861.93
62948.952452.14496.82145409.79
72948.952460.38488.58142949.42
82948.952468.64480.31140480.77
92948.952476.94472.02138003.83
102948.952485.26463.69135518.57
112948.952493.61455.34133024.96
122948.952501.99446.96130522.97
132948.952510.40438.56128012.57
142948.952518.83430.12125493.74
152948.952527.30421.66122966.44
162948.952535.79413.17120430.66
172948.952544.31404.65117886.35
182948.952552.86396.10115333.49
192948.952561.43387.52112772.06
202948.952570.04378.91110202.02
212948.952578.68370.28107623.34
222948.952587.34361.61105036.00
232948.952596.03352.92102439.97
242948.952604.76344.2099835.21
252948.952613.51335.4597221.70
262948.952622.29326.6694599.41
272948.952631.10317.8591968.31
282948.952639.94309.0189328.37
292948.952648.81300.1486679.56
302948.952657.71291.2484021.85
312948.952666.64282.3181355.21
322948.952675.60273.3578679.61
332948.952684.59264.3675995.01
342948.952693.61255.3473301.40
352948.952702.66246.2970598.74
362948.952711.74237.2167887.00
372948.952720.85228.1065166.14
382948.952730.00218.9662436.15
392948.952739.17209.7959696.98
402948.952748.37200.5856948.61
412948.952757.61191.3554191.00
422948.952766.87182.0851424.13
432948.952776.17172.7948647.96
442948.952785.50163.4645862.46
452948.952794.86154.1043067.60
462948.952804.25144.7140263.35
472948.952813.67135.2837449.68
482948.952823.12125.8334626.56
492948.952832.61116.3531793.95
502948.952842.13106.8328951.82
512948.952851.6897.2826100.15
522948.952861.2687.7023238.89
532948.952870.8778.0820368.02
542948.952880.5268.4417487.50
552948.952890.2058.7614597.30
562948.952899.9149.0511697.40
572948.952909.6539.308787.74
582948.952919.4329.535868.32
592948.952929.2419.722939.08
602948.952939.089.880.00
方案二：
每月等额还本金方式
设月还本金相等，为
元。
则
。
月利率
。
则第一月还利息
，总还款
则第二月还利息
，总还款
第
月还利息
，总还款
年总共还利息
=
总还款
Matlab程序为
K=160000;%贷款金额
m=5;%还款年限
p=0.04032;%年利率
r=p/12;%月利率
n=m*12;
x=zeros（1,n）;%每月还总共的钱
y=zeros（1,n）;%每月所剩本金
L=zeros（1,n）;%每月还利息
b=K/n;%每月还本金
fori=1:
n
L（i）=（K-（i-1）*b）*r;%每月还利息
x（i）=b+L（i）;%每月总还钱
y（i）=K-i*b;%余本金
end
s1=sum（L）;%总共利息
s2=（12*m*K-6*m*（12*m-1）*b）*r;%总共利息
Total=K+s1;%总共还款
fprintf（'贷款%6d元,总共还款%5.2f元\n\n',K,Total）;
fprintf（'月还款金额还本金还利息余本金\n'）;
fori=1:
n
fprintf（'%2d%5.2f%5.2f%5.2f%5.2f\n',i,x（i）,b,L（i）,y（i））;
end
如贷款16000元，分5年还清，年利率为4.032%，则计算结果如下：
贷款160000元,总共还款176396.80元
月还款金额还本金还利息余本金
13204.272666.67537.60157333.33
23195.312666.67528.64154666.67
33186.352666.67519.68152000.00
43177.392666.67510.72149333.33
53168.432666.67501.76146666.67
63159.472666.67492.80144000.00
73150.512666.67483.84141333.33
83141.552666.67474.88138666.67
93132.592666.67465.92136000.00
103123.632666.67456.96133333.33
113114.672666.67448.00130666.67
123105.712666.67439.04128000.00
133096.752666.67430.08125333.33
143087.792666.67421.12122666.67
153078.832666.67412.16120000.00
163069.872666.67403.20117333.33
173060.912666.67394.24114666.67
183051.952666.67385.28112000.00
193042.992666.67376.32109333.33
203034.032666.67367.36106666.67
213025.072666.67358.40104000.00
223016.112666.67349.44101333.33
233007.152666.67340.4898666.67
242998.192666.67331.5296000.00
252989.232666.67322.5693333.33
262980.272666.67313.6090666.67
272971.312666.67304.6488000.00
282962.352666.67295.6885333.33
292953.392666.67286.7282666.67
302944.432666.67277.7680000.00
312935.472666.67268.8077333.33
322926.512666.67259.8474666.67
332917.552666.67250.8872000.00
342908.592666.67241.9269333.33
352899.632666.67232.9666666.67
362890.672666.67224.0064000.00
372881.712666.67215.0461333.33
382872.752666.67206.0858666.67
392863.792666.67197.1256000.00
402854.832666.67188.1653333.33
412845.872666.67179.2050666.67
422836.912666.67170.2448000.00
432827.952666.67161.2845333.33
442818.992666.67152.3242666.67
452810.032666.67143.3640000.00
462801.072666.67134.4037333.33
472792.112666.67125.4434666.67
482783.152666.67116.4832000.00
492774.192666.67107.5229333.33
502765.232666.6798.5626666.67
512756.272666.6789.6024000.00
522747.312666.6780.6421333.33
532738.352666.6771.6818666.67
542729.392666.6762.7216000.00
552720.432666.6753.7613333.33
562711.472666.6744.8010666.67
572702.512666.6735.848000.00
582693.552666.6726.885333.33
592684.592666.6717.922666.67
602675.632666.678.960.00
如贷款16000元，分5年还清，年利率为4.032%，两种方案对比结果：
合成Matlab程序
%方案一：
每月等额还钱
K=160000;%贷款金额
m=5;%还款年限
p=0.04032;%年利率
r=p/12;%月利率
n=m*12;
x1=zeros（1,n）;%每月还本金
y1=zeros（1,n）;%每月所剩本金
L1=zeros（1,n）;%每月还利息
a=K*r*（1+r）^n/（（1+r）^n-1）;%每月等额还款
L1
（1）=K*r;
x1
（1）=a-L1
（1）;
y1
（1）=K-x1
（1）;
fori=2:
n
L1（i）=y1（i-1）*r;
x1（i）=a-L1（i）;
y1（i）=y1（i-1）-x1（i）;
end
Total1=n*a;%总共还钱
%方式2:
每月等额还本金
x2=zeros（1,n）;%每月还总共的钱
y2=zeros（1,n）;%每月所剩本金
L2=zeros（1,n）;%每月还利息
b=K/n;%每月还本金
fori=1:
n
L2（i）=（K-（i-1）*b）*r;%每月还利息
x2（i）=b+L2（i）;%每月总还钱
y2（i）=K-i*b;%余本金
end
s1=sum（L2）;%总共利息
s2=（12*m*K-6*m*（12*m-1）*b）*r;%总共利息
Total2=K+s1;%总共还款
fprintf（'贷款%6d元,方案一总共还款%5.2f元,方案二总共还款%5.2f元\n\n',K,Total1,Total2）;
fprintf（'方案一:
方案二:
\n'）;
fprintf（'月还款金额还本金还利息余本金还款金额还本金还利息余本金\n'）;
fori=1:
n
fprintf（'%2d%5.2f%5.2f%5.2f%5.2f%5.2f%5.2f%5.2f%5.2f\n',i,a,x1（i）,L1（i）,y1（i）,x2（i）,b,L2（i）,y2（i））;
end
u=1:
12*m;
plot（u,y1,'r',u,y2,'b'）;
计算结果：
贷款160000元,方案一总共还款176937.28元,方案二总共还款176396.80元
方案一:
方案二:
月还款金额还本金还利息余本金还款金额还本金还利息余本金
12948.952411.35537.60157588.653204.272666.67537.60157333.33
22948.952419.46529.50155169.193195.312666.67528.64154666.67
32948.952427.59521.37152741.603186.352666.67519.68152000.00
42948.952435.74513.21150305.863177.392666.67510.72149333.33
52948.952443.93505.03147861.933168.432666.67501.76146666.67
62948.952452.14496.82145409.793159.472666.67492.80144000.00
72948.952460.38488.58142949.423150.512666.67483.84141333.33
82948.952468.64480.31140480.773141.552666.67474.88138666.67
92948.952476.94472.02138003.833132.592666.67465.92136000.00
102948.952485.26463.69135518.573123.632666.67456.96133333.33
112948.952493.61455.34133024.963114.672666.67448.00130666.67
122948.952501.99446.96130522.973105.712666.67439.04128000.00
132948.952510.40438.56128012.573096.752666.67430.08125333.33
142948.952518.83430.12125493.743087.792666.67421.12122666.67
152948.952527.30421.66122966.443078.832666.67412.16120000.00
162948.952535.79413.17120430.663069.872666.67403.20117333.33
172948.952544.31404.65117886.353060.912666.67394.24114666.67
182948.952552.86396.10115333.493051.952666.67385.28112000.00
192948.952561.43387.52112772.063042.992666.67376.32109333.33
202948.952570.04378.91110202.023034.032666.67367.36106666.67
212948.952578.68370.28107623.343025.072666.67358.40104000.00
222948.952587.34361.61105036.003016.112666.67349.44101333.33
232948.952596.03352.92102439.973007.152666.67340.4898666.67
242948.952604.76344.2099835.212998.192666.67331.5296000.00
252948.952613.51335.4597221.702989.232666.67322.5693333.33
262948.952622.29326.6694599.412980.272666.67313.6090666.67
272948.952631.10317.8591968.312971.312666.67304.6488000.00
282948.952639.94309.0189328.372962.352666.67295.6885333.33
292948.952648.81300.1486679.562953.392666.67286.7282666.67
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