全国各地中考数学试题二次函数分类解析汇编.docx

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全国各地中考数学试题二次函数分类解析汇编

2016年全国各地中考数学试题二次函数分类解析汇编

2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）第22章二次函数

一．选择题（共20小题）

1．（2016•鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：

①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣

其中正确的结论个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．（2016•长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：

①该抛物线的对称轴在y轴左侧；

②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；

③a﹣b+c≥0；

④的最小值为3．

其中，正确结论的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．（2016•资阳）已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（　　）

A．m=nB．m=nC．m=n2D．m=n2

4．（2016•南宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）

A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定

5．（2016•滨州）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

6．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：

4，则k值为何？

（　　）

A．1B．C．D．

7．（2016•台湾）坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？

（　　）

A．aB．bC．cD．d

8．（2016•永州）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2B．m＞2C．0＜m≤2D．m＜﹣2

9．（2016•兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　）

A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+4

10．（2016•天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）

A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3

11．（2016•舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）

A．B．2C．D．

12．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3

13．（2016•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（　　）

A．y1＜y2B．y1＞y2

C．y的最小值是﹣3D．y的最小值是﹣4

14．（2016•常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

15．（2016•孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：

①a﹣b+c＞0；

②3a+b=0；

③b2=4a（c﹣n）；

④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

16．（2016•巴中）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：

①c＞0；

②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；

③2a﹣b=0；

④＜0，

其中，正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

17．（2016•广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：

①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，

其中，正确的个数有（　　）

A．1B．2C．3D．4

18．（2016•齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3

⑤当x＜0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

19．（2016•随州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：

（1）4a+b=0；

（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

20．（2016•烟台）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．

其中正确的有（　　）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）第22章二次函数

参考答案与试题解析

一．选择题（共20小题）

1．（2016•鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：

①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣

其中正确的结论个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＜0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．

【解答】解：

由图象开口向下，可知a＜0，

与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，

又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，

∴abc＞0，故①正确；

由图象可知当x=3时，y＞0，

∴9a+3b+c＞，故②错误；

由图象可知OA＜1，

∵OA=OC，

∴OC＜1，即﹣c＜1，

∴c＞﹣1，故③正确；

假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，

整理可得ac﹣b+1=0，

两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，

即方程有一个根为x=﹣c，

由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，

∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；

综上可知正确的结论有三个，

故选C．

【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．

2．（2016•长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：

①该抛物线的对称轴在y轴左侧；

②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；

③a﹣b+c≥0；

④的最小值为3．

其中，正确结论的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确．

【解答】解：

∵b＞a＞0

∴﹣＜0，

所以①正确；

∵抛物线与x轴最多有一个交点，

∴b2﹣4ac≤0，

∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，

所以②正确；

∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，

∴x取任何值时，y≥0

∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；

所以③正确；

当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0

a+b+c≥3b﹣3a

a+b+c≥3（b﹣a）

≥3

所以④正确．

故选：

D．

【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．

3．（2016•资阳）已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（　　）

A．m=nB．m=nC．m=n2D．m=n2

【分析】由“抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

【解答】解：

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，

∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．

又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），

∴点A、B关于直线x=﹣对称，

∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），

将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，

∵b2=4c，

∴m=n2，

故选D．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．

4．（2016•南宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（　　）

A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定

【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．

【解答】解：

设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，

∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，

∴﹣＞0．

设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，

∵a＞0，

∴＞0，

∴a+b＞0．

故选C．

【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．

5．（2016•滨州）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

【分析】对于抛物线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数．

【解答】解：

抛物线y=2x2﹣2x+1，

令x=0，得到y=1，即抛物线与y轴交点为（0，1）；

令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，

解得：

x1=x2=，即抛物线与x轴交点为（，0），

则抛物线与坐标轴的交点个数是2，

故选C

【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式中令一个未知数为0，求出另一个未知数的值，确定出抛物线与坐标轴交点．

6．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：

4，则k值为何？

（　　）

A．1B．C．D．

【分析】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．

【解答】解：

∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，

∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），

∴OC=k，

∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：

4，

∴k=（4﹣k），

解得：

k=．

故选：

D．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．

7．（2016•台湾）坐标平面上，某二次函数图形的顶点为（2，﹣1），此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6．若此函数图形通过（1，a）、（3，b）、（﹣1，c）、（﹣3，d）四点，则a、b、c、d之值何者为正？

（　　）

A．aB．bC．cD．d

【分析】根据抛物线顶点及对称轴可得抛物线与x轴的交点，从而根据交点及顶点画出抛物线草图，根据图形易知a、b、c、d的大小．

【解答】解：

∵二次函数图形的顶点为（2，﹣1），

∴对称轴为x=2，

∵×PQ=×6=3，

∴图形与x轴的交点为（2﹣3，0）=（﹣1，0），和（2+3，0）=（5，0），

已知图形通过（2，﹣1）、（﹣1，0）、（5，0）三点，

如图，

由图形可知：

a=b＜0，c=0，d＞0．

故选：

D．

【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性由对称轴及交点距离得出两交点坐标是解题的关键．

8．（2016•永州）抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2B．m＞2C．0＜m≤2D．m＜﹣2

【分析】由抛物线与x轴有两个交点，则△=b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．

【解答】解：

∵抛物线y=x2+2x+m﹣1与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，

即4﹣4m+4＞0，

解得m＜2，

故选A．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：

①抛物线与x轴有两个交点，则△＞0；②抛物线与x轴无交点，则△＜0；③抛物线与x轴有一个交点，则△=0．

9．（2016•兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　）

A．y=（x﹣1）2+2B．y=（x﹣1）2+3C．y=（x﹣2）2+2D．y=（x﹣2）2+4

【分析】根据配方法，可得顶点式函数解析式．

【解答】解：

y=x2﹣2x+4配方，得

y=（x﹣1）2+3，

故选：

B．

【点评】本题考查了二次函数的形式你，配方法是解题关键．

10．（2016•天津）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）

A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3

【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：

①若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．

【解答】解：

∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，

∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，

可得：

（1﹣h）2+1=5，

解得：

h=﹣1或h=3（舍）；

②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，

可得：

（3﹣h）2+1=5，

解得：

h=5或h=1（舍）．

综上，h的值为﹣1或5，

故选：

B．

【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．

11．（2016•舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（　　）

A．B．2C．D．

【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可．

【解答】解：

二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：

．

①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，

解得：

m=﹣2．

当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，

解得：

n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；

②当当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，

解得：

m=﹣2．

当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，

解得：

n=，

所以m+n=﹣2+=．

故选：

D．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．

12．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3

【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．

【解答】解：

∵y=﹣x2+2x+c，

∴对称轴为x=1，

P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，

∵3＜5，

∴y2＞y3，

根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，

故y1=y2＞y3，

故选D．

【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．

13．（2016•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（　　）

A．y1＜y2B．y1＞y2

C．y的最小值是﹣3D．y的最小值是﹣4

【分析】根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答．

【解答】解：

y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），

则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．

又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．

A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；

B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；

C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；

D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．

故选：

D．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题时，利用了“数形结合”的数学思想．

14．（2016•常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：

①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】由二次函数的开口方向，对称轴0＜x＜1，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可．

【解答】解：

∵二次函数的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，

∴a＜0，c＞0，故②正确；

∵0＜﹣＜1，

∴b＞0，故①错误；

当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，

∴a+c＜b，故③正确；

∵二次函数与x轴有两个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，故④正确

正确的有3个，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：

左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．

15．（2016•孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：

①a﹣b+c＞0；

②3a+b=0；

③b2=4a（c﹣n）；

④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．

其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．

【解答】解：

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．

∴当x=﹣1时，y＞0，

即a﹣b+c＞0，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，

∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；

∵抛物线的顶点坐标为（1，n），

∴=n，

∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；

∵抛物线与直线y=n有一个公共点，

∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，

∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．

故选C．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：

抛物线与y轴交于（0，c）：

抛物线与x轴交点个数由△决定：

△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交