等腰三角形讲义学生版.docx

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等腰三角形讲义学生版

13．3　等腰三角形

第1课时　等腰三角形的性质

基础题

知识点1　等边对等角

1．已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于（）

A．30°　　　B．75°C．150°　　　D．125°

2．已知一个等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角等于（）

A．30°B．40°C．75°D．120°

3．如图所示，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB＝AC，∠B＝40°，那么x的值是________．

#

4．等腰直角三角形的底角的度数为________．

5．一个等腰三角形中有一个内角为80°，则另外的两个内角的度数为________________．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC.求证：

∠ABD＝∠ACD.

知识点2　三线合一

7．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）

A．过顶点的直线

B．底边的垂线

:

C．顶角的角平分线所在的直线

D．腰上的高所在的直线

8．（苏州中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（）

A．35°B．45°C．55°D．60°

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3cm.则∠ADB的度数是________，BD的长是________．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．

：

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．

中档题

13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（）

\

A．100°B．80°C．70°D．50°

14．（新疆中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，点D在AC上，BD＝BC，则∠ABD的度数是________．

15．（云南中考）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________．

16．（贺州中考）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是________．

17．如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，CB＝CE，试猜想∠A与∠E的大小关系，并说明理由．

]

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：

PE＝PF.

19．（十堰中考）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：

AD＝AE.

…

20．已知一个等腰三角形的两角分别为（2x－2）°，（3x－5）°，求这个等腰三角形各角的度数．

综合题

21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA.

（1）试求∠DAE的度数；

{

（2）如果把原题中“AB＝AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗为什么

参考答案

1．B　　　°　°，20°或50°，50°　6.证明：

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD.∴∠DBC＝∠DCB.∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，即∠ABD＝∠ACD.　　　°　cm　°　　12.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.∵∠BAC＝50°，∴∠DAE＝

∠BAC＝25°.又∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°.∴∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－25°＝65°.　　°　°　°　17.∠A＝∠E.理由如下：

∵CB＝CE，∴∠E＝∠CBE.∵AD∥BC，∴∠A＝∠CBE.∴∠A＝∠E.　18.证明：

在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分线．又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF.　19.证明：

过点A作AF⊥BC于点F.又∵AB＝AC，∴BF＝CF.∵BD＝CE，∴DF＝EF.∴AD＝AE.　20.①当（2x－2）°作为顶角时，即（2x－2）＋2×（3x－5）＝180，解得x＝24，三角形三个角的度数分别为46°，67°，67°；②当（3x－5）°为顶角时，即（3x－5）＋2×（2x－2）＝180，解得x＝27，三角形三个角的度数分别为52°，52°，76°；③当以上两个角均为底角时，即2x－2＝3x－5，解得x＝3，三角形三个内角分别为4°，4°，172°.　21.

（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°.∵BD＝BA，CE＝CA，∴∠BAD＝（180°－45°）÷2，∠CAE＝45°÷2.∴∠DAE＝90°－∠BAD＋∠CAE＝45°.

（2）不变．∠DAE＝90°－

＋

∠ACB＝

（∠B＋∠ACB）＝45°，从上式可看出当AB和AC不相等时，∠B＋∠ACB也是90°.所以∠DAE的度数不变．

）

第2课时　等腰三角形的判定

基础题

】

知识点1　等腰三角形的判定

1．下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是（）

A．有两个内角分别为75°，75°的三角形

B．有两个内角分别为110°和40°的三角形

C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形

D．有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形

2．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4cm，则CD等于（）

A．3cmB．4cmC．cmD．2cm

3．如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为（）

（

A．3个B．4个C．5个D．6个

4．如果一个三角形的一内角的平分线垂直对边，那么这个三角形一定是（）

A．等腰三角形B．锐角三角形

C．直角三角形D．钝角三角形

5．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则这个三角形是________三角形．

6．在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶3，那么△ABC是________三角形．

7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________________________．

8．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°，若AC＝5cm，则AB＝________．

&

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，△ADE也是等腰三角形吗为什么

10．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，求证：

△ABC为等腰三角形．

知识点2　用尺规作等腰三角形

11．已知等腰三角形的底边长为a，顶角的平分线长为b，求作这个等腰三角形．

&

中档题

12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C的个数有（）

A．6个B．7个C．8个D．9个

13．在如图所示的三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）

：

A．

（1）

（2）（3）B．

（1）

（2）（4）

C．

（2）（3）（4）D．

（1）（3）（4）

14．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是________．

15．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连接AD.若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C＝________．

16．如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，ED＝DC.求证：

AB＝AC.

17．如图所示，一艘轮船在近海处由南向北航行，点C是灯塔，轮船在A处测得灯塔在其北偏西38°的方向上，轮船又从A向北航行30海里到B，测得灯塔在其北偏西76°的方向上．

!

（1）求∠ACB的度数；

（2）轮船在B处时，到灯塔C的距离是多少

18．（襄阳中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：

①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.

（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有成立的情形）

'

（2）请选择

（1）中的一种情形，写出证明过程．

综合题

19．已知：

D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF.

（1）当点D在BC边上时（如图），判断△ABC的形状（直接写出答案）；

（2）当点D在△ABC内部时，

（1）中的结论是否一定成立若成立，请证明；若不成立，请举出反例（画图说明）．

参考答案

1．B　　　　5.等腰　6.等腰　＝CD或∠BAD＝∠CAD　cm　9.△ADE是等腰三角形．理由如下：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠ADE＝∠AED.∴AD＝AE.∴△ADE是等腰三角形．　10.证明：

过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴∠B＝∠C.∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．　11.

（1）作线段AB＝a；

（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB交于点D；（3）在MN上取一点C，使CD＝b；（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形．　　

14．30　°或45°　16.证明：

∵AD平分∠EDC，∴∠ADE＝∠ADC.又∵ED＝DC，AD＝AD，∴△ADE≌△ADC.∴∠E＝∠C.又∵∠E＝∠B，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.　17.

（1）∵∠NAC＝38°，∠NBC＝76°，∠NBC＝∠ACB＋∠NAC，∴∠ACB＝∠NBC－∠NAC＝76°－38°＝38°.

（2）∵∠ACB＝∠NAC＝38°，∴AB＝BC.∵AB＝30海里，∴BC＝30海里．即轮船在B处时，到灯塔C的距离是30海里．　18.

（1）①②；①③.

（2）选①③，证明如下：

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠EBO＝∠DCO，且∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB.∴△ABC是等腰三角形．　19.

（1）△ABC是等腰三角形．

（2）如图，当点D在△ABC内部时，△ABC是等腰三角形成立．

理由：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在Rt△EBD与Rt△FCD中，

∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．∴∠EBD＝∠FCD.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.∴∠EBD＋∠DBC＝∠FCD＋∠DCB，即∠EBC＝∠FCB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．