综上得：
-11.
二、数列
2.（数列）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An/Bn=（7n+45）/（n+3）,则使得An/Bn为整数的正整数3的个数是5。
【解析】an/bn=（7n+21+24）/（n+3）
=（7n+21）/（n+3）+24/（n+3）
=7+24/（n+3）
所以24/（n+3）是整数
所以n+3=1,2,3,4,6,8,12,24
且n>=1
所以n=1,3,5,9,21
有5个
3.（数列）等比数列{an}中，a1=2,a8=4,函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8）,则f（0）=0
【解析】因为里面有一个因式x，x等于0，所以f（x）=0
4.（数列）（2010•江西）等比数列{an}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x-a1）（x-a2）…（x-a8），则f′（0）=（ C ）
A．26B．29C．212D．215
【考点】导数的运算；等比数列的性质．
【分析】对函数进行求导发现f’（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．
【解析】考虑到求导中f’（0），含有x项均取0，
得：
f’（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．
故选C
【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．
三、三角函数
5.（三角函数）θ=2π/3是tanθ=2cos（π/2+θ）的什么条件？
【解析】当θ=2π/3时，
tanθ=tan（2π/3）=tan（-π/3）=-tan（π/3）=-根号3
2cos（π/2+θ）=2cos（π/2+2π/3）=-2sin（2π/3）=-2sin（π/3）=-根号3
所以tanθ=2cos（π/2+θ）
但当θ=2π/3+2π时，显然tanθ=2cos（π/2+θ）也成立，
所以θ=2π/3是tanθ=2cos（π/2+θ）的充分不必要条件
6.（三角函数）在三角形OAB中，O为坐标原点，A（1,cosθ），B（sinθ,1）,θ∈（0,π/2]，则当三角形OAB的面积达最大值时，θ=π/2
【考点】正弦定理．
【专题】综合题；数形结合．
【分析】根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，角θ如图所示，所以三角形AOB的面积就等于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面积，再减去三角形APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大时θ所取的值．
【解析】如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，
过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，
则S△OAB=S正方形OMPN-S△OMA-S△ONB-S△ABP
=1-
（sinθ×1）-
（cosθ×1）-
（1-sinθ）（1-cosθ）
=
-
sincosθ=
-
sin2θ
因为θ∈（0，π/2]，2θ∈（0，π]，
所以当2θ=π即θ=π/2时，sin2θ最小，
三角形的面积最大，最大面积为
．
故答案为：
π/2
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题．
7.（三角函数）E,F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF等于？
【解析】设∠ECF=α，∠ACE=∠BCF=β，则α=90°-2β
故tanα=tan（90°-2β）=cot2β=1/tan2β=（1-tan²β）/2tanβ..............
（1）
过F作FD⊥BC，D为垂足，则△BFD～△BAC，BF/BA=BD/BC=FD/AC=1/3，设AC=BC=1，故
BD=FD=1/3，tanβ=FD/CD=（1/3）/（1-1/3）=1/2，代入
（1）式即得：
tan∠ECF=tanα=（1-1/4）/（2×1/2）=3/4
8.（三角函数）在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，b/a+a/b=6cosC，则tanC/tanA+tanC/tanB=4
【解析】∵a/b+b/a=6cosC，
∴a/b+b/a=6（a²+b²-c²）/2ab
∴c²=2（a²+b²）/3①
tanC/tanA+tanC/tanB
=tanC（cosA/sinA+cosB/sinB）
=tanC（cosAsinB+sinAcocB）/（sinAsinB）
=tanCsinC/（sinAsinB）
=sin²C/（sinAsinBcosC）
=c²/（abcosC）
=c²/ab*[（a²+b²）/6ab]（由b/a+a/b=6cosC替换）
=6c²/（a²+b²）（由①替换）=4
9.（三角函数）（2010•江西）已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+π/4）sin（x-π/4）．
（1）当m=0时，求f（x）在区间[
]上的取值范围；
（2）当tana=2时，f（α）=3/5，求m的值．
【考点】同角三角函数间的基本关系；弦切互化．
【专题】综合题．
【分析】
（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；
（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．
【解析】
（1）当m=0时，
f（x）=（1+cotx）sin2x=（1+
）sin2x
=sin2x+sinxcosx=
=
，
由已知x∈[
]，得
∈[
1]，从而得：
f（x）的值域为[0,
]．
（2）因为f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+
）sin（x-
）
=sin2x+sinxcosx+
=
+
-
=
所以
……①
当tanα=2，得：
，
，
代入①式，解得m=-2．
四、向量代数与空间解析几何
10.（向量代数与空间解析几何）设向量
同时与向量
=
（3，1，4）及向量
=（1，0，1）垂直，则下列向量中为与a同方向的单位向量的是
【解析】
×
=（3，1，4）×（1，0，1）=（1，1，-1）
由
与
，
都垂直，可设AB，AC，AD，
=λ（1，1，-1）
由
为单位向量，
，故
，于是
=
（1，1，-1）
【知识点】向量积行列式表示
11.（向量代数与空间解析几何）直线L1：
与直线L2：
（A）
A、异面B、相交于一点C、平行但不重合D、重合
【解析】列出增广矩阵，用高斯消元法求解：
→
代入发现方程组无解，所以两直线异面
12.（向量代数与空间解析几何）直线2x-3y-7z+8=0x+y-z-2=0与直线2x-5y+z+2=0x-5y+z+7=0的位置关系是
A、异面B、相交于一点
根据答案选项可以知道没有平行这一项，则2直线方向向量必定不平行，所以只考虑两条直线有没有交点
题目给出的是直线的交面式，若两直线有交点，那么题目中的4个平面一定有一个交点
列出增广矩阵，用高斯消元法求解：
|2x-3y-7z-8||2x-3y-7z-8||2x-3y-7z-8|
|xy-z2|------>|xy-z2|------>|00z27/4|
|2x-5yz-2||2x-5yz-2||0y015/4|
|x-5yz-7||x005||x005|
代入发现方程组无解，所以两直线异面
13.（向量代数与空间解析几何）方程
表示（D）
A、单叶双曲面B、双曲柱面
C、双曲柱面在平面x=0上投影D、x=-3平面上双曲线
【解析】1.单叶双曲线
2.双叶双曲面
五、直线和圆
14.（直线和圆）已知直线l过点（-2，0），当直线l与圆x^2+y^2=2x,两个交点，求斜率K取值范围?
?
?
【解析】依题意
得:
y^2+x^2-2x=0
（x-1）^2+y^2=1
是一个以（1,0）为圆心，1为半径的圆
设直线为y=kx+b
过点（-2,0）b=2k
y=kx+2k也就是kx-y+2k=0
如果有两个交点，那么圆心到直线的距离要小于1
距离公式d=|k+2k|/根号（k^2+1）<1
得到k^2<1/8
那么k的取值（-根号2/4,根号2/4）
15.（直线和圆）从点P（m,3）向圆C：
（x+2）^2+（y+2）^2=1，引切线，则切线长的最小值为2√6
【解析】圆心到点P（m,3）的距离d=√[（m+2）^2+（3+2）^2]=√（m^2+4m+29）
切线长=√（d^2-r^2）
=√（m^2+4m+28）
=√[（m+2）^2+24]
当m=-2时，切线长的最小值=√24＝2√6
验证：
当P（-2，3），
则圆心（-2,-2）到点P（-2,3）的距离d=5，r=1，
所以用勾股定理求切线长，是切线长=√（d^2-r^2）=√24＝2√6
16.（直线和圆）P为双曲线x^2/9-y^2/16=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）^2+y^2=4和（x-5）^2+y^2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为
【解析】设左焦点为E，右焦点为F
要使目标最大，则PM尽可能的大，而PN尽可能的小
于是PM最大为PE＋2，而PN最小为PF－1（圆外一点到圆上距离最大最小的点是连接这一点与圆心的线与圆的交点）
故目标的最大值为（PE+2）-（PF-1）＝PE-PF+3＝8-2＋3＝9
17.（直线和圆）设直线ax-y+3=0与圆（x-1）^2+（y-2）^2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2√3，则a=0
【解析】由题得圆心（1，2），半径=2
又因为弦AB的长为2√3
所以圆心（1，2）到直线ax-y+3=O的距离=√（2^2-√3^2）=1（已知弦长，半径，利用勾股定理，可求得圆心到弦长的距离）
所以圆心（1，2）到直线ax-y+3=O的距离=｜a-2+3｜/√（a^2+1）=1（点到直线的距离d=|Aa+Bb+C|/√（A^2+B^2））
解得a=0
18.（直线和圆）过点（1，2）总可以作两条直线与圆x^2+y^2+kx+2y+k^2-15=0相切，则实数k的取值范围（2,8√3/3）∪（-8√3/3,-3）
【知识点】圆的一般方程
1）当
时，方程表示一个圆，其中圆心C
，半径r=
。
2）当
时，方程表示一个点
。
3）当
时，方程无图形（称虚圆）。
4）注意：
圆的参数方程：
。
方程
表示圆的充要条件是：
B=0且A=C≠0且
5）点的圆的位置关系
给定点M（x0,y0）及圆C：
（x-a）2+（y-b）2=r2。
M在圆C内等价于（x-a）2+（y-b）2M在圆C上等价于（x-a）2+（y-b）2=r2;
M在圆C外等价于（x-a）2+（y-b）2>r2.
【解析】首先…由题意判断点在圆外。
圆心坐标（-0.5k,-1），半径为√（16－0.75k2）
根据等量关系“点到圆心距离大于半径”列式，
即（1+k/2）2+（2+1）2>16-0.75k2，解得k>2或k<-3。
验证半径是否存在，也就是D^2+E^2-4F>0，
即√（16－0.75k^2）>0，解得k2<64/3即-8√3/3因此（2,8√3/3）∪（-8√3/3,-3）。
19.（直线和圆）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2√3，则k的取值范围-3/4≤k≤0
【解析】根据题意知：
kx-y+3=0，r=2
∵MN≥√3/2
∴圆心距≤√[r²-（MN/2）²]=1
即|3k-2+3|/√（k²+1）≤1
9k²+6k+1≤k²+1
8k²+6k≤0
-3/4≤k≤0
20.（直线和圆）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B两切点，那么向量PA.PB的最小值为-3+2√2
【解法一】
设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，
则∠APB=2α，由勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA•向量PB=|PA|•|PB|cos2α=x^2（1-2sin^2α）={x^2（x^2-1）}/（1+x^2）
=（x^4-x^2）/（1+x^2），
令向量PA•向量PB=y，
则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，
由于x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，
y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
x^2＞0，设x^2=t,
方程x^4-（1+y）x^2-y=0可以化为t^2-（1+y）t-y=0,
根据韦达定理得：
t1+t2=1+y,t1t2=-y,
当y≤-2√2-3时，t1+t2<0,t1t2>0,
这时t1，t2都是负值，因为x^2=t>0,所以不合题意，舍去。
当y≥-3+2√2时，t1+t2>0,t1t2>0,
这时t1，t2都是正值，符合题意。
故（向量PA•向量PB）min=-3+2√2
【解法二】
以圆心为坐标原点建立直角坐标系：
可以先把图作出，那么PA向量*PB向量=PA*PB*cosθ
连接OP（O即是原点，也是圆的圆心）
那么sin（θ/2）=1/PO
∴cosθ=1-2（sin（θ/2））^2=1-2/PO^2
∴PA向量*PB向量=PA*PB*（1-2/PO^2）
又∵PA*PB=PO^2-OA^2=PO^2-1
∴PA向量*PB向量=（PO^2-1）*（1-2/PO^2）=PO^2+2/PO^2-3
用基本不等式：
当PO=二的四分之一次方时，（PA向量*PB向量）min=-3+2根号2
21.（直线和圆）动点A（x,y）在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间t=0时，点A的坐标是（1/2,√3/2），则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：
秒）的函数的单调递增区间是[0，1]∪[7,12]
【解析】依题知：
30度每秒，A点开始与原点夹角为60度
第1象限：
t∈[0,1]递增
第2、3象限：
t∈（1,7）递减，舍
第4象限：
t∈[7,10]递增
回到第1象限：
（10,12]
∴综上所述：
[0，1]∪[7,12]为所求单调递增区间
六、圆锥曲线、参数方程和极坐标
22.（圆锥曲线、参数方程和极坐标）点P（a,b）是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为√2，则a+b=1/2
【解析】点P在双曲线上，a2-b2=1
x-y=0
P（a,b）到直线y=x的距离d=|a-b|/√2=√2,
则|a-b|=2.
a+b=（a^2-b^2）/|a-b|=1/2
23.（圆锥曲线、参数方程和极坐标）设F1、F2分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是√3/3【解析】椭圆右准线方程为：
x=a^2/c，
设准线与x轴的交点为F,在准线上取一点P使得|PF2|=|F1F2|,则线段PF1的中垂线必过点F2，
即|PF2|=|F1F2|>F2F
|F2F|=|OF|-|OF2|=a2/c-c
则2c>a2/c-c
3c2>a2
c2/a2>1/3
e=c/a>√3/3
离心率的取值范围是√3/324.（圆锥曲线、参数方程和极坐标）双曲线C1：
x2/a2-y2/b2=1（a>0,b>0）的左准线l，左焦点和右焦点分别为F1、F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则|F1F2|/|MF1|-|MF1|/|MF2|等于-1
【解析】设点M的横坐标为m，
则由双曲线焦半径，|MF1|=em+a，|MF2|=em-a
∵点M又在以F2为焦点，l为准线的抛物线上，l的方程为x=-a2/c
∴M到l的距离d=m-（-a2/c）=m+a2/c
抛物线满足：
抛物线上的点到焦点的距离=到准线的距离
∴d=|MF2|
即m+a2/c=em-a
得m=a2（a+c）/c（c-a）
∴em=a（a+c）/（c-a）
∴|MF1|=em+a=2ac/（c-a），|MF2|=em-a=2a2/（c-a）
∴|F1F2|/|MF1|=（c-a）/a，|MF1|/|MF2|=c/a
即|F1F2|/|MF1|-|MF1|/|MF2|=（c-a）/a-c/a=-1
25.（圆锥曲线、参数方程和极坐标）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为√3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是4√3
【解析】依题知：
F（1,0）,直线l:
y=√3（x-1）①
代入y2=4x,整理得
3x2-10x+3=0,
x1=3,x2=1/3.
代入①，y1=2√3，y2=-2（√3）/3（舍）。
∴A（3,2√3）。
L:
x=-1,K（-1,2√3），
|AK|=4,
∴三角形AKF的面积=（1/2）*4*2√3=4√3
26.（圆锥曲线、参数方程和极坐标）已知椭圆C：
x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的离心率为√3/2，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点，若向量AF=3向量FB，则k=
【解析】作椭圆右准线，从A、B分别做准线的垂线AM、BN，垂足M、N，
作BD⊥AM，垂足D，
根据椭圆第二定义，
e=|AF|/|AM|,
e=|BF|/BN|,
|AF|/|BF|=|AM|/BN|=3，
|AM|=3|BN|，
|MD|=|NB|，
|AD|=2|MD|，
|AD|=2|MA|/3，
又因|AF|/|AM|=√3/2，所以|AB|=4/3|AF|=2√3/3|AM|,
∴|AD|/|AB|=√3/3,
设直线倾斜角是θ，即有cosθ=√3/3,
所以直线斜率k=tanθ=√2.
七、简单几何体、函数的极限和连续、导数与微分、微分中值定理及其应用、不定积分、定积分及其应用
27.设0的值为（b）
28.设f（1-x）=arctanx，则f’（x）=（）
【解析】令1-x=t,则x=1-t,
f（1-x）=arctan（x）,
变量替换
f（t）=arctan（1-t）
对t求导，
f'（t）=[1/（1+（1-t）^2）]*（1-t）'
=[1/（1+（1-t）^2）]*（-1）
=-1/（1+（1-t）^2））,
令t=x,
则f'（x）=-1/（1+（1-t）^2））.
29.设函数f（x）=x（1-x）2定义在闭区间[0,2]上，则下列断言正确的是（C）
A．f（x）在x=0处取得极小值0B.f（x）在x=1处取得极小值0
C．f（x）在x=1/2处取得极大值1/8D.f（x）在x=2处取得极大值2
八、概率与统计
30.（概率与统计）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，1）内的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】根据变量符合正态分布和ξ在（0，1）内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知ξ在
（1，2）内的取值概率也为0.4，根据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率．
【解析】∵ξ服从正态分布N（1，σ2），ξ在（0，1）内的概率为0.4，
由正态分布的对称性可知ξ在（1，2）内的取值概率也为0.4，
∴P（0＜ξ＜2）=P（0＜ξ＜1）+P（1＜ξ＜2）=0.4+0.4=0.8
故答案为：
0.8
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的基本性质，考查互斥事件的概率公式，本题是一个基础题，运算量不大，不易出错．
31.（概率与统计）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。
方法一：
在10箱子中各任抽查一枚；方法二：
在5箱中各任意抽查两枚。
国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为P1和P2，则（P1【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；等可能事件的概率．
【专题】计算题．
【分析】每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是“没有劣币”，概率好求．方法一概率为1-0.910；方法二概率为1-（4/5）5，做差比较大小即可．
【解答】方案一：
此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为1/100，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一枚劣币的总概率为1-0.9910；
方案二：
此方案下，每箱的劣币被选中的概率为1/50，总事件的概率为1-（49/50）5，
作差得P1＜P2．
【点评】本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力．
32.（概率与统计）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（5/18）
【考点】等可能事件的概率．
【分析】由题意知本题是一个古典概型，本题所包含的总事件数正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件．4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，根据古典概型公式得到结果．
【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，
甲乙各自任选一条共有36个基本事件．
4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种
包括10个基本事件，
所以概率P=10/36=5/18，
【点评】对于几何中的概率问题，关键是正确理解几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件的基本事件数，进而利用概率公式求概率．
33.
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