第3讲全称量词与存在量词逻辑联结词.docx
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第3讲全称量词与存在量词逻辑联结词
第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词
项目一知识概要
1．全称量词与存在量词
（1）常见的全称量词有“所有”“每一个”“任意一条”“一切”等．
（2）常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．
2．全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题叫全称命题．
（2）含有存在量词的命题叫特称命题．
3．命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）p或q的否定：
非p且非q；p且q的否定：
非p或非q.
4．简单的逻辑联结词
（1）命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．
（2）简单复合命题的真值表：
p
q
p
q
p或q
p且q
（p或q）
（p且q）
p或
q
p且
q
真
真
假
假
真
真
假
假
假
假
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
真
真
假
假
假
真
真
假
假
真
真
真
真
项目二例题精讲
任务一 全（特）称命题的否定问题
【例1】 写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：
任意x∈R，x2－x＋≥0；
（2）q：
所有的正方形都是矩形；
（3）r：
存在x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
（4）s：
至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
分析 否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．
解析
（1）
p：
存在x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
（2）
q：
至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
（3）
r：
任意x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
（4）
s：
任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
评注
（1）对全（特）称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
②对原命题的结论进行否定．
（2）判定全称命题“任意x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立．
任务二 含有逻辑联结词命题的真假判断问题
【例2】
（1）若命题p：
函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：
函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞），则（ ）
A．p且q是真命题B．p或q是假命题
C．
p是真命题D．
q是真命题
（2）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．
答案
（1）D
（2）必要不充分
解析
（1）因为函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞），
所以p是真命题；
因为函数y＝x－的单调递增区间（－∞，0）和（0，＋∞），
所以q是假命题．
所以p且q为假命题，p或q为真命题，
p为假命题，
q为真命题，故选D.
（2）若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．
若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，
因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．
评注 “p或q”“p且q”“
p”形式命题真假的判断步骤：
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断其中命题p、q的真假；
（3）确定“p且q”“p或q”“
p”形式命题的真假．
任务三 逻辑联结词与命题真假的应用问题
【例3】
（1）已知p：
存在x∈R，mx2＋1≤0，q：
任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥2B．m≤－2
C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2
（2）已知命题p：
“任意x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：
“存在x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
分析 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．
答案
（1）A
（2）[e,4]
解析
（1）依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得，即m≥2.
（2）若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由任意x∈[0,1]，a≥ex,得a≥e；由存在x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p且q”“p或q”“
p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．
任务四借助逻辑联结词求解参数范围问题
【例4】已知c>0，且c≠1，设p：
函数y＝cx在R上单调递减；q：
函数f（x）＝x2－2cx＋1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
分析
（1）p、q都为真时，分别求出相应的a的取值范围；
（2）用补集的思想，求出
p、
q分别对应的a的取值范围；（3）根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假．
解析 ∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0即p：
00且c≠1，∴
p：
c>1.
又∵f（x）＝x2－2cx＋1在上为增函数，∴c≤.
即q：
00且c≠1，∴
q：
c>且c≠1.
又∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p真q假或p假q真．
①当p真，q假时，
{c|0②当p假，q真时，{c|c>1}∩＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是.
评注 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．
项目三感悟提高
1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．
2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．
3．p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真．
4．p或q的否定：
非p且非q；p且q的否定：
非p或非q.
5．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题p的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.
项目四冲刺必练
A组 专项基础训练
（时间：
40分钟）
一、选择题
1．设命题p：
函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：
函数y＝cosx的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真B．
q为假
C．p且q为假D．p或q为真
答案 C
解析 p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：
任意x∈A,2x∈B，则（ ）
A．
p：
任意x∈A,2x∈BB．
p：
任意x∉A,2x∉B
C．
p：
存在x∉A,2x∈BD．
p：
存在x∈A,2x∉B
答案 D
解析 命题p：
任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定
p应为存在x∈A,2x∉B，选D.
3．已知命题p：
所有有理数都是实数；命题q：
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
p或qB．p且q
C．
p且
qD．
p或
q
答案 D
解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有
p或
q为真命题．
4．已知命题p：
若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：
在等差数列{an}中（其中公差d≠0），m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件（m，n，p，q∈N＋）．
则下面选项中真命题是（ ）
A．
p且
qB．
p或
q
C．
p或qD．p且q
答案 B
解析
对于命题p，如图所示，作出函数y＝ax（a>1）与y＝logax（a>1）
在（0，＋∞）上的图像，显然当a>1时，函数y＝ax的图像在函数y＝
logax图像的上方，即当a>1时，ax>logax恒成立，故命题p为真命
题．
对于命题q，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，m＋n＝p＋
q是an＋am＝ap＋aq的充要条件，故命题q为假命题．
∴命题
p为假，
q为真，故
p或
q为真．
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．存在x0∈，sinx0＋cosx0≥2
B．任意x∈（3，＋∞），x2>2x＋1
C．存在x0∈R，x＋x0＝－1
D．任意x∈，tanx>sinx
答案 B
解析 对于选项A，
任意x∈，sinx＋cosx＝sin≤，
∴此命题为假命题；
对于选项B，当x∈（3，＋∞）时，x2－2x－1＝（x－1）2－2>0，∴此命题为真命题；
对于选项C，任意x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0，
∴此命题为假命题；
对于选项D，当x∈时，tanx<0∴此命题为假命题．故选B.
6．下列结论正确的个数是（ ）
①命题p：
“存在x0∈R，x－2≥0”的否定为
p：
“任意x∈R，x2－2<0”；
②若
p是q的必要条件，则p是
q的充分条件；
③“M>N”是“M>N”的充分不必要条件．
A．0B．1C．2D．3
答案 C
解析 对于①，易知①是正确的；对于②，由“
p是q的必要条件”知，q可推知
p，则p可推知
q（注：
互为逆否的两个命题的真假性一致），因此p是
q的充分条件，②正确；对于③，由M>N不能得到M>N，因此③是错误的．故选C.
二、填空题
7．若命题p：
关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集是{x|ap”、“
q”中，是真命题的有________．
答案
p、
q
解析 依题意可知命题p和q都是假命题，所以“p且q”为假、“p或q”为假、“
p”为真、“
q”为真．
8．若命题“|x－2|＋|x－4|>M恒成立”是假命题，则实数M的取值范围是________．
答案[2，＋∞）
解析因为|x－2|＋|x－4|≥2恒成立，所以M≥2.
9．已知c>0，设命题p：
函数y＝cx为减函数，命题q：
当x∈时，x＋>恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，那么c的取值范围是________．
答案
解析当命题p为真时，0当命题q为真时，由于2≤x＋≤，
所以<2，即c>.
若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
则p，q必为一真一假．
当p真q假时，c的取值范围是0当p假q真时，c的取值范围是c≥1.
综上可知，c的取值范围是.
10．下列结论：
①若命题p：
存在x∈R，tanx＝1；命题q：
任意x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p且
q”是假命题；
②已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p且綈q为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
三、解答题
11．写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）q：
任意x∈R，x不是5x－12＝0的根；
（2）r：
有些质数是奇数；
（3）s：
存在x0∈R，|x0|>0.
解析
（1）
q：
存在x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．
（2）
r：
每一个质数都不是奇数，假命题．
（3）
s：
任意x∈R，|x|≤0，假命题．
12．命题p：
方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：
方程4x2＋4（m＋2）x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求m的取值范围．
解析 当p为真命题时，设方程x2＋mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，则，得m<－2.
当q为真命题时，则Δ＝16（m＋2）2－16<0，得－3又“p或q”为真命题，所以m的取值范围为（－∞，－1）．
B组 专项能力提升
（时间：
20分钟）
1．下列命题中的假命题是（ ）
A．任意x∈R,2x－1>0
B．任意x∈N＋，（x－1）2>0
C．存在x∈R，lgx<1
D．存在x∈R，tanx＝2
答案 B
解析 A正确；对于B，当x＝1时，（x－1）2＝0，错误；
对于C，当x∈（0,1）时，lgx<0<1，正确；
对于D，存在x∈R，tanx＝2，正确．
2．给出下列四个结论：
①命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题为假命题；
②命题p：
任意x∈R，都有sinx≤1，则“非p”：
存在x0∈R，使sinx0>1；
③“φ＝＋kπ（k∈Z）”是“函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数”的充要条件；
④命题p：
存在x0∈R，使sinx0＋cosx0＝；命题q：
△ABC中，A>B⇔sinA>sinB，那么命题“非p且q”为真命题．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析 “若α＝，则tanα＝1”为真命题，则其逆否命题为真命题，知①错误；对全称命题的否定改为特称命题，根据格式可知②是正确的；当φ＝＋kπ（k∈Z）时，y＝sin＝（－1）kcos2x为偶函数，当函数y＝sin（2x＋φ）为偶函数时，φ＝＋kπ（k∈Z），可知③是正确的；因为sinx＋cosx＝sin≤<可知命题p为假命题，由△ABC中，A>B⇔sinA>sinB是正确的知命题q为真命题，所以“非p且q”为真命题，知④是正确的．
3．已知命题p：
“任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是__________．
答案 （－∞，1]
解析 若綈p是假命题，则p是真命题，
即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，
由于m＝－（4x－2·2x）＝－（2x－1）2＋1≤1，∴m≤1.
4．设p：
关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：
函数y＝的定义域为R.若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________________．
答案 ∪[1，＋∞）
解析 根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0对于命题q：
函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．
当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；
当a≠0时，不等式恒成立的条件是
，解得a≥.
所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥}．
由“p或q是真命题，p且q是假命题”，可知命题p，q一真一假，
当p真q假时，a的取值范围是P∩（∁RQ）＝{a|0当p假q真时，a的取值范围是（∁RP）∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥}＝{a|a≥1}．
综上，a的取值范围是∪[1，＋∞）．
5．已知c>0，且c≠1，设p：
函数y＝cx在R上单调递减，q：
函数f（x）＝x2－2cx＋1在区间（，＋∞）上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围．
解析若命题p为真，则06．已知命题p：
方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：
只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
解析 由2x2＋ax－a2＝0得（2x－a）（x＋a）＝0,
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0”，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．
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