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密度矩阵重整化方法

4.1密度矩阵

4.1.1纯态与混合态凡是能在希尔伯特空间中的一个矢量可以描写的状态，我们都称为纯态；两个纯态

|1>和|2>，通过叠加可以得到另一个纯态|:

|=c1|1>+c2|2>

有时，量子系统所处的状态，由于统计物理的原因或者量子力学本身的原因无法用一个态矢量来描写，系统并不处在一个确定的态中，而是有可能处在|1>,|2>⋯等各个态中，分别有概率w1、w2、w3、⋯⋯。

这个状态无法用一个态矢量表示，我们称之为混合态。

密度矩阵专门用来表示混合态。

任何量子态，不管是纯态，还是混合态，都可以用密度矩阵表示。

4.1.2密度矩阵密度矩阵是量子力学的一个重要概念,是1927年vonNeumann为了描述量子力学中的统计概念而引进的，它在量子力学中的主要作用是扩展了态矢量的应用范围,运用求解密

度算符的方法能比求解态矢的方法更为普遍地描述一个系统的信息.用态矢描写的状态可以等价地用一个态密度算符来描写;而一个用密度算符描写的状态却不一定能用一个态矢来

描写.也就是说,混合态以及原子系统只能用密度算符的方法来刻画,而不能用态矢量来刻画

态矢量或波函数,只能描述纯态,纯态经过相干叠加得到的仍然是纯态.由若干状态的非相干

叠加得到的是混合态.任一量子系统的任何状态（纯态或混合态）,总可以用一个厄米的、本征值非负的、迹为1的密度矩阵来表示.

具体的说，纯态是一种可以直接用态矢量|来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。

假设一个量子系统处于纯态|1,|2,|3⋯⋯的概率分别为w1，w2，w3⋯⋯，则这混合态量子系统的密度算符为

wi|ij|

注意到所有概率的总和为1：

wii

假设{|bi}是一

，其每一个元素i,j为

组规范正交基，则对应于密度算符的密度矩阵

bi|

|bj

wkk

bi|k

k|bj

对于这量子系统，

可观察量

的期望值为

wii

i|A|i

i|A|

itr（A）

是可观察量对于每一个纯态的期望值

i|A|

i乘以其权值

wi后的总和。

4.1.3约化密度矩阵

对于一个多自由度的体系,如果只测量与它的部分自由度相关的可观测量,测量就是

不完全量,同样,对于一个复合体系,若只对其子体系的力学量进行观测,也是一个不完全测量

此时对它的任何一个子体系的量子态的描述,必须用约化密度矩阵.约化密度矩阵是通过对

整个系统中的密度矩阵的某一子系求部分迹得到的.也就是说,如果只对一个大系统中的一部分（它的某个子系统）感兴趣,约化密度矩阵就应当对这个大系统的其余部分求迹.

举一个简单的例子，在两粒子1，2构成的系统中，希望求粒子1的某个物理量F

（1）的

平均值，设粒子1和2各有一组基矢{|i

>}和{m}，则在1,2两粒子空间的直积空间中，

系统的台式的

一般形式是：

cim|i|m

为了使|

归一化，系数cim应该满足

|cim|2=1

处在纯态|

时，系统的密度算符是

ii'mm'

|i'|m'ci'm'cimi|m|

而密度矩阵元i'm',im=ci'm'ci*m

现在求粒子1的某个物理量

（1）的平均值：

（1）>=tr[F

（1）]

=j'|j'jn'n

n'|F

（1）|j|nj|n||

j'|

=j'j'j

（1）|j|j|n||nn

|j'

令

（1）n||ntr2

tr2：

只对粒子2取迹。

（1）还是粒子1空间的算符，称为粒子1的约化密度算符，在粒子1的某个表象中的矩阵，称为粒子1的约化密度矩阵。

如此，F

（1）的平均值：

（1）tr1[F

（1）

（1）]

这个表达式与粒子2无关，只是在粒子1空间的关系。

4.2重整化方法

重整化方法是一个循环的过程，根据某一个原则在循环的每一步中保留部分状态，一方面，随着“系统”的“格点”数增加，“系统”的希尔伯特空间维数保持在一定的量级，或者说运算量不再是指数增加的，而是线性增加的；另一方面，即使在很多步循环后，这些被保留的状态经过若干次“放大”后，依然能够“精确地”（在一定的精度范围以内）被用来表示“系统”某一些状态（对应于每一个能量尺度）。

示意图如下：

4.3密度矩阵重整化方法DMRG

在密度矩阵重整化方法中（DMRG），我们将整个系统看做一个超块（superblock）。

为了降低超块的维度，我们人为的将其分为系统块（systemblock）和环境块（environmentblock）。

假设系统块（systemblock）和环境块（environmentblock）的基矢是{|i>}（i=1,2,⋯⋯Ms）和{|j}（j=1,2⋯⋯Me）。

Ms和Me一般并没有要求，可以等，也可以不等。

超块

superblock）的哈密顿量的矩阵表示所对应的基矢为{|S}={|i>}{|j>}.

超块的哈密顿量HBB的某个本征态可以写成张量级的形式：

MsMe

|（i,j）|i|j

i1j1

|i|i,|j|j

假设{|ua}（a=1,⋯，m

从某种意义来说，我们可以将基矢{|ua}看做是基矢{|i}的一种“旋转”：

假设系统子空间的算符用{|ua>}来表示，那么，我们得到的超级块的哈密顿量HBB的，

与HBB的本征函数|Ψ>所对应的，本征函数应表示成：

首先：

Mmin（Ms,Me）m

aa'

uiauia'aa'

aa'

jjaa'

选择{va}为{v}的子集。

由于正交性条件，

因此，我们得到：

写成矩阵的形式：

uD2u

所以我们所要找的优化子空间基矢是约化密度矩阵的本征矢，并且，对相应的本征值是最大的一部分。

密度矩阵重整化方法示意图：

基本思路如下：

（1）构建超块的哈密顿矩阵：

HBBHB?

HBB：

超块的哈密顿量

HB?

block与site构成的系统（system）的哈密顿量

：

site与site之间的哈密顿量

B：

site与block组成的环境（environment）的哈密顿量

2）找出我们需要的态：

HBB（i,j）E（i,j）

3）构建block与site（B?

）或者site与block（?

B）的约化密度矩阵：

（i,i'）（i,j）（i',j）

（4）构建重整化变化矩阵：

注：

此图来自兰州大学阿继凯的硕士学位论文，的应用。

DMRG方法的发展及在一维扩展t-J模型中

5）对系统（system）和环境（environment）中算符的重整化变化：

Os（e）,mmUmmnOs?

（?

e）,mnmnUmnm

（6）不断的重复

（1）—（5）。

面我们具体讨论一下DMRG在我们这个模型中的应用：

1）L=4时，

构建超块的哈密顿矩阵：

HBBHB?

HB?

=（S1zS2z

（（S1

S2）

h.c.））I44

1/4

1/2

1/4

I22

HL2I

1/4

1/2

1/4

1/41/2

1/21/4

1/4

2）找出我们需要的态：

HBB（i,j）E（i,j）

第二章，我们曾经讨论过，我们可以按照Stz的不同将H写为：

HL4

St2HL2

St1St0

HL4HL4

HLSt4

1HLStz42

1616

4664

而这些矩阵表示的基矢必须对应的变化为

}

|,|

}

|,|

}

在Stz=0的子空间中，HB?

为6x6的矩阵。

对角化后得到的基态|0为6x1的列向量，

|0T=（-0.1494，0.5576，-0.4082，-0.4082，0.5576，-0.1494）

|0是HBB的对角空间表示的一个基矢，

在4个自旋为1/2的希尔伯特子空间中，HBB的基态为一个16x1的列向量，它的转置

0.5573，0，-0.1494,

=（0，0，0，-0.1494，0，-0.5576，-0.4082，0，0，-0.4082，

0，0，0）

我们把基矢空间看成系统块（systemblock）与环境块（environmentblock）指标i与j的张量形式：

||||

相对应。

对于基态波函数：

|0=（-0.1494，0.5576，-0.4082，

-0.4082，0.5576，-0.1494）

其的张量形式：

0.1494

0.5576

0.4082

0.5576

0.1494

（3）构建block与site（B?

）或者site与block（?

B）的约化密度矩阵

（i,i'）

0（i,j）0（i',j）j1

0.0223

0.4777

0.4553

0.4777

0.0223

（4）构建重整化变化矩阵：

我们利用

MATLAB

中的eig（）语句，将约化密度矩阵对角化，找出它的本征值

wa和本征

态ua：

0.0223

0.9330

0.7071

在这个例子中，我

我们已经按照约化密度矩阵的本征值由小到大的顺序将本征矢排好了。

们选择4个本征值所对应的本征矢来构建Bi?

的所有算符的新基矢。

我们构建的重整化变换矩阵：

U（u1u2u3u4）

0.70710.7071

我们的重整变化矩阵并没有将

Bi?

空间的位数降低，因为这里我们并没有做截断，由此来验

证一下我们之前所说的变化的合理性。

（5）对系统（system）中算符的重整化变化

s（e）,mm

mmns?

（?

e）,mnmnmnm

0.25

0.5

0.25

0.5

U4T4

HBU

0.5

0.25

1/2

I22

Siz2

1/2

U4T4

S2,l2U

1/2

Si2

4T4S

U44

重整化之后H

S2z,

重整化之前的

重整化之后的

1/2

重整化之前的

重整化之后的

S2,

重整化之前HB

重整化之前的

SI22Si2

22i20

重整化之后的

SU4T4SU44

44440

这个结果并不奇怪，因为我们没有对其进行截断；

0.25

0.5

0.25

HB?

（HB

I22

S2,i

2Siz

（Si2

3Si2Si3））I88

0.5

0I88

0.5

HL2

0.25

0.5

0.25

L=6：

BI88（I22

Siz4

Si5

12（Si

4Si

Si4

Si5））

0.5

I880

0.5

HBBHB?

这个结果与我们在原始希尔伯特空间求得的结果一致，这从某种程度上说明DMRG算法的合理性；

下面继续讨论将其截断的做法：

和上述过程一样，我们重新找出基态：

HBB0（i,j）E00（i,j）

0.0094

0.0607

0.1316

0.0802

0.1316

0.4494

0.3085

0.2376

0.3085

0.0802

0.3085

0.2376

0.3085

0.4494

0.1316

0.0802

0.1316

0.0607

0.00940

重新构建

block与site（

）或者

site与block

（?

B）的约化密度矩阵

（i,i'）

0（i,j）0（i',j）

0.0001

0.1581

0.2225

0.0645

0.2225

0.3144

0.0918

0.0274

0.0918

0.0645

（i,i'）0

0.0645

0.0918

0.0274

0.0918

0.3144

0.2225

0.0645

0.2225

0.1581

0.0001

用MATLAB中的eig（）求得本征值和相应的本征态。

我们选择7个最大本征值所对应的本征矢，来构造重整化变换矩阵

（u1,u2,

u7）

0.0067

0.0019

0.0039

0.5773

0.0192

0.5918

0.5622

0.0019

0.0039

0.5773

0.0062

0.1908

0.7939

0.3509

0.0031

0.7825

0.0253

0.2316

0.0019

0.0039

0.5773

0.0253

0.7825

0.2316

0.3509

0.0031

0.1908

0.0062

0.7939

0.3509

0.0031

0.5918

0.0192

0.5622

0.7941

然后我们对算符同一样的进行重整化变化

Os（e）,mm

UmmnOs?

（?

e）,mn

mnUmnm

0.5

重整化前的HB

0.5

重整化后的HB

U78HBU8

0.0546

0.0074

0.2272

0.0546

0.2272

0.0074

0.2272

0.9454

0.2272

0.0074

0.9154

重整化之前的

S3zI4

4Siz3

重整化之后的

0.3769

0.0011

0.2077

0.0056

0.0011

0.1973

0.5

0.0022

0.0023

0.0022

0.0011

0.0022

0.1667

0.0092

0.3417

0.3246

0.0017

S3zU7T8S3zU78

0.2077

0.0092

0.1491

0.0097

0.0108

0.3327

0.0056

0.0023

0.3417

0.0097

0.1491

0.3327

0.0108

0.0011

0.0022

0.3246

0.0108

0.3327

0.1839

0.1973

0.0017

0.3327

0.0108

0.1839

重整化之前的

Si3

I44Si

重整化之后的

0.28

0.4028

0.4766

0.1925

0.1973

0.4465

0.0039

0.5773

0.0018

0.0017

Si3U7T8Si3U780.0011

0.0169

0.3418

0.0097

0.2986

0.6654

0.5918

0.0071

0.0097

0.0215

0.5622

0.0038

0.0011

0.0022

0.3246

0.0215

0.6654

0.3678

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