指数函数知识点总结.docx

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指数函数知识点总结

指数函数

（一）指数与指数幕的运算

a（a0）

a（a0）

1根式的概念：

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n€N负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n.O0。

当n是奇数时，器ana，当n是偶数时，Van|a|

2•分数指数幕

正数的分数指数幕的意义，规定：

m

an:

am（a0,m,nN,n1）

0,

0的负分数指数幕没有意义

mnm

ana

0的正分数指数幕等于

3•实数指数幕的运算性质

0,m,nN,n1）

rrrs

（1）a•aa（a0,r,sR）;

rsrs

（2）（a）a（a

0,r,s

R）；

（3）（ab）r『/（a

0,r,s

R）•

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地,

函数

yax（a0,且a

数，其中x是自变量，函数的定义域为R

注意：

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和

1）叫做指数函

1•

2、指数函数的图象和性质

a>1

0

、

1-

■■■-.

定义域R

定义域R

值域y>0

值域y>0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点

（0,1）

函数图象都过定点

（0,1）

注意：

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在［a,b］上，f（x）ax（a0且a1）值域是［f（a）,f（b）］或

［f（b）,f（a）］

（2）若x0，则f（x）1；f（x）取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f（x）ax（a0且a1），总有f

（1）a；

指数函数•例题解析

1

（1）y=3厂

（2）y=..2x21（3）y=33x1

解

（1）定义域为x€R且x丰2.值域y>0且y丰1.

⑵由2x+2-1>0,得定义域｛x|x>-2｝，值域为y>0.

⑶由3-3x-1>0,得定义域是｛x|x<2｝,T0<3-3x—1<3,•••值域是0wy<.3.

练习：

（1}y

⑵y（3）凶；

xx1

（3）y421;

【例2］指数函数y=ax,y=bx,y=cx,

则a、b、c、d、1之间的大小关系是［

A.a

B.a

C.b

D.c

解选（c），在x轴上任取一点（x,则得b

练习：

指数函数①■''②

y=dx的图像如图

2.6-2所示,

（）.

4

（2）0.65

（1）.2、32>54、88、916的大小关系是:

32

（3）4.54.1

3.73・6

1

解⑴T222,32

函数y=2x,2>1,该函数在^1324

又一<—<—<—<

3859

12

23,5425,

（—x,+*）上是增函数,

34

8828,91629,

1

2」32V88<54<916<2.

4

解

（2）:

0.65>1,

31

1>（|）2,

（2）

431

•-0.65>

（2）2.

解⑶借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1>4.53.6,作函数=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6—3,取x=3.6，得4.53.6>3.73.6•••4.54.1>3.73・6.

J

y

—

/却

1

0

图£

・6-3

说明如何比较两个幕的大小：

若不同底先化为同底的幕，再利用指数函数的

单调性进行比较，如例2中的

（1）.若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小时,

有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的

（2）.其二构造一个新的幕作桥梁,

这个新的幕具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6（或3.74.1）,

如例2中的（3）.

练习：

（1）1.72.5与1.73

（2）0.8

0.1

与0.8

0.2

（3）1.70'3与0.93'1

2.12.0

（4）3.5和2.7

【例4】比较大小n1an与nan1（a>0且a^1,n>1）.

n1n解Va

1

n（n1）a

当0Vav1,

1

Tn>1,>0,

n（n1）

1

n（n1）

V1,

n1anvnan1

当a>1时，Tn>1,>0,

n（n1）

1

n（n1）n1nnn1

…a>1,.a>.a

【例5】作出下列函数的图像：

1

（1）y=

（2）x1

（2）y=2x-2,

（3）y=2|x-11

（4）y=|1-3x|

11

解

（1）y=（，）x1的图像（如图2.6-4），过点（0,-）及（一1,1）.

是把函数

（2）

的图像向左平移1个单位得到的.

解

（2）y=2x-2的图像（如图2.6—5）是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到的.

S2.&-4

解（3）利用翻折变换，先作y=2|x|的图像，再把y=2|x|的图像向右平移1

个单位，就得y=2|x-11的图像（如图2.6—6）.

解⑷作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像，再把y=

—3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方

的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.（如图2.6-7）

【例8】

已知f（x）=

A

二一（a>1）

（1）判断f（x）的奇偶性;

a1

⑵求f（x）的值域；⑶

证明f（x）在区间（—8,+^）上是增函数.

解

（1）定义域是R.

xx

a1a1

f（—X）=x--x-=—f（x）,

a1a1

•••函数f（x）为奇函数.

ax11yy1

⑵函数丫=—,TyM1,.・.有ax=>0-1VyV1,

a1y11y

即f（x）的值域为（一1,1）.

⑶设任意取两个值X[、（-rn,+m）且X[VX?

.f（X1）—f（x2）

xl1

a1

—-

a1

Ta>1,X1VX2,aX1vax2,（aX1+1）

aX21_2（aXlaX2）

ax21_（aXl1）（ax21）'

（aX2+1）>0,•f（xjVfg），故f（x）在R上为增函数.

、选择题:

（本题共

12小题,每小题

单元测试题

5分,共

60分）

1、

化简

1

32

1

216

结果是

2、

丄

32

B、

丄

32

1

232

丄

32

63a94等于（

8小42

C、aDa

4、函数f（x）

2X

a1在R上是减函数，则a的取值范围是（

）

5、

下列函数式中，满足

f（x1）

1

2

f（x）的是（

）

A

1

-（X1）B

1

、x—

C

、2XD

2%

2

4

6、

下列f（x）（1a

X\2xF

）|a是（

）

A

奇函数B、

偶函数

C

、非奇非偶函数

B

D、既奇且偶函数

7、已知ab,ab0，下列不等式

22ab1133

1）ab；⑵22；⑶；U；wab；

a

1

b

1

中恒成立的有（）

3

3

A

1个

B、2个C、3个

8、函数y

2X

2X

A、奇函数

9、函数y

A,1

B

1

2X

、偶函数

-的值域是（

1

0

0,

、既奇又偶函数D、非奇非偶函数

C、1,D、（，1灯0,

x

10、已知0a1,b1,则函数yab的图像必定不经过（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

11、F（X）

2X

f（x）（x0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（）

A、是奇函数

、可能是奇函数，也可能是偶函数

C是偶函数

D、不是奇函数，也不是偶函数

12、一批设备价值

a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低

b%，则n年后这批设备

的价值为（）

Ana（1b%）B

a（1nb%）

、a[1（b%）n]D、a（1b%）

二、填空题：

（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）

14、函数y§（3

23x2

15、函数y323x的单调递减区间是。

16、若f（52x1）x2，则f（125）。

三、解答题：

（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

22

17、设0a1,解关于x的不等式a2x3x2a2x2x3。

18、已知x

3,2，求f（x）

丄丄1的最小值与最大值。

42

19、设aR，f（x）

a2x

2x

（x

R），试确定a的值，使

（x）为奇函数。

x22x5

1

20、已知函数y，求其单调区间及值域。

21、若函数y4X

^2X3的值域为1,7，试确定x的取值范围。

22、已知函数f（x）

x

ax，（a1）

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求该函数的值域；（3）证明

a1

f（X）是R上的增函数。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

C

D

D

B

C

A

D

A

A

D

指数与指数函数同步练习参考答案

13、

9

14、

1,39，令U

3

22

2x8x12（x2）9,•

3

“U

又•

1

y丄为减函数，.

19

-

3

3

2

为0,

16、

f（125）f（53）f（5221）220

17、

ax在

上为减函数，：

a

22

2x23x22x22x3

a

2x2

3x

22x22x

18

4x

2x

2

8.

则当

f（x）有最小值

;当

3时,

f（x）有最大值57。

19、要使

f（x）为奇函数，•x

f（x）

f（

x）0,

•••f（x）

f（

x）

2x1

X

2a

2（2x1）

2x

1。

20、令

x2

2x

5,则y是关于

U的减函数,

上的减函数,

1,

上的增函数，•

1x2

3

2x5

在

1上是增函数，而在

1,

上是减函

21、y

（2x）2

（2x）2

由函数

Ux22x5

（x

1）2

x2

2x5

的值域为

0,

4

1

—。

3

4x32x322x32x

3，依题意有

32x3匕7即1匕2匕4,•2<

32x3>12x>2或2x<1

2x

1,

y2x的单调性可得x

0][1,2]。

22、

（1）•••定义域为x

R,且

f（

x）

x

a

x

1a

f（x）,f（x）是奇函数;

（2）f（x）讥

1,

-2,即f（x）的值域为1,1；

1

（3）设捲，X2R,且捲沁,

f（Xi）f（X2）

ax^1ax21

aX11__1

2a512ax2（a511）（aX21）

0（•••分母大于零，且aX1aX2）

f（x）是R上的增函数。