解析：
由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P＝
＋
＋
＝
.
答案：
知识点二 互斥事件和对立事件
事件
定义
性质
互斥事件
在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件
P（A＋B）＝P（A）＋P（B），（事件A，B是互斥事件）；
P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）（事件A1，A2，…，An任意两个互斥）
对立事件
在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和
称为对立事件
P（
）＝1－P（A）
易误提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
[自测练习]
3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（ ）
“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”．
A．①② B．①③
C．②③D．①②③
解析：
从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{（白，白），（红，红），（黑，黑），（红，白），（红，黑），（黑，白）}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．
答案：
A
4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：
（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝
.
答案：
A
考点一 事件的关系|
1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
解析：
根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．
答案：
D
2．设条件甲：
“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：
“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：
“至少出现一次正面”，事件B：
“3次出现正面”，则P（A）＝
，P（B）＝
，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件．
答案：
A
3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是
，那么概率是
的事件是（ ）
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
解析：
至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.
答案：
A
集合法判断互斥事件与对立事件的方法
1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
2．事件A的对立事件
所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
考点二 随机事件的概率|
（2015·高考陕西卷）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
（1）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
（2）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解]
（1）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为
.
（2）称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如，1日与2日，2日与3日等）．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为
.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为
.
1．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩（成绩都为整数，试题满分120分），并且绘制了条形统计图（如图所示），则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上（含90分）获奖，那么获奖的概率大约是________．
解析：
由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为
＝0.4375，即本次竞赛获奖的概率大约是0.4375.
答案：
32 0.4375
考点三 互斥事件与对立事件的概率|
某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）1张奖券的中奖概率；
（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解]
（1）P（A）＝
，P（B）＝
＝
，
P（C）＝
＝
.
（2）因为事件A，B，C两两互斥，所以P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝
＋
＋
＝
.
故1张奖券的中奖概率为
.
（3）P（
）＝1－P（A＋B）＝1－
＝
.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
.
求复杂互斥事件概率的两种方法
（1）直接求法：
将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
（2）间接求法：
先求此事件的对立事件，再用公式P（A）＝1－P（
）求得，即运用逆向思维（正难则反），特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．
2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.
（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；
（2）求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
解：
记A表示事件：
该车主购买甲种保险；B表示事件：
该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：
该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：
该车主甲、乙两种保险都不购买．
（1）由题意得P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，又C＝A∪B，
所以P（C）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.5＋0.3＝0.8.
（2）因为D与C是对立事件，所以P（D）＝1－P（C）＝1－0.8＝0.2.
31.正难则反思想求互斥事件的概率
【典例】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）
[思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．
[解]
（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9（分钟）．
（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P（A1）＝
＝
，P（A2）＝
＝
.
P（A）＝1－P（A1）－P（A2）＝1－
－
＝
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为
.
[思想点评]
（1）要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．
（2）正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．
（3）需准确理解题意，特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义．
[跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品（甲级）的概率为（ ）
A．0.95 B．0.97
C．0.92D．0.08
解析：
记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P（A）＝1－P（B）－P（C）＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
答案：
C
A组 考点能力演练
1．甲：
A1、A2是互斥事件；乙：
A1、A2是对立事件，那么（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
解析：
根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件．
答案：
B
2．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为（ ）
A．0.5 B．0.3
C．0.6D．0.9
解析：
依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－（0.2＋0.3）＝0.5.
答案：
A
3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析：
A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．故选D.
答案：
D
4．（2016·云南一检）在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
分析题意可知，共有（0,1,2），（0,2,5），（1,2,5），（0,1,5）4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝
.
答案：
C
5．（2015·孝感二模）某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有（女，女，男，男），（女，男，女，男），（女，男，男，女），（男，男，女，女），（男，女，男，女），（男，女，女，男），所以第2位走出的是男同学的概率P＝
＝
.
答案：
A
6．（2016·温州十校联考）记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．
解析：
根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：
10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为
.
答案：
7．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．
解析：
设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A、B、C，由条件知P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.65，
P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.6，
又P（A∪B）＝1－P（C），∴P（C）＝0.35，
∴P（B）＝0.25.
答案：
0.25
8．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为
，乙夺得冠军的概率为
，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
解析：
由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为
＋
＝
.
答案：
9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率．
解：
（1）厨余垃圾投放正确的概率约为
＝
＝
.
（2）设生活垃圾投放错误为事件A，则事件
表示生活垃圾投放正确．
事件
的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P（
）约为
＝0.7，所以P（A）约为1－0.7＝0.3.
10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：
（1）至多2人排队等候的概率是多少？
（2）至少3人排队等候的概率是多少？
解：
记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥．
（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则
G＝A∪B∪C，
所以P（G）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）法一：
记“至少3人排队等候”为事件H，则
H＝D∪E∪F，
所以P（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：
记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.
B组 高考题型专练
1．（2014·高考陕西卷）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解：
（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得
P（A）＝
＝0.15，P（B）＝
＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为
＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
2．（2015·高考北京卷）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品
顾客人数
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解：
（1）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
＝0.2.
（2）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
＝0.3.
（3）与
（1）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
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