分数的意义和性质知识点及配套练习题.docx

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分数的意义和性质知识点及配套练习题

分数的意义和性质知识点及配套练习题 分数的意义

【导入】提问：

① 把一条线段平均分成 5 份,1 份是它的 （）/（）;4 份是它的 （）/（） ；

② 分数单位是（）。

② 把一块饼平均分成 2 份 ,每份是它的 （）/（） ；分数单位是（）。

③ 把一个正方形平均分成 4 份 .1 份是它的 （）/（）;3 份是它的 （）/（） ；

④ 分数单位是（）。

④ 用一张长方形的纸 ,折出它的 1/4, 并涂上阴影 .（画出图）

⑤ 用一张正方形的纸 ,折出它的 3/8, 并涂上阴影 .（画出图）

【小结】

单位“ 1”：

我们可以把许多物体看作一个整体 ,比如 :

一堆苹果 ,一批玩具 ,一班学生 ,

一个计量单位或是许多物体组成的一个整体,都可以用自然数 1 来表示 ,

通常我们把它叫做单位“ 1”.

分数：

 把单位 "1" 平均分成若干份 ,表示这样的一份或者几份的数 ,叫做分数 .

分数单位：

 把单位 "1" 平均分成若干份 ,表示其中一份的数 ,叫做分数单位 .

【例题讲解】

例 1:

 文化路小学五年级一班有 42 人,其中有 5 人是三好学生 .

三好学生占全班人数的几分之几？

分数与除法的关系

【导入】提问 :

① 7/8 是什么数，它表示什么？

② 7 ÷8 是什么运算，它又表示什么？

③ 你发现 7/8 和 7÷8 之间有联系吗？

【例题讲解】

例 2:

 把 1 米长的钢管平均截成 3 段 ,每段长多少？

例 3:

 把 3 块饼平均分给 4 个孩子 ,每个孩子分得多少块？

【思考】把 5 块饼平均分给 8 个孩子 ,每个孩子分得多少？

说一说自己的分法和想法 .

【小结】

分数与除法的关系：

被除数÷ 除数 = 被除数 / 除数

也可以用字母表示为：

 a÷b=a/b （b ≠ 0），思考：

 b 为什么不能等于 0？

当两个自然数相除不能整除时 ,它们的商可以用分数表示 ,由于除法是一种运算 ,

而分数是一种数 ,因此 ,我们只能说被除数相当于分数的分子 ,除数相当于分数的分母 .

故此 ,分数与除法既有联系 ,又有区别 .在整数除法中零不能作除数 ,那么 ,分数的分

母也不能是零 .

【练习】

1、用分数表示下面各式的商 .

5÷824÷2516÷497÷13

9÷9c÷d

2、7/10 表示把单位 "1" 平均分成 （） 份 ,表示这样的 （） 份的数 .

1÷21 表示两个数 （）, 还可以表示把 （） 平均分成 （） 份,表示这样的一份的数 .

分数与除法关系的应用

【导入】提问 :

① 3 分米是几分之几米？

② 17 分是几分之几时？

【例题讲解】

例 4:

 小新家养鹅 7 只 ,养鸭 10 只 .养的鹅是鸭的几分之几？

提问 :

这道题用谁作标准？

该怎样计算？

【小结】

求一个数是另一个数的几倍与求一个数是另一个数的几分之几,都用除法计算 ,

除数都作标准数 ,得到的商都表示两个数之间的关系 ,都不能写单位名称 .

【练习】

1、把 5 个饼分给 9 孩子吃 ,每个孩子分得多少个？

2、小新家养鸡 30 只 ,养鸭 10 只.养的鸡是鸭的几倍？

3、30 分米 =（） 米180 分=（） 小时

真分数和假分数

【导入】

观察比较下列每个分数中分子,分母的大小,并试着按一定的原则把这些分数分组.

1/3 、3/3 、 3/4 、 1/5 、 5/6 、 2/5 、 3/5

4/5、 5/5 、7/4 、9/5、 10/5 、11/5 、15/5

【小结】

真分数 :

分子比分母小的分数叫做真分数 . 真分数小于 1。

假分数：

 分子比分母大或者分子和分母相等的分数 ,叫做假分数 . 假分数等于或大于 1.

【例题讲解】

例 5、观察下列分数 ,它们有没有共同的特点？

3/3 、5/5 、 10/5 、 15/5

提问 :

 ①这些假分数还可以用什么数来表示？

②我们可以用什么方法把它们化成整数？

这样计算的依据是什么？

（分子除以分母 ,分数与除法的关系 .）

例 6、下面的假分数哪些能化成整数？

哪些不能？

16/4 、 9/2 、18/18 、 23/7 、 35/12

【小结】

定义

带分数：

当假分数的分子不是分母的倍数时,可以写成整数和真分数合成的数 ,

通常叫做带分数 .它是一部分假分数的另一种书写形式 .

假分数化成带分数方法

1、整数部分：

用分子除以分母 ,得到的商作带分数的整数部分 ,

2、分数部分：

余数作带分数分数部分的分子,分母不变 .

比较把假分数化成整数和把假分数化成带分数的方法什么共同点和不同点：

共同点 :

都是用分母去除分子 .

不同点 :

商不同 .一种无余数 ,可以写成整数 ;一种有余数 ,可以写成带分数 .

【练习】

1、请说出 3 个真分数 ,3 个假分数。

2、① 下面分数中哪些是真分数，哪些是假分数？

1/3 、3/3 、 5/3 、 1/6 、 6/6 、 7/6 、 13/6

② 把上一题中的分数用直线上的点表示出来 ,看一看表示真分数的点和表示假分数

的点 ,分别在直线的哪一段上？

3、把 8/2 、9/3 、 4/4 、 12/6 化成整数 .

4、把下面的假分数化成整数或是带分数

7/3 、 8/2 、 15/5 、 9/4 、13/13 、 11/6 、 30/11

【课后作业】

1、用分数表示下面各式的商

5÷614÷2512÷1218÷35

2、在括号里填上适当的数或字母 .

12÷35=（）/（）（）÷（）=4/7

（）÷（）=a/b8÷（）=（）/9

（）÷17=7/（）1÷（）=（）/d

3、写出四个分母是 7 的真分数 .

4、写出三个分数值是 1 的假分数 .

5、写出两个分母是 9,分数值比 1 大又比 2 小的假分数 .

6、把下面这些假分数化为整数或是带分数 .

25/5 、 72/4 、 54/6 、 100/25 、 7/3 、 8/2 、 15/5 、 9/4 、 13/13 、 11/6 、 30/11

7、分数 a/b 中,当 a,b 分别是什么数时 ,它为真分数？

什么数时 ,它为假分数？

7

8、 12 的分数单位是（），再添（）个这样的分数单位就是最小的质数。

9、 在下图的中填上适当的数，直线上面填假分数，下面填带分数。

10、 某校五年级一班男生有 23 人，女生有 25 人。

女生占全班人数的几分之几 ？

11、 把 3 吨化肥平均分给 5 个生产队，每个生产队分多少吨？

每个生产队分得化肥总数

的几分之几？

12、 一堆货物 120 吨，用去了 45 吨，还剩总数的几分之几？

分数的基本性质

【导入】提问：

1 、120 ÷30 的商是多少？

被除数和除数都扩大3 倍,商是多少？

被除数和除数都缩小 10 倍呢？

2、把下面的分数改写成两个数相除的形式 .

2/3=（）÷（）5/8=（）÷（）

【新课内容】

学生操作 :

将手中的长方形纸片平均分成若干份 . （1/2 、 2/4 、3/6 ）

提问 :

虽然每个同学所剪的份数不同 ,但它们之间大小关系怎样

观察一下 :

这些分数的分子 ,分母变化有什么规律？

【小结】

分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0 除外 ）,分数的大小不变 .

【巩固练习】

1、要求分数的大小不变 .

1/3=（）/610/15=（）/61/4=5/（）

2、下面分数中哪两个分数相等？

3/421/3215/201/54/20

3、在下面的括号内填上适当的数，使得分数的大小不变。

3/4=（）/81/2=（）/106/（）=2/7

2/3=（）/18=16/ （）12/24=（）/4

【例题讲解】

例 1把 2/3 和 10/24 化成分母是 12 而大小不变的分数 .

【课后作业】

一、判断

1、分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。

 （）

2、分数的分子和分母同时加上或减去同一个数，分数的大小不变。

（）

4

3

二、填空。

1

2

2

3

3、根据分数的基本性质，把下列的等式补充完整。

1 （）2 （）61228（）

287426

三、按要求完成下面各题

=

2

（）

11 ⨯ 22

==

5

8   8 ÷ （ ） 2

=

16

1  （） （） 7

=   =   =

（）

（）

1、把下面的分数化成分母是 36 而大小不变的分数。

211218

3698

2、把下面的分数化成分子是 1 而分数大小不变的分数。

12633

24361215

四、综合应用

3

4

3

7

【基础知识点】

3、分式的基本性质：

分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数或者式子，分式的值不变。

4、分式的约分

（1）约分的概念：

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

（2）分式约分的依据：

分式的基本性质．

（3）分式约分的方法：

把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

（4）最简分式的概念：

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．

5、分式的通分

把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

※思考：

分数通分的方法及步骤是什么？

答：

先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母

的分数。

分式的通分和分数的通分是一样的：

通分的关键是确定几个分式的公分母。

6、最简公分母：

各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。

 当

分母分为系数和字母两个部分时）

※找最简公分母的步骤：

（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数；

（2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

（3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

※回顾分解因式找公因式的步骤：

（1） 找系数：

找各项系数的最大公约数；

（2） 找字母：

找相同字母的最低次幂；

典型例题

例 1：

约分：

 1）

- 4a 2bc 3                            2a 2 （x - y ）3

a（y - x）

例 2：

不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数都化为整数，且分子分母不含公因式

1

21=

3 a - 4 b

4

x + 0.25 y

（2） 5

2 x - 0.6 y

针对性练习

把下列各式约分：

1）x 2 - 25

a 2 + 4a + 3

24a 2b 3 d

- 15（a + b） 2a 2 - abx 2 - x - 2

（4）（5）；（6）；

- 25（a + b）a - b4 - x 2

小结：

1．约分的主要步骤：

先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂， 包括

分子分母中系数的最大公约数）。

2．约分的依据是分式的基本性质：

约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分

母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。

3．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母

的系数约去它们的最大公约数．

4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．

注 意 ：

 1. 当 分 式 的 分 子 与 分 母 的 因 式 只 差 一 个 符 号 时 ， 要 先 处 理 好 符 号 再 约 分 ， 因 式 变 号 规 则 如 下 ：

⎧（a - b）2n = （b - a ）2n

⎩

（其中 n 为自然数）

2．分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母

中相同的因式）。

典型例题

例 1 、 求分式

1     1    1

     ,    的公分母。

2 x 3 y 2 z 4 x 2 y 3 6 xy 4

例 2求分式

1       1

与      的最简公分母。

4 x - 2 x 2 x 2 - 4

例 3通分：

（1）

y  x   1                                4a   3c    5b

 , ；                         

（2） ,            。

2 x 3 y 2 4 xy                             5b 2 c 10a 2b - 2ac 2

例 4通分：

（1）

x       1     2 x                    1      2 x

       , ，          

（2）                ；

（2 x - 4） 2 6 x - 3x 2 x 2 - 4                x 2 - 1 x 2 - 3x + 2

针对性练习

1、通分：

（1） x - y;

2 y 2                    x 3                                  1   b

（2） ;- x 2 - x - 1                 （3） ,

x + y                  x - 1                               4a2 2ac

abc

ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1

※小结

1．把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是分式的基本性质；

2．分式通分的关键是，确定各分式的最简公分母；

3．分式通分的目的是，把异分母的分式转化为与原分式相等的同分母的分式，为学习异分母分式的加减法做准

备。

二、巩固练习：

6a3ba 2 + ab

1．约分：

（1）

（2）

-2ab2a 2 + 2ab + b2

2、填空：

11

=；

（2）；（3）。

2 x 3 y 2 z12 x 3 y 4 z4 x 2 y 312 x 3 y 4 z6 xy12 x 3 y 4 z

3．求下列各组分式的最简公分母：

15111

,,,

3ab 2 4a 2 c 6bc 22mn 6m 2 n 2 9m 3c

；

4．通分：

（1）

y  z 3x          3b  c    2a

  ,  ；  

（2） ,   -

2 x 3 y 4 z 4a 3 6ab  3b 2 c

；   （3） -

1     2     5

 ,    。

8x 4 y 3x 2 y 3 z 6 xz 2

五、课后练习

1、下列各式是不是分式？

为什么？

（1） x 2

8

y ; （3）

2m

π

2、在下列各式中，当 x 取什么数时，下列分式有意义？

（1）.x

x + 1       x

x 2 - 9 ....（3）. | x | -2

答：

（1）；

（2）；（3）；

3、在下列分式中，当取什么数时，分式值为零？

（1）.x - 1

| x | -5

（ x + 3）（ x - 5）

4、下列分式变形中正确的是（）

aa 2a + 1a 2 + 2ab + 1aab

A、 b = abB、 a - 1 =a 2 - 1C、 b = b 2

5、把下列各式约分

b + 1

D、 a

= ab + 1

a 2

.

（1）. a 2 + 6a + 9

27a n+3b 2

6a n b 3

（3）. - 6 x（a - x） 2

6、通分：

（1） x - 1

- 2 x 2

4 x + 1

（2） 2

3a

2

3     4

- 4ab 2

（3）

x

a（ x - y） b（ y - x） ；