高中数学 《直线的交点坐标与距离公式》教案19 新人教A版必修2.docx
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高中数学《直线的交点坐标与距离公式》教案19新人教A版必修2
2019-2020年高中数学《直线的交点坐标与距离公式》教案19新人教A版必修2
一、教学目标
（一）知识教学点
知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．
（二）能力训练点
通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．
（三）学科渗透点
通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．
二、教材分析
1．重点：
两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．
2．难点：
对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．
3．疑点：
当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合．
四、教学过程
（一）两直线交点与方程组解的关系
设两直线的方程是
l1：
A1x+B1y+c1=0， l2：
A2x+B2y+C2=0．
如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组
是否有唯一解．
（二）对方程组的解的讨论
若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．
下面设A1、A2、B1、B2全不为零．
解这个方程组：
（1）×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0， （3）
（2）×B1得 A2B1x+B1B2y+B1C2=0． （4）
（3）-（4）得（A1B2-A2B1）x+B2C1-B1C2=0．
下面分两种情况讨论：
将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得
上面得到y可把方程组写成
即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组．
综上所述，方程组有唯一解：
这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．
（2）当A1B2-A2B1=0时：
①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零（为什么？
）．设C2
②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零（当C1、
（三）统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论
说明：
在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．
（四）例题
例1 求下列两条直线的交点：
l1：
3x+4y-2=0， l2：
2x+y+2=0．
解：
解方程组
∴l1与l2的交点是M（-2，2）．
例2 已知两条直线：
l1：
x+my+6=0，
l2：
（m-2）x+3y+2m=0．
当m为何值时，l1与l2：
（1）相交，
（2）平行，（3）重合．
解：
将两直线的方程组成方程组
解得m=-1或m=3．
（2）当m=-1时，方程组为
∴方程无解，l1与l2平行．
（3）当m=3时，方程组为
两方程为同一个方程，l1与l2重合．
（五）课后小结
（1）两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．
（2）直线的三种位置关系所对应的方程特征．
（3）对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．
五、布置作业
1．（教材第35页，1．9练习第2题）判断下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标：
2．（教材第35页，1．9练习第3题）A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0
（1）平行；
（2）重合；（3）相交．
解：
（1）A=3，C≠-2；
（2）A=3，C=-2；（3）A≠3．
3．（习题三第7题）已知两条直线：
l1：
（3+m）x+4y=5-3m，
l2：
2x+（5+m）y=8．
m为何值时，l1与l2：
（1）相交；
（2）平行；（3）重合．
解：
（1）m≠1且m≠-7；
（2）m=-7；（3）m=-1．
六、板书设计
2019-2020年高中数学《直线的交点坐标与距离公式》教案2新人教A版必修2
一、教学目标
（一）知能目标：
1。
直线和直线的交点
2．二元一次方程组的解
（二）情感目标：
1。
通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内
的联系。
2．能够用辩证的观点看问题。
二、教学重点，难点
重点：
判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：
两直线相交与二元一次方程的关系。
三、教学过程：
（一）课题导入
用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。
课堂设问一：
由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？
（二）探研新知
分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：
A1x+B1y+C1=0,L2：
A2x+B2y+C2=0
如何判断这两条直线的关系？
教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。
几何元素及关系
代数表示
点A
A（a，b）
直线L
L：
Ax+By+C=0
点A在直线上
直线L1与L2的交点A
课堂设问二：
如果两条直线相交，怎样求交点坐标？
交点坐标与二元一次方程组有什关系？
学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？
（1）若二元一次方程组有唯一解，L1与L2相交。
（2）若二元一次方程组无解，则L1与L2平行。
（3）若二元一次方程组有无数解，则L1与L2重合。
课后探究：
两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？
1．例题讲解，规范表示，解决问题
例题1：
求下列两直线交点坐标
L1：
3x+4y-2=0
L1：
2x+y+2=0
解：
解方程组
得x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2），如图3。
3。
1。
教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。
同类练习：
书本114页第1，2题。
例2判断下列各对直线的位置关系。
如果相交，求出交点坐标。
（1）L1：
x-y=0，L2：
3x+3y-10=0
（2）L1：
3x-y=0，L2：
6x-2y=0
（3）L1：
3x+4y-5=0，L2：
6x+8y-10=0
这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。
二．启发拓展，灵活应用。
课堂设问一。
当变化时，方程3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形
有何特点？
求出图形的交点坐标。
（1）可以一用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。
（2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。
（3）结论，方程表示经过这两条直线L1与L2的交点的直线的集合。
（三）小结：
直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。
（四）练习及作业：
a）光线从M（-2，3）射到x轴上的一点P（1，0）后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。
b）求满足下列条件的直线方程。
经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。
板书设计：
略
第二课时3..3..。
2两点间距离
一、教学目标
（一）知能目标：
掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。
（二）情感目标：
体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题
二、教学重点，难点：
重点，两点间距离公式的推导。
难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
三教学过程：
（一）课题导入
课堂设问一：
回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题
平面直角坐标系中两点
，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为
（二）探研新知
直线相交于点Q。
在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为过点向y轴作垂线，垂足为，于是有
所以，=。
由此得到两点间的距离公式
在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。
例题解答，细心演算，规范表达。
例1：
以知点A（-1，2），B（2，），在x轴上求一点，使,并求的值。
解：
设所求点P（x，0），于是有
由得
解得x=1。
所以，所求点P（1，0）且
通过例题，使学生对两点间距离公式理解。
应用。
解法二：
由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=
线段AB的垂直平分线的方程是y-
在上述式子中，令y=0，解得x=1。
所以所求点P的坐标为（1，0）。
因此
同步练习：
书本116页第1，2题
（三） 巩固反思，灵活应用。
（用两点间距离公式来证明几何问题。
）
例2证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
分析：
首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。
证明：
如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。
设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为
所以，
所以，
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：
建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。
第二步：
进行有关代数运算。
第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
思考：
同学们是否还有其它的解决办法？
还可用综合几何的方法证明这道题。
课堂小结：
主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。
课后练习1.：
证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等
2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与（-2，2）构成一个等边三角形。
3．（1994全国高考）点（0，5）到直线y=2x的距离是——
。
板书设计：
略。
第三课时3．3．3点到直线的距离
3、3、4两条平行线间的距离
一、教学目标：
（一）知能目标：
1.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；
2、会用点到直线距离公式求解两平行线距离
（二）情感目标：
1。
认识事物之间在一定条件下的转化。
用联系的观点看问题
二、教学重点、难点
教学重点：
点到直线的距离公式
教学难点：
点到直线距离公式的理解与应用.
三、教学过程
（一）课题导入
前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。
逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。
用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。
要求学生思考一直线上的计算？
能否用两点间距离公式进行推导？
两条直线方程如下：
.
（二）探研新知
1．点到直线距离公式：
点到直线的距离为：
（2）数行结合，分析问题，提出解决方案
学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.
这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。
（1）提出问题
在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?
学生可自由讨论。
画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。
方案一：
设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d
此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
方案二：
设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，
由得
.
所以，｜PＲ｜＝｜｜＝
｜PS｜＝｜｜＝
｜ＲS｜＝
×｜｜由三角形面积公式可知：
·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜
所以
可证明，当A=0时仍适用
这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。
意志品质等方面得到了提高。
3．例题应用，解决问题。
例1求点P=（-1，2）到直线3x=2的距离。
解：
d=
例2已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。
解：
设AB边上的高为h，则
S=
，
AB边上的高h就是点C到AB的距离。
AB边所在直线方程为
即x+y-4=0。
点C到X+Y-4=0的距离为h
h=，
因此，S=
通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。
同步练习：
118页第1，2题。
4．拓展延伸，评价反思。
（1）应用推导两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为：
，
：
，则与的距离为
证明：
设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为
又
即，∴d＝
的距离.
解法一：
在直线上取一点P（４，0），因为∥
例3求两平行线：
，：
，所以点P到的距离等于与的距离.于是
解法二：
∥又.
由两平行线间的距离公式得
四、课堂练习：
1，已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。
且该直线过点（2，3），求该直线方程。
五、小结：
点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式
六、课后作业：
13.求点P（2，-1）到直线2＋3－3＝0的距离.
14.已知点A（，6）到直线3－４＝2的距离d=4，求的值：
15.已知两条平行线直线和的一般式方程为：
，
：
，则与的距离为
七．板书设计：
略
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