高中数学思想方法之数学归纳法培优题库及详解高难度百题.docx
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高中数学思想方法之数学归纳法培优题库及详解高难度百题
高中数学思想方法之数学归纳法培优题库及详解（高难度百题）
一、解答题（共100小题；共1300分）
1.数学归纳法证明：
．
2.用数学归纳法证明：
能被整除．
3.用数学归纳法证明：
4.用数学归纳法证明：
．
5.已知，且，，且，求证：
．
6.设（一共个），．计算，，试猜想，并用数学归纳法加以证明．
7.数列满足．
（1）计算，，，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明
（1）中的猜想．
8.数列是这样确定的：
，，且，，，，，试归纳出的表达式，并用数学归纳法予以证明．
9.若，观察下列不等式：
，，，请你猜测满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．
10.在数列中，，且．
（1）求，，的值；
（2）归纳猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
11.数列满足．
（1）计算，，，；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
12.已知数列满足．
（1）写出，，，并推测的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．
13.已知函数，设，，．证明：
．
14.数列满足．
（1）计算，，，，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明
（1）中的猜想．
15.证明：
对一切正整数，能被整除．
16.证明：
对一切正整数，能被整除．
17.设数列的前和为，满足，，且．
（1）求，，的值；
（2）求数列的通项公式；
18.是否存在常数，，使等式对一切都成立?
并证明的结论．
19.已知数列满足，且．
（1）求，，的值，并猜想的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
20.设，，令，．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
21.在数列中，，．求，，试判定与的大小，并加以证明．
22.证明：
．
23.证明：
．
24.已知：
且，，，证明：
．
25.数列的通项，试写出数列的前项和公式，并用数学归纳法证明．
26.证明：
．
27.用数学归纳法证明：
．
28.用数学归纳法证明：
．
29.已知满足，且，问是否存在实数，使对任何都成立，证明你的结论．
30.设数列的前项和为，满足，，且．
（1）求，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
31.是否存在正整数，使得对任意自然数都能被整除?
若存在，求出最大的的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
32.用数学归纳法证明：
．
33.用数学归纳法证明：
能被整除．
34.用数学归纳法证明：
凸边形的对角线的条数．
35.设无穷数列，，，，满足关系式，，．用数学归纳法证明：
，．
36.设数列满足，，，，，
（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式（不需证明）；
（2）记为数列的前项和，试求使得成立的最小正整数，并给出证明．
37.已知，求证：
．
38.用数学归纳法证明，对于，都有．
39.数列满足，．
（1）求，，，；
（2）根据
（1）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
40.已知，是否存在不小于的正整数，使得对于任意的正整数，都能被整除?
如果存在，求出最大的值；如果不存在，请说明理由．
41.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，，证明．
42.用数学归纳法证明：
求证．
43.已知数列，，，，，，计算，，，根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法给出证明．
44.用数学归纳法证明．
45.若，，．
（1）求证：
；
（2）令，写出，，，的值，观察并归纳出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
46.是否存在正整数使得对任意自然数都能被整除?
若存在，求出最大的的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
47.设，，有序数组经次变换后得到数组，其中，，，．例如：
有序数组经次变换后得到数组，即；经第次变换后得到数组．
（注时，，，则）
（1）若，求的值；
（2）求证：
，其中．
48.已知函数，设为的导数，．
（1）求，．
（2）猜想的表达式，并证明你的结论．
49.设是任意正整数，求证：
能被整除．
50.已知，求证：
对任意大于的自然数，．
51.用数学归纳法证明：
能被整除．
52.是否存在常数，，使得等式对一切正整数都成立?
并证明你的结论．
53.用数学归纳法证明：
能被整除．
54.平面内有个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：
这个圆将平面分成个部分．
55.给出四个等式：
猜测第个等式，并用数学归纳法证明．
56.用数学归纳法证明：
，．
57.求证：
当为正奇数时，是的倍数．
58.用数学归纳法证明：
，其中．
59.是否存在常数、，使等式对一切正整数都成立，并证明你的结论．
60.设数列满足
（1）当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式；
（2）当时，证明：
对所有的，都有．
61.用数学归纳法证明：
．
62.已知数列，，，，为该数列的前项和．
（1）计算，，，；
（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
63.已知数列的前项和为，通项公式为，．
（1）计算，，的值；
（2）比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
64.用数学归纳法证明：
对于一切正整数，能被整除．
65.一种计算装置，有一个数据入口和一个运算出口，按照某种运算程序：
①当从口输入自然数时，从口得到，记为；②当从口输入自然数时，在口得到的结果是前一个结果的倍．
（1）当从口分别输入自然数，，时，从口分别得到什么数?
试猜想的关系式，并证明你的结论；
（2）记为数列的前项的和．当从口得到的倒数时，求此时对应的的值．
66.已知数列满足：
，，证明：
当时，
（1）；
（2）；
（3）．
67.求证：
，其中．
68.是否存在常数，，使等式对一切正整数都成立?
并证明你的结论．
69.已知函数．
（1）求方程的实数解；
（2）如果数列满足，，是否存在实数，使得对所有的都成立?
证明你的结论．
（3）在
（2）的条件下，设数列的前项的和为，证明：
．
70.对于任意正整数，判断与的大小，并加以证明．
71.设实数，，，满足，且，令．求证：
．
72.已知函数，当时，函数取得极大值．
（1）求实数的值；
（2）已知结论：
若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得．试用这个结论证明：
若，函数，则对任意，都有；
（3）已知正数，，，，满足，求证：
当，时，对任意大于，且互不相等的实数，，，，都有．
73.已知数列满足，，，．
（1）求证：
；
（2）求证：
当时，．
74.在数列中，，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）证明存在，使得对任意均成立．
75.设，是否存在关于自然数的函数，使等式对于的一切自然数都成立?
并证明你的结论．
76.已知集合，（），设，令表示集合所含元素的个数．
（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．
77.定义：
设为上的可导函数，若为增函数，则称为上的凸函数．
（1）判断函数与是否为凸函数；
（2）设为上的凸函数，求证：
若，，则恒有成立；
（3）设，，，求证：
．
78.已知的三边长为有理数．
（1）求证：
是有理数；
（2）求证：
对任意正整数，是有理数．
79.用数学归纳法证明：
．
80.如下图，设，，，，，是曲线上的点列，，，，，，是轴正半轴上的点列，且，，，，都是正三角形，设它们的边长为，，，，，求证：
．
81.函数，定义数列如下：
，是过两点，的直线与轴交点的横坐标．
（1）证明：
；
（2）求数列的通项公式．
82.已知是等差数列，首项，前项和为．令，数列的前项和．数列是公比为的等比数列，前项和为，且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）证明：
．
83.在各项为正的数列中，数列的前项和满足．
（1）求，，；
（2）由
（1）猜想数列的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．
84.平面内有条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：
这条直线把平面分割成块．
85.已知数列：
，，，，与数列：
，，，，．记．
（1）若，求的值；
（2）求证：
．
86.是否存在常数，，使对于一切都成立?
若存在，求出，，并证明；若不存在，试说明理由．
87.用数学归纳法证明：
88.设实数，整数，．
（1）证明：
当且时，；
（2）数列满足，，证明：
．
89.已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．
（1）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；
（3）令，数列，的前项和分别记为，，证明：
．
90.已知集合.若存在非空集合，，，使得，且，并，，，都有，则称集合具有性质，称为集合的子集．
（1）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集，
（2）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设，求证：
，，，都有．
（3）求证：
对任意正整数，集合具有性质．
91.已知数列中，满足，，记为的前项和．证明：
（1）；
（2）；
（3）．
92.设，．
（1）若，求，及数列的通项公式；
（2）若，问：
是否存在实数，使得对所有成立?
证明你的结论．
93.
（1）已知函数，其中为有理数，且，求的最小值；
（2）试用
（1）的结果证明如下命题：
设为正有理数，若，则；
（3）请将
（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．（注：
当为正有理数时，有求导公式．）
94.数列的各项均为正数，且，的前项和是．
（1）若是递增数列，求的取值范围；
（2）若，且对任意，都有，证明：
．
95.设数列满足，且对任意正整数，中小于等于的项数恰为，中小于等于的项数恰为．
（1）求；
（2）求数列的通项公式．
96.在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．
（1）求，的值；
（2）求数列与的通项公式；
（3）设，，证明，．
97.已知在数列中，，，．
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）记为数列的前项和，求证：
．
98.已知数列满足：
，，且记集合．
（1）若，写出集合的所有元素；
（2）若集合存在一个元素是的倍数，证明：
的所有元素都是的倍数；
（3）求集合的元素个数的最大值．
99.若数列满足，则称具有性质．
（1）若数列、具有性质，为给定的整数，为给定的实数．以下四个数列中哪些具有性质?
请直接写出结论．
①；②；③；④．
（2）若数列具有性质，且满足，．
（i）直接写出的值；
（ii）判断的单调性，并证明你的结论．
（3）若数列具有性质，且满足．求证：
存在无穷多个整数对，满足．
100.函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，，证明：
．
答案
第一部分
1.①当时，，，等式成立．
②假设当时等式成立，即，
则当时，
即当时，等式也成立．
由①②知，对一切，命题成立．
2.
（1）当时，，能被整除，命题成立．
（2）假设时，命题成立，即能被整除，
则当时，
因为能被整除，所以能被整除，
即当时，命题也成立．
由
（1）和
（2）可知，对任何，命题成立．
3.略
4.（）当，左边，右边，左边右边，命题成立．
（）假设时，有，则当时，
左边右边，命题成立．
从而，对，有．
5.①当时，左边，
右边．
因为，
所以原不等式成立．
②假设当时不等式成立，即．
那么时，因为，所以．
于是
因为，所以，
所以．这就是说，当时不等式也成立．
根据①和②，原不等式对任何，且都成立．
6.，
．
由此猜想．下面用数学归纳法证明：
①当时，，命题成立；
②假设当时，命题成立，即，那么，当时，
，故当时，猜想成立．
由知①②，上述对任何的都成立．
7.
（1）当时，，
所以；
当时，，
所以；
当时，，
所以．
由此猜想．
（2）①当时，结论成立，
②假设时结论成立，
即，当时，
，
所以，
所以，
所以当时结论成立，于是对于一切的自然数，成立．
8.，
，
同理，
猜想，
证明：
（1）当时，公式成立，
（2）假设时，，
则当时，，
所以当时，公式也成立，
由
（1）
（2）知，公式对任何都成立．
9.满足的不等式为．
（1）当时，猜想成立；
（2）假设当时，猜想成立，即．
那么当时有
即当时猜想也成立．
根据
（1）
（2）可得猜想对任意的都成立．
10.
（1），因为，所以，，解得，
同理.
（2）根据计算结果，可以归纳出，
当时，，与已知相符，归纳出的公式成立．
假设当时，公式成立，即.
由可得：
即.
所以，即当时公式也成立
综上，对任何都成立．
11.
（1）当时，．
当时，，
所以．
当时，，
所以．
当时，，
所以．
（2）由猜想．
证明：
①当时，，结论成立．
②假设时，结论成立，即．
那么时，
所以．
所以．
由①②可知，对，都成立．
12.
（1）由题意得，，，猜测．
（2）①由
（1）已得当时，命题成立；
②假设，时，命题成立，即，
当，时，，
且，
所以，
所以，，
即当时，命题成立．
根据①②得对任意，成立．
13.①当时，由题设知．又，所以成立．
当时，因为，而，
所以，不等式也成立．
②假设当时，不等式成立．
因为，的对称轴是，所以在上是增函数．
由，得，即．
所以，
故当时，不等式也成立．
由①②知，时，恒成立．
14.
（1）当时，，
所以．
当时，，
所以．
同理：
，．
由此猜想．
（2）（ⅰ）当时，，结论成立．
（ⅱ）假设（，且）时，结论成立，
即，
那么（，且）时，
所以，
所以，
这表明时，结论成立．
由（ⅰ）（ⅱ）可知对一切正整数，都有．
15.①当时，能被整除，
②假设当，
则能被整除，
设，，
当时，
而当，显然为偶数，
设为，，
故
也能被整除，故当时结论也成立；
由①②可知对一切正整除，能被整除．
16.①当时，原式=8，能被整除，
②假设当（）时结论成立，则能被整除，
设，
当时，
而当时，显然为偶数，设为，故
也能被整除，故当时结论也成立；
由①②可知对一切正整数，能被整除．
17.
（1）由题意知：
解得：
（2）由
（1）问猜想．下面用数学归纳法证明．当时，满足题意，
假设当时满足通项公式，即，由题可知，
所以
化简得
因为
故时，所以当时，结论成立．综上，，．
18.时，，
时，，
时，，
解得，，，
证明（）当时，，，等式成立．
（）假设时等式成立，即，
则当时
所以当时等式也成立．
综上（）（）对于，所有正整数都成立．
19.
（1）由得，
因为，
所以，同理可求，，，猜想（n为正整数）．
（2）①当时，猜想成立．
②设当时，猜想成立，即，则当时，有
所以当时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何都成立．
20.
（1）因为，
所以，
，
．
（2）猜想：
．
下面用数学归纳法证明：
①当时，，猜想成立；
②假设当时猜想成立，
即：
，
则
所以当时猜想也成立．
由①，②可知，对任意都有成立．
21.由，，
得，．
经比较有，，．
猜想．
下面利用数学归纳法证明．
①当时，因为，所以．
②假设当时，结论成立，
即，所以．
当时，
所以，也就是说，当时，结论也成立．
根据①②知．
22.（）当时，左边，右边，显然成立；
（）假设当时，，成立，
那么当时，
等式也成立．
由（）（）知等式对任意的正整数均成立．
23.（）当时，左边，右边，显然成立；
（）假设当时，成立，
那么当时，
等式也成立．
由（）（）知等式对任意的正整数均成立．
24.
（1）当时，左边，
右边，因为，所以原不等式成立；
（2）假设当时，成立，
那么当时，
因为，所以．
左边也成立．
由
（1）
（2）知不等式对任意的，均成立．
25.观察以下规律：
；
；
；
；
证明：
（1）当时，显然成立；
（2）假设当时，成立，
那么当时，
等式也成立．
由
（1）
（2）知等式对任意的正整数均成立．
26.（）当时，左边，右边显然成立；
（）假设当时，成立，
那么当时，
等式也成立．
由（）（）知等式对任意的正整数均成立．
27.
（1）当时，，，等式成立．
（2）假设当时等号成立，即
那么当时，
即当时，等式也成立．
由
（1）
（2）可知，等式对任何正整数都成立．
28.
（1）当时，，，等式成立．
（2）假设当时，等式成立．
即．
则当时，
即当时，等式成立．
由
（1）
（2）可知，对任何等式均成立．
29.因为．
令，则．
又，
所以得
所以
（1）当时，式显然成立．
（2）假设时式成立，即．
则当时，
所以当时，等式成立．
综合
（1）
（2）可知，存在实数，，且，，使对任意都成立．
30.
（1），，，
联立，解得：
，，．
（2）猜想下用数学归纳法证明．
（I）由（）知，当时，猜想成立；
（II）假设当时，猜想成立，即，
则，
故，
代入，
解得：
，
所以，时，命题得证．
综合（I）（II）可知：
．
31.由，得，，，，
由此猜想．
下面用数学归纳法证明：
①当时，显然成立；
②假设时，能被整除，即能被整除；
当时，
由于是的倍数，故能被整除，这就是说，当时，也能被整除．
由①②知，对一切正整数都有能被整除，的最大值为．
32.①当时，左边，右边，命题成立．
②假设当）时命题成立，则，
那么当时，
故当时，命题也成立．
综上可知，命题对一切非零自然数都成立．
33.（）当时，，能被整除．
（）假设时，能被整除，则可设（为次多项式）．
当时，
能被整除．从而，对，能被整除．
34.（）三角形没有对角线，当时，，即命题成立．
（）假设当时命题成立，即．那么当时，凸边形由原来个顶点变为个顶点，故对角线的条数增加，即，即当时命题也成立．根据（）、（）可以断定，命题对任意且都成立．
35.（i）当时，因为，又，所以等式成立．
（ii）设当（即，，，）时有，则当时，
．
所以当时等式也成立．
36.
（1），，，猜想.
（2），使得成立的最小正整数.
下证：
时都有.
①时，，即成立；
②假设时，成立，那么，即时，不等式成立；
由①、②可得，对于所有的
都有成立．
37.
（1）当时，，即时命题成立；
（2）假设当时命题成立，即，
则当时，
故当时，命题成立．
由和可知，对，.不等式都成立．
38.
（1）当时，，，所以等式成立．
（2）假设时等式成立，即．
则对有，
即对有等
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