第2讲 比和比例.docx

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第2讲比和比例

第2讲比和比例

基本思路：

注意整体与部分之间的对应关系及其变化。

概念：

如果不变量k是变量y与变量x的商，即在x变化时y与x的商不变：

=k，那么y与x成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：

xy＝k，那么y与x成反比例．

如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．

　例1下列各题中的两种量是否成比例？

成什么比例？

　　⑴速度一定，路程与时间．

　　⑵路程一定，速度与时间．

　　⑶路程一定，已走的路程与未走的路程．

　　⑷总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．

　　⑸总产量一定，亩产量和播种面积．

　　⑹整除情况下被除数一定，除数和商．

　　⑺同时同地，竿高和影长．

　　⑻半径一定，圆心角的度数和扇形面积．

　　⑼两个齿轮啮合转动时转速和齿数．

　　⑽圆的半径和面积．

　　（11）长方体体积一定，底面积和高．

　　（12）正方形的边长和它的面积．

　　（13）乘公共汽车的站数和票价．

　　（14）房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．

（15）汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．

例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：

2：

3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？

例3一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？

例4师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？

例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？

例6一个长方形长与宽的比是14：

5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加

182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？

习题

1．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方米？

2．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长方形的周长是120米，求这块地的面积？

3．水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是5∶3，求橘子、苹果各是多少筐？

4．化肥厂计划生产化肥1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的25％，照这样计算，剩下的任务还需多少天完成？

5．小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是4∶3，已知一件上衣7元，求一条裤子多少元？

　6.小刚读一本书，第一天读了全书的

，第二天比第一天多读了6页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？

7．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比是2∶3，已知甲走完全用

小时，求两车几小时在中途相遇？

8．“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公里，结果两次所用的时间相等．求顺水船速与逆水船速的比．

第二讲比和比例

　　在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．

　　成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如

成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：

xy＝k，那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例．

　　下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．

　　例1下列各题中的两种量是否成比例？

成什么比例？

　　①速度一定，路程与时间．

　　②路程一定，速度与时间．

　　③路程一定，已走的路程与未走的路程．

　　④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．

　　⑤总产量一定，亩产量和播种面积．

　　⑥整除情况下被除数一定，除数和商．

　　⑦同时同地，竿高和影长．

　　⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．

　　⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．

　　⑩圆的半径和面积．

　　（11）长方体体积一定，底面积和高．

　　（12）正方形的边长和它的面积．

　　（13）乘公共汽车的站数和票价．

　　（14）房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．

　　（15）汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．

　　分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢？

关键是能否把两个

两种形式，或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①

×零件数＝总时间，总时间一定，制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．

　　解：

成正比例的有：

①、⑦、⑧、（15）

　　　　成反比例的有：

②、④、⑤、⑥、⑨、（11）、（14）

　　　　不成比例的有：

③、⑩、（12）、（13）．

　　例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：

2：

3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3千米，问此人走完全程用了多少时间？

　　分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米，又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．

　　解：

上坡路的路程：

　　走上坡路用的时间：

　　上坡路所用时间与全程所用时间比：

　　走完全程所用时间：

　　例3一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比？

　　分析要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时，合金的重量不是36克，而是（36－6）克．铜的重量始终没有变．

　　解：

铜和锌的比是2∶3时，合金重量：

　　36－6＝30（克）．

　　铜的重量：

　　新合金中锌的重量：

　　36－12＝24（克）．

　　新合金内铜和锌的比：

　　12∶24＝1∶2．

　　答：

新合金内铜和锌的比是1∶2．

　　例4师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？

工作量与工作效率成正比例．

　　解法1：

设师傅加工x个，徒弟加工（168－x）个．

　　　　　　5x＝168×9－9x，

　　　　　14x＝168×9，

　　　　　　x＝108．

　　　　168－x＝168－108＝60（个）．

　　答：

师傅加工108个，徒弟加工60个．

　　＝60（个），（徒弟）．

考方法可求出两人各用了多少分钟．然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数．

　　解法4：

按比例分配做：

　　例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天？

　　分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×（1＋25％）＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数．

　　根据工效和工时成反比例的关系，得：

　　提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．

　　解法1：

设完成计划还需x天．

　　1600÷20×（1＋25%）×x＝1600－1600÷20×5

　　　　　　　　80×1.25×x＝1600－400

　　　　　　　　　　　100x＝1200

　　　　　　　　　　　　x＝12．

　　答：

完成计划还需12天．

　　解法2：

此题还可以转化成正比例．根据实际效率是原来效率的1＋25

因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答．设完成计划还需x天．

　　5x＝60，

　　x＝12．

　　解法3：

（按工程问题解）设完成计划还需x天．

　　例6一个长方形长与宽的比是14：

5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？

　　画出图便于解题：

　　解法1：

BC的长：

182÷13＝14（厘米），

　　　　　　BD的长：

14＋13＝27（厘米），

　　从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，

　　AB与BD的比是5∶（14－5）＝5∶9，

　　原长方形面积是42×15＝630（平方厘米）．

　　答：

原长方形面积是630平方厘米．

　　解法2：

设原长方形长为14x，宽为5x．由图分析得方程

　　（14x－13）×13－5x×13＝182，

　　　　　　　　　　　　　9x＝27，

　　　　　　　　　　　　　x＝3．

　　则原长方形面积

　　（14×3）×（5×3）＝630（平方厘米）．

　　例4、例5、例6是综合性较强的题，介绍了几种不同解法．要求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应用题，从而提高自己思维判断能力．

习题二

　　1．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方米？

　　2．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长方形的周长是120米，求这块地的面积？

　　3．水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是5∶3，求橘子、苹果各是多少筐？

　　4．化肥厂计划生产化肥1400吨，由于改进技术5天就完成了计划的25％，照这样计算，剩下的任务还需多少天完成？

　　5．小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是4∶3，已知一件上衣7元，求一条裤子多少元？

页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书？

　　7．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行，甲乙两车速度比是2∶

　　8．“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公里，结果两次所用的时间相等．求顺水船速与逆水船速的比．

习题二解答

　　2．120÷2＝60（米），

　　　36×24＝864（平方米）．

　　3．5＋3＝8，

　　4．设剩下的任务还需x天完成．

　　　25％x=75％×5，

　　　　　x=15．

　　5．设一件上衣与一条裤子的价钱之比是1∶x，则小强和小明用去钱数的比是：

　　3（1＋2x）＝4（1＋x）,

　　　　3＋6x＝4＋4x，

　　　　　　2x＝1，

　　7．设乙车行完全程用x小时．

　　8．顺水船速∶逆水船速＝（21－12）∶（7－4）＝3∶1．